Ôn tập chương II (hình học)

CÂU HỎI ÔN TẬP CHƯƠNG II

GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA

Câu 1. (SGK Hình học 11 trang 77)

Có 3 cách xác định mặt phẳng:

• Một mặt phẳng được hoàn toàn xác định khi biết nó đi qua ba điểm không thẳng hàng.
• Một mặt phẳng được hoàn toàn xác định khi biết nó đi qua một điểm và chứa một đường thẳng không đi qua điểm đó.
• Một mặt phẳng được hoàn toàn xác định khi biết nó chứa hai đường thẳng cắt nhau.
• Ngoài ra, từ định nghĩa của hai đường thẳng song song trong không gian ta còn có cách xác định: Hai đường thẳng song song xác định một mặt phẳng.

Để kí hiệu mặt phẳng người ta thường dùng chữ cái in hoa hoặc chữ cái Hi Lạp đặt trong dấu ngoặc \[\left( {} \right)\] ví dụ như: \[\left( \alpha  \right);\left( ABC \right);...\]

Câu 2. (SGK Hình học 11 trang 77)

• Hai đường thẳng song song là hai đường thẳng cùng nằm trong một mặt phẳng và không có điểm chung.
• Đường thẳng song song với mặt phẳng nếu chúng không có điểm chung.
• Hai mặt phẳng gọi là song song với nhau nếu chúng không có điểm chung.

Câu 3. (SGK Hình học 11 trang 77)

Muốn chứng minh ba điểm thẳng hàng ta chứng minh ba điểm đó là ba điểm chung của hai mặt phẳng phân biệt, tức là ba điểm đó cùng thuộc giao tuyến của hai mặt phẳng.

Câu 4. (SGK Hình học 11 trang 77)

Để chứng minh ba đường thẳng đồng quy, ta chứng minh bằng hai cách:

• Chứng minh ba đường thẳng đó không đồng phẳng và đôi một cắt nhau.
• Chứng minh ba đường thẳng đó là các giao tuyến của ba mặt phẳng phân biệt đôi một cắt nhau và chúng không song song.

Câu 5. (SGK Hình học 11 trang 77)

Để chứng minh hai đường thẳng song song, ta sử dụng các định lí.

• Ba mặt phẳng phân biệt đôi một cắt nhau theo ba giao tuyến phân biệt thì ba giao tuyến ấy hoặc đồng quy hoặc đôi một song song với nhau.
• Hai mặt phẳng phân biệt lần lượt chứa hai đường thẳng song song thì giao tuyến của chúng (nếu có) cũng song song với hai đường thẳng đó hoặc trùng với một trong hai đường thẳng đó.
• Hai đường thẳng phân biệt cùng song song với đường thẳng thứ ba thì song song với nhau.
• Cho đường thẳng d song song với mặt phẳng \[\left( \alpha  \right)\]. Nếu mặt phẳng \[\left( \beta  \right)\] chứa d và cắt \[\left( \alpha  \right)\] theo giao tuyến d’ thì d’ song song với d
• Hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với với một đường thẳng thì giao tuyến của chúng (nếu có) cũng song song với đường thẳng đó.
• Một mặt phẳng cắt hai mặt phẳng song song cho hai giao tuyến song song.
• Sử dụng các phương pháp của hình học phẳng như: Tính chất đường trung bình, định lí Ta-lét đảo,…
• Sử dụng tính chất về cạnh bên, cạnh đáy của hình lăng trụ.

Để chứng minh đường thẳng song song với mặt phẳng, ta chứng minh:

• \[d//d';\,\,d'\subset \left( \alpha  \right);\,\,d\not{\subset }\left( \alpha  \right)\Rightarrow d//\left( \alpha  \right)\]
• \[\left( \alpha  \right)//\left( \beta  \right);\,\,d\subset \left( \alpha  \right)\Rightarrow d//\left( \beta  \right)\]

Để chứng minh mặt phẳng song song với mặt phẳng, ta chứng minh:

• Mặt phẳng này chứa hai đường thẳng cắt nhau song song với mặt phẳng kia.
• Hai mặt phẳng cùng song song với mặt phẳng thứ ba.

Câu 6. (SGK Hình học 11 trang 77)

Định lí Ta – lét trong không gian:

Ba mặt phẳng đôi một song song chắn trên hai cát tuyến bất kì những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ.

Câu 7. (SGK Hình học 11 trang 77)

Để dựng thiết diện tạo bởi một mặt phẳng với hình chóp, hình hộp, hình lăng trụ ta cần xác định các giao tuyến của mặt phẳng ấy với các mặt của hình chóp, hình hộp, hình lăng trụ

• Xác định giao điểm của mặt phẳng với các cạnh của hình chóp, hình hộp, hình lăng trụ.
• Các đoạn thẳng nối các giao điểm đó chính là các cạnh của thiết diện.
• Bên cạnh đó, ta có thể vận dụng các kiến thức về quan hệ song song để giúp cho việc xác định các giao tuyến được chính xác và nhanh gọn hơn.

BÀI TẬP ÔN TẬP CHƯƠNG II

Bài 1. (SGK Hình học 11 trang 77)

a) Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng \[\left( ACE \right);\left( BDF \right)\]

Trong \[\left( ABCD \right)\] , gọi \[I=AC\cap BD\]

\( \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} I \in AC \subset \left( {ACE} \right) \hfill \\ I \in BD \subset \left( {BDF} \right) \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} I \in \left( {ACE} \right) \hfill \\ I \in \left( {BDF} \right) \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow I \in \left( {ACE} \right) \cap \left( {BDF} \right)\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\)

Trong \[\left( ABEF \right)\] , gọi \[J=AE\cap BF\]

\( \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} J \in AE \subset \left( {ACE} \right) \hfill \\ J \in BF \subset \left( {BDF} \right) \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} J \in \left( {ACE} \right) \hfill \\ J \in \left( {BDF} \right) \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow J \in \left( {ACE} \right) \cap \left( {BDF} \right)\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\)

Từ \[\left( 1 \right);\left( 2 \right)\Rightarrow \left( ACE \right)\cap \left( BDF \right)=IJ\]

Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng \[\left( BCE \right);\left( ADF \right)\]

Trong \[\left( ABCD \right)\] , gọi \[H=AD\cap BC\]

\( \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} H \in AD \subset \left( {BCE} \right) \hfill \\ H \in BC \subset \left( {ADF} \right) \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} H \in \left( {BCE} \right) \hfill \\ H \in \left( {ADF} \right) \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow H \in \left( {BCE} \right) \cap \left( {ADF} \right)\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 3 \right)\)

Trong \[\left( ABEF \right)\] , gọi \[K=AF\cap BE\]

\( \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} K \in AF \subset \left( {BCE} \right) \hfill \\ K \in BE \subset \left( {ADF} \right) \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} K \in \left( {BCE} \right) \hfill \\ K \in \left( {ADF} \right) \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow K \in \left( {BCE} \right) \cap \left( {ADF} \right)\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 4 \right)\)

Từ \[\left( 3 \right);\left( 4 \right)\Rightarrow \left( BCE \right)\cap \left( ADF \right)=HK\]

b) Trong \[\left( AHK \right)\] , gọi \[N=AM\cap HK\]

\[\Rightarrow N\in HK\subset \left( BCE \right)\Rightarrow N\in \left( BCE \right)\Rightarrow N=AM\cap \left( BCE \right)\]

c) Giả sử AC và BF cắt nhau

\[\Rightarrow AC;BF\] cùng nằm trong một mặt phẳng.

\[\Rightarrow BF\subset \left( ABCD \right)\]

Mà \[BF\subset \left( ABEF \right)\]

\[\Rightarrow \left( ABCD \right)\equiv \left( ABEF \right)\] (trái giả thiết)

\[\Rightarrow AC;BF\] không cắt nhau.

Bài 2. (SGK Hình học 11 trang 77)

• Trong \[\left( ABCD \right)\] , gọi \[H=NP\cap AB;K=NP\cap AD\]

Trong \[\left( SAB \right)\] , gọi \[Q=MH\cap SB\]

Trong \[\left( SAD \right)\] , gọi \[I=MK\cap SD\]

\[\Rightarrow \left( MNP \right)\cap SA=M\]

\[\left( MNP \right)\cap SB=Q\]

\[\left( MNP \right)\cap \left( ABCD \right)=NP\]

\[\left( MNP \right)\cap SD=I\]

\[\Rightarrow \] Thiết diện của hình chóp cắt bởi \[\left( MNP \right)\] là \[MQNPI\] .

• Trong \[\left( ABCD \right)\] , gọi \[J=NP\cap AC\]

\( \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} J \in NP \subset \left( {MNP} \right) \hfill \\ J \in AC \subset \left( {SAC} \right) \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} J \in \left( {MNP} \right) \hfill \\ J \in \left( {SAC} \right) \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} MJ \in \left( {MNP} \right) \hfill \\ MJ \in \left( {SAC} \right) \hfill \\ \end{gathered} \right.\)

Trong \[\left( SAC \right)\] , gọi \[G=SO\cap MJ\]

\[\Rightarrow G\in MJ\subset \left( MNP \right)\Rightarrow G\in \left( MNP \right)\Rightarrow G=SO\cap \left( MNP \right)\]

Bài 3. (SGK Hình học 11 trang 77)

a) Ta có \[S\in \left( SAD \right)\cap \left( SBC \right)\]

Trong \[\left( ABCD \right)\] , gọi \[E=AD\cap BC\]

\[\Rightarrow E\in \left( SAD \right)\cap \left( SBC \right)\Rightarrow SE=\left( SAD \right)\cap \left( SBC \right)\]

b) Trong \[\left( SBE \right)\] , gọi \[I=MN\cap SE\]

Trong \[\left( SAE \right)\] , gọi \[J=AI\cap SD\]

\[\Rightarrow J\in AI\subset \left( AMN \right)\Rightarrow J\in \left( AMN \right)\]

Mà \[J\in SD\]

\[\Rightarrow J=SD\cap \left( AMN \right)\]

c) \[\left( AMN \right)\cap \left( SAB \right)=AM\]

\[\left( AMN \right)\cap \left( SBC \right)=MN\]

\[\left( AMN \right)\cap \left( SCD \right)=NJ\]

\[\left( AMN \right)\cap \left( SDA \right)=AJ\]

\[\Rightarrow \] Thiết diện của hình chóp cắt bởi \[\left( AMN \right)\] là \[AMNJ\] .

Bài 4. (SGK Hình học 11 trang 78)

a) Ta có \[Ax//Dt\] (giải thiết)

\[AB//CD\] (ABCD là hình bình hành)

\[\Rightarrow \left( Ax;By \right)//\left( Cz;Dt \right)\]

b) Ta có \[\left( A'B'C'D' \right)\cap \left( Ax;By \right)=A'B'\]

\[\left( A'B'C'D' \right)\cap \left( Cz;Dt \right)=C'D'\]

\[\left( Ax;By \right)//\left( Cz;Dt \right)\]

\[\Rightarrow A'B'//C'D'\]

Chứng minh tương tự \[A'D'//B'C'\]

\[\Rightarrow A'B'C'D'\] là hình bình hành \[\Rightarrow J\] là trung điểm \[A'C'\]

Mà \[I\] là trùng điểm \[AC\Rightarrow IJ//AA'\]

c) Ta có \[IJ\] là đường trung bình của hình thang \[AA'C'C\Rightarrow 2IJ=AA'+CC'\]

Chứng minh tương tự \[2IJ=BB'+DD'\]

\[\Rightarrow BB'+DD'=AA'+CC'\Rightarrow DD'=a+c-b\]

CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM CHƯƠNG II

Gợi ý Giải bài tập sách giáo khoa ôn tập chương 2 hình học 11, toán 11 hình học lý thuyết trọng tâm giúp học sinh nắm vững kiến thức chính xác nhất