ican
Toán 11
Bài 7: Phép vị tự

Phép vị tự

Toán 11 bài Phép vị tự: Lý thuyết trọng tâm, giải bài tập sách giáo khoa Phép vị tự: giúp học sinh nắm vững kiến thức ngắn gọn.

Ican

BÀI 7: PHÉP VỊ TỰ

A. LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM

1. Định nghĩa

Định nghĩa:

Cho điểm O và số \[k\ne 0\]. Phép biến hình biến mỗi điểm M thành điểm M’ sao cho \[\overrightarrow{OM'}=k\overrightarrow{OM}\] được gọi là phép vị tự tâm O tỉ số k.

Phép vị tự tâm O tỉ số k thường được kí hiệu là \[{{V}_{(O;k)}}\].

Description: Chuyên đề Toán lớp 11 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán 11 có đáp án

Nhận xét:

  • Phép vị tự biến tâm vị tự thành chính nó.
  • Khi \[k=1\], phép vị tự là đồng nhất.
  • Khi \[k=1\], phép vị tự là phép đối xứng tâm.
  • \[\text{M}'={{\text{V}}_{\left( O;k \right)}}\left( M \right)\Leftrightarrow \text{M}={{\text{V}}_{\left( O;\frac{1}{k} \right)}}\left( \text{M}' \right)\]

2. Tính chất

Tính chất 1

\[{{\text{V}}_{(I;\text{k})}}\left( M \right)=\text{M}',{{\text{V}}_{(I;\text{k})}}\left( N \right)=\text{N}'\Rightarrow \overrightarrow{M'N'}=k\overrightarrow{MN}\]

Tính chất 2

Phép vị tự tỉ số k:

  • Biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và bảo toàn thứ tự giữa các điểm ấy;
  • Biến đường thẳng thành đường thẳng song song hoặc trùng với nó, biến tia thành tia, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng;
  • Biến tam giác thành tam giác đồng dạng với nó, biến góc thành góc bằng nó;
  • Biến đường tròn bán kính R thành đường tròn bán kính \[\left| k \right|R\].

3. Biểu thức tọa độ

Cho \[I\left( a;b \right)\]. Khi đó: \({{\rm{V}}_{\left( {I;k} \right)}}M\left( {x;y} \right) \mapsto {\rm{M}}'\left( {{\rm{x}}';{\rm{y}}'} \right) \Rightarrow {\rm{ }}\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{\rm{x}}' = {\rm{kx}} + \left( {1 - {\rm{k}}} \right)a}\\ {{\rm{y}}' = {\rm{ky}} + \left( {1 - {\rm{k}}} \right){\rm{b}}} \end{array}} \right.\)

B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP

Dạng 1. Chứng minh/xác định ảnh của điểm, đoạn thẳng, đường thẳng, tam giác,… qua phép vị tự

Cách giải:

Áp dụng định nghĩa \[{{V}_{\left( O,k \right)}}\left( M \right)={M}'\Leftrightarrow \overrightarrow{OM'}=k\overrightarrow{OM}\] và tính chất của phép vị tự kết hợp với dữ kiện đề bài.

Dạng 2. Tìm tọa độ điểm; phương trình đường thẳng, đường tròn qua phép vị tự \[{{V}_{\left( O;k \right)}}\]

Cách giải:

Áp dụng công thức phần biểu thức tọa độ.

C. GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA

Bài 1. (trang 29 SGK Hình học 11)

Ta có \[{{V}_{\left( H;\frac{1}{2} \right)}}\left( A \right)=A'\]

\[\Leftrightarrow \overrightarrow{\text{HA}'}=\frac{1}{2}\overrightarrow{\text{HA}}\]

\[\Leftrightarrow A'\] là trung điểm AH.

Tương tự:

\[{{V}_{\left( H;\frac{1}{2} \right)}}\left( B \right)=B'\Leftrightarrow B'\]là trung điểm BH.

\[{{V}_{\left( H;\frac{1}{2} \right)}}\left( C \right)=C'\Leftrightarrow C'\]là trung điểm CH.

\[\Rightarrow {{V}_{\left( H;\frac{1}{2} \right)}}\left( \Delta ABC \right)=\Delta A'B'C'\] với \[A';B';C'\] là trung điểm \[AH;BH;CH\].

Bài 2 (trang 29 SGK Hình học 11)

Gọi hai đường tròn lần lượt là \[\left( I;R \right)\] và \[\left( I';R' \right)\].

Các xác định tâm vị tự của hai đường tròn:

  • Trên đường tròn \[\left( I;R \right)\] lấy điểm M bất kì.
  • Trên đường tròn \[\left( I';R' \right)\] dựng đường kính \[AB//IM\].
  • \[MA\] và MB lần lượt cắt \[II'\] tại \[{{O}_{1}}\] và \[{{O}_{2}}\] chính là hai tâm vị tự của hai đường tròn.

Đối với từng trường hợp ta xác định được các tâm vị tự \[{{O}_{1}};{{O}_{2}}\] như hình dưới.

+ Hình 1.62a:

+ Hình 1.62b:

+ Hình 1.62c.

Bài 3. (trang 29 SGK Hình học 11)

Giả sử \[{{V}_{\left( O;{{k}_{1}} \right)}}\left( M \right)={{M}_{1}}\Leftrightarrow \overrightarrow{O{{M}_{1}}}={{k}_{1}}\overrightarrow{OM}\]

\[{{V}_{\left( O;{{k}_{2}} \right)}}\left( {{M}_{1}} \right)={{M}_{2}}\Leftrightarrow \overrightarrow{O{{M}_{2}}}={{k}_{2}}\overrightarrow{O{{M}_{1}}}\]

\[\Leftrightarrow \overrightarrow{O{{M}_{2}}}={{k}_{2}}.{{k}_{1}}\overrightarrow{OM}\]

\[{{V}_{\left( O;{{k}_{1}}{{k}_{2}} \right)}}\left( M \right)={{M}_{2}}\Leftrightarrow \overrightarrow{O{{M}_{2}}}={{k}_{1}}{{k}_{2}}\overrightarrow{OM}\]

Vậy khi thực hiện liên tiếp hai phép vị tự tâm O với tỉ số \[{{k}_{1}}\] và \[{{k}_{2}}\] thì ta được 1 phép vị tự tâm O với tỉ số \[{{k}_{1}}.{{k}_{2}}\].

Trên đây là gợi ý giải bài tập Toán 11 bài Phép vị tự do giáo viên Ican trực tiếp biên soạn theo chương trình mới nhất. Chúc bác bạn học tập vui vẻ.

Đánh giá (421)
ican
  • Một thương hiệu của 
    ICAN
  • ICAN
  • ICAN © 2023, All Rights Reserved.

  • Trụ sở Hồ Chí Minh: B0003 C/C Sarina, Khu đô thị Sala, Khu phố 3, Đường Hoàng Thế Thiện, Phường An Lợi Đông, TP. Thủ Đức

  • Văn phòng Hà Nội: Tòa nhà 25T2 Đường Hoàng Đạo Thúy, Phường Trung Hòa, Quận Cầu Giấy