ican
Toán 11
Bài 5: Xác suất của biến cố

Bài 5. Xác suất của biến cố

Giải bài tập sách giáo khoa xác suất của biến cố đại số 11, toán 11 lý thuyết trọng tâm giúp học sinh nắm vững kiến thức nhanh nhất.

Ican

BÀI 5: XÁC SUẤT CỦA BIẾN CỐ

A. LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM

1. Định nghĩa xác suất

Định nghĩa:

Giả sử A là biến cố liên quan đến phép thử chỉ có một số hữu hạn kết quả đồng khả năng xuất hiện. Ta gọi tỉ số \[\frac{n\left( A \right)}{n\left( \Omega  \right)}\] là xác suất của biến cố A, kí hiệu là \[P\left( A \right)\].

\[P\left( A \right)=\] \[\frac{n\left( A \right)}{n\left( \Omega  \right)}\]

Chú ý: \[n\left( A \right)\] là số phần tử của biến cố \[A\]; còn \[n\left( \Omega  \right)\] là số các kết quả có thể xảy ra của phép thử.

2. Tính chất của xác suất

Giả sử A và B là các biến cố liên quan đến một phép thử có một số hữu hạn kết quả đồng khả năng xuất hiện.

Khi đó, ta có định lý:

\[P\left( \varnothing  \right)=0,P\left( \Omega  \right)=1\]

\[0\le P\left( A \right)\le 1\],với mọi biến cố A.

3. Quy tắc cộng xác suất

Hai biến cố A và B được gọi là xung khắc nhau nếu chúng không đồng thời xảy ra trong một phép thử.

Quy tắc cộng xác suất:

  • Nếu A và B xung khắc, thì \[P\left( A\cup B \right)=P\left( A \right)+P\left( B \right)\]
  • Nếu các biến cố \[{{A}_{1}},{{A}_{2}},{{A}_{3}},\ldots ,{{A}_{k}}\] xung khắc nhau thì

\[P\left( {{A}_{1}}\cup {{A}_{2}}\cup \ldots \cup {{A}_{k}} \right)=P\left( {{A}_{1}} \right)+P\left( {{A}_{2}} \right)+\ldots +P\left( {{A}_{k}} \right)\]

Hệ quả:

Với mọi biến cố A, ta có: \[P\left( \overline{A} \right)=1P\left( A \right)\].

4. Quy tắc nhân xác suất

  • Hai biến cố gọi là độc lập: nếu việc xảy ra hay không xảy ra của biến cố này không ảnh hưởng tới xác suất xảy ra biến cố kia.
  • Quy tắc nhân xác suất: Nếu A và B là hai biến cố độc lập nhau thì \[P\left( A.B \right)=P\left( A \right).P\left( B \right)\]

B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP

Dạng 1. Sử dụng định nghĩa tính xác suất

Cách giải:

Quy về bài toán đếm:

Cách 1: Tính trực tiếp:

  • Tính số phần tử của không gian mẫu \[\Omega \] là \[n\left( \Omega  \right)\] tức là đếm số kết quả có thể của phép thử \[T\].
  • Tính số phần tử của biến cố \[A\] rồi tính số phần tử của \[A\] là \[n\left( A \right)\], tức là đếm số kết quả thuận lợi cho \[A\].
  • Khi đó, xác suất \[P\left( A \right)=\] \[\frac{n\left( A \right)}{n\left( \Omega  \right)}\] .

Cách 2: Tính gián tiếp

Trong nhiều bài toán tính xác suất, việc tính số phần tử thuận lợi cho biến cố A trở nên khó khăn do có quá nhiều trường hợp, thì ta đi tìm số phần tử thuận lợi cho biến cố đối của biến cố A . Khi đó, \[P\left( A \right)=1P\left( \overline{A} \right)\].

Dạng 2. Sử dụng các quy tắc công, nhân xác suất

Cách giải:

  • Tính xác suất của các biến cố \[{{A}_{1}},{{A}_{2}},{{A}_{3}},\ldots ,{{A}_{k}}\]
  • Xác định mối quan hệ giữa các biến cố \[{{A}_{1}},{{A}_{2}},{{A}_{3}},\ldots ,{{A}_{k}}\] (độc lập, xung khắc,…)
  • Từ đó, sử dụng quy tắc cộng hoặc nhân xác suất để tính toán

C. GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA

Bài 1. (SGK Đại số 11 trang 74)

a) \[\Omega =\left\{ \left( i;j \right)|1\le i,j\le 6 \right\}\] với i, j là số chấm xuất hiện trong lần gieo thứ nhất và thứ hai.

b) \[A=\left\{ \left( 4;6 \right);\left( 5;6 \right);\left( 6;6 \right);\left( 6;4 \right);\left( 6;5 \right);\left( 5;5 \right) \right\}\]

\[B=\left\{ \left( 1;5 \right);\left( 2;5 \right);\left( 3;5 \right);\left( 4;5 \right);\left( 5;5 \right);\left( 6;5 \right);\left( 5;6 \right);\left( 5;4 \right);\left( 5;3 \right);\left( 5;2 \right);\left( 5;1 \right) \right\}\]

c) \[P\left( A \right)=\frac{{{n}_{\left( A \right)}}}{{{n}_{\left( \Omega  \right)}}}=\frac{6}{6.6}=\frac{1}{6}\] ; \[P\left( B \right)=\frac{{{n}_{\left( B \right)}}}{{{n}_{\left( \Omega  \right)}}}=\frac{11}{6.6}=\frac{11}{36}\]

Bài 2. (SGK Đại số 11 trang 74)

a) \[\Omega =\left\{ \left( 1;2;3 \right);\left( 1;2;4 \right);\left( 2;3;4 \right);\left( 1;3;4 \right) \right\}\Rightarrow {{n}_{\left( \Omega  \right)}}=4\]

b) \[A=\left\{ \left( 1;3;4 \right) \right\}\Rightarrow {{n}_{\left( A \right)}}=1\]

\[B=\left\{ \left( 1;2;3 \right);\left( 2;3;4 \right) \right\}\Rightarrow {{n}_{\left( B \right)}}=2\]

c) \[P\left( A \right)=\frac{1}{4};P\left( B \right)=\frac{1}{2}\]

Bài 3. (SGK Đại số 11 trang 74)

\[n\left( \Omega  \right)=C_{8}^{2}=28\]

A : “ Hai chiếc giày chọn được tạo thành một đôi”

\[\Rightarrow n\left( A \right)=4\] \[\Rightarrow P\left( A \right)=\frac{1}{7}\]

Bài 4. (SGK Đại số 11 trang 74)

\[\Omega =\left\{ 1,2,3,4,5,6 \right\}\]

Ta có : \[\Delta ={{b}^{2}}-8\]

A : “ Con súc sắc xuất hiện mặt b chấm”

a) Phương trình có nghiệm \[\Leftrightarrow \Delta \ge 0\Leftrightarrow b\ge 2\sqrt{2};b\le -2\sqrt{2}\]

Mà \[b\in \left\{ 1,2,3,4,5,6 \right\}\] \[\Rightarrow b=\left\{ 3,4,5,6 \right\}\]

\[\Rightarrow A=\left\{ 3,4,5,6 \right\}\Rightarrow \] \[n\left( A \right)=4\Rightarrow \] \[P\left( A \right)=\frac{2}{3}\]

b) Phương trình vô nghiệm \[\Leftrightarrow \Delta <0\Leftrightarrow -2\sqrt{2}

Mà \[b\in \left\{ 1,2,3,4,5,6 \right\}\]

\[\Rightarrow b=\left\{ 1,2 \right\}\Rightarrow \] \[A=\left\{ 1,2 \right\}\Rightarrow \] \[n\left( A \right)=2\Rightarrow \] \[P\left( A \right)=\frac{1}{3}\]

c) Phương trình có nghiệm \[\Leftrightarrow b=\left\{ 3;4;5;6 \right\}\]

b

3

4

5

6

\[{{x}^{2}}+bx+2=0\]

\[-1;-2\]

(thỏa mãn)

\[-2\pm \sqrt{2}\]

(Loại)

\[\frac{-5\pm \sqrt{17}}{2}\]

(loại)

\[-3\pm \sqrt{7}\]

(loại)

 

\[\Rightarrow b=\left\{ 3 \right\}\Rightarrow A=\left\{ 3 \right\}\Rightarrow n\left( A \right)=1\Rightarrow P\left( A \right)=\frac{1}{6}\]

Bài 5. (SGK Đại số 11 trang 74)

\[\Omega \] : “ Chọn ngẫu nhiên 4 con trong 52 con bài”

\[\Rightarrow n\left( \Omega  \right)=C_{52}^{4}\]

a) A : “ Cả 4 con đều là át”

\[\Rightarrow n\left( A \right)=1\Rightarrow \] \[P\left( A \right)=\frac{1}{C_{52}^{4}}=\frac{1}{270725}\]

b) B : “ Ít nhất được một con át”

\[\Rightarrow \overline{B}\] : “ Không được con át nào”

\[\Rightarrow n\left( \overline{B} \right)=C_{48}^{4}\Rightarrow P\left( B \right)=1-P\left( \overline{B} \right)=1-\frac{C_{48}^{4}}{C_{52}^{4}}\approx 0,72\] .

c) C : “ Rút được con át và 2 con K”

\[\Rightarrow n\left( C \right)=C_{4}^{2}.C_{4}^{2}\Rightarrow P\left( C \right)=\frac{C_{4}^{2}.C_{4}^{2}}{C_{52}^{4}}=\frac{36}{270725}\]

Bài 6. (SGK Đại số 11 trang 74)

\[n\left( \Omega  \right)=4!=24\]

a) A : “ Nam, nữ ngồi đối diện nhau”

+) Vị trí thứ nhất : Có 4 cách chọn 1 bạn vào vị trí thứ nhất

+) Có 2 cách chọn 1 bạn vào vị trí đối diện vị trí thứ nhất.

+) Có \[2!=2\] cách chọn 2 bạn vào 2 vị trí còn lại.

\[\Rightarrow n\left( A \right)=4.2.2=16\]

\[\Rightarrow P\left( A \right)=\frac{16}{24}=\frac{2}{3}\]

b) \[\overline{A}\] : “ Nữ ngồi đối diện nhau”

\[\Rightarrow P\left( \overline{A} \right)=1-P\left( A \right)=\frac{1}{3}\]

Bài 7. (SGK Đại số 11 trang 75)

a) \[n\left( \Omega  \right)=10.10=100\]

\[n\left( A \right)=6.10=60\]

\[n\left( B \right)=10.4=40\]

\[\Rightarrow P\left( A \right)=\frac{60}{100}=\frac{3}{5};P\left( B \right)=\frac{40}{100}=\frac{2}{5}\]

\[\Rightarrow P\left( A \right).P\left( B \right)=\frac{6}{25}\] (1)

A.B : “Lấy được ở hộp thứ nhất quả cầu màu trắng và hộp thứ hai quả cầu màu trắng”

\[\Rightarrow n\left( AB \right)=6.4=24\]

\[\Rightarrow P\left( AB \right)=\frac{24}{100}=\frac{6}{25}\] (2)

Từ (1) và (2) \[\Rightarrow A\] và B độc lập

b) C : “ Hai quả cầu lấy ra cùng màu”

\[\Rightarrow C=AB\cup \overline{A}\overline{B}\]

Ta có \[AB\cup \overline{A}\overline{B}=\varnothing \Rightarrow AB\] và \[\overline{A}\overline{B}\] là xung khắc.

\[\Rightarrow P\left( C \right)=P\left( AB \right)+P\left( \overline{A}\overline{B} \right)\]

Vì A, B độc lập nên \[\overline{A},\overline{B}\] độc lập

\[\Rightarrow P\left( C \right)=P\left( A \right).P\left( B \right)+P\left( \overline{A} \right).P\left( \overline{B} \right)\]

\[=\frac{6}{25}+\left( 1-P\left( A \right) \right)\left( 1-P\left( B \right) \right)\]

\[=\frac{6}{25}+\frac{2}{5}.\frac{3}{5}=\frac{12}{25}\]

c) \[\overline{C}\] : “ Hai quả cầu lấy ra khác màu” \[\Rightarrow P\left( \overline{C} \right)=1-P\left( C \right)=\frac{13}{25}\]

Giải bài tập sách giáo khoa xác suất của biến cố đại số 11, toán 11 lý thuyết trọng tâm giúp học sinh nắm vững kiến thức nhanh nhất.

Đánh giá (402)
ican
  • Một thương hiệu của 
    ICAN
  • ICAN
  • ICAN © 2023, All Rights Reserved.

  • Trụ sở Hồ Chí Minh: B0003 C/C Sarina, Khu đô thị Sala, Khu phố 3, Đường Hoàng Thế Thiện, Phường An Lợi Đông, TP. Thủ Đức

  • Văn phòng Hà Nội: Tòa nhà 25T2 Đường Hoàng Đạo Thúy, Phường Trung Hòa, Quận Cầu Giấy