ican
Toán 11
Bài 4: Vi phân

Bài 4. Vi phân

Giải bài tập sách giáo khoa giải phương trình vi phân toán học 11, toán 11 lý thuyết trọng tâm giúp học sinh nắm vững kiến thức chính xác nhất

Ican

BÀI 4: VI PHÂN

A. LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM

1. Định nghĩa

Định nghĩa:

Cho hàm số \[y=f\left( x \right)\] xác định trên khoảng \[\left( a;b \right)\] và có đạo hàm tại \[x\in \left( a;b \right)\] . Giả sử \[\Delta x\] là số gia của \[x\] .

Ta gọi tích \[f'\left( x \right)\Delta x\] là vi phân của hàm số \[y=f\left( x \right)\] tại \[x\] ứng với số gia \[\Delta x\] , kí hiệu là \[df\left( x \right)\] hoặc \[dy\] , tức là: \[dy=df\left( x \right)=f'\left( x \right)\Delta x\]

Chú ý:

Với hàm số \[y=f\left( x \right)\] ta có \[dy=df\left( x \right)=f'\left( x \right)dx\]

2. Ứng dụng vi phân vào phép tính gần đúng

Công thức tính gần đúng: \[f\left( {{x}_{0}}+\Delta x \right)\approx f\left( {{x}_{0}} \right)+f'\left( {{x}_{0}} \right)\Delta x\]

B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP

Dạng 1. Tìm vi phân của hàm số \[y=f\left( x \right)\]

Cách giải:

  • Tính \[f'\left( x \right)\]
  • Vi phân của hàm số \[y=f\left( x \right)\] tại \[x\] là \[dy=df\left( x \right)=f'\left( x \right)dx\]
  • Vi phân của hàm số \[y=f\left( x \right)\] tại \[{{x}_{0}}\] là \[dy=df\left( {{x}_{0}} \right)=f'\left( {{x}_{0}} \right)dx\]

Dạng 2. Tính giá trị gần đúng của biểu thức

Cách giải:

  • Xác định hàm số \[y=f\left( x \right)\] và chọn \[{{x}_{0}};\Delta x\] thích hợp.
  • Tính \[f'\left( x \right);f'\left( {{x}_{0}} \right);f\left( {{x}_{0}} \right)\]
  • Tính giá trị gần đúng \[f\left( {{x}_{0}}+\Delta x \right)\approx f\left( {{x}_{0}} \right)+f'\left( {{x}_{0}} \right)\Delta x\]

C. GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA

Bài 1. SGK Đại số 11 trang 171

a) \[y=\frac{\sqrt{x}}{a+b}\left( a,b=const \right)\]

\[\Rightarrow y'=\frac{1}{a+b}.\frac{1}{2\sqrt{x}}=\frac{1}{2\left( a+b \right)\sqrt{x}}\]

\[\Rightarrow dy=d\left( \frac{\sqrt{x}}{a+b} \right)=y'dx=\frac{1}{2\left( a+b \right)\sqrt{x}}dx\]

b) \[y=\left( {{x}^{2}}+4x+1 \right)\left( {{x}^{2}}-\sqrt{x} \right)\]

\[\Rightarrow y'={{\left( {{x}^{2}}+4x+1 \right)}^{'}}\left( {{x}^{2}}-\sqrt{x} \right)+\left( {{x}^{2}}+4x+1 \right){{\left( {{x}^{2}}-\sqrt{x} \right)}^{'}}=\left( 2x+4 \right)\left( {{x}^{2}}-\sqrt{x} \right)+\left( {{x}^{2}}+4x+1 \right)\left( 2x-\frac{1}{2\sqrt{x}} \right)\] \[\Rightarrow dy=d\left[ \left( {{x}^{2}}+4x+1 \right)\left( {{x}^{2}}-\sqrt{x} \right) \right]=y'dx=\left[ \left( 2x+4 \right)\left( {{x}^{2}}-\sqrt{x} \right)+\left( {{x}^{2}}+4x+1 \right)\left( 2x-\frac{1}{2\sqrt{x}} \right) \right]dx\]

Bài 2. SGK Đại số 11 trang 171

a) \[y={{\tan }^{2}}x\]

\[\Rightarrow y'=2\tan x.\left( \tan x \right)'=2\tan x.\frac{1}{{{\cos }^{2}}x}\]

\[\Rightarrow dy=d\left( {{\tan }^{2}}x \right)=y'dx=\frac{2\tan x}{{{\cos }^{2}}x}dx\]

b) \[y=\frac{\cos x}{1-{{x}^{2}}}\]

\[\Rightarrow y'=\frac{\left( \cos x \right)'\left( 1-{{x}^{2}} \right)-\cos x\left( 1-{{x}^{2}} \right)'}{{{\left( 1-{{x}^{2}} \right)}^{2}}}\]

\[=\frac{-\sin x\left( 1-{{x}^{2}} \right)+2x\cos x}{{{\left( 1-{{x}^{2}} \right)}^{2}}}\]

\[=\frac{\left( {{x}^{2}}-1 \right)\sin x+2x\cos x}{{{\left( 1-{{x}^{2}} \right)}^{2}}}\]

\[\Rightarrow dy=d\left( \frac{\cos x}{1-{{x}^{2}}} \right)=y'dx=\frac{\left( {{x}^{2}}-1 \right)\sin x+2x\cos x}{{{\left( 1-{{x}^{2}} \right)}^{2}}}dx\]

Gợi ý Giải bài tập sách giáo khoa giải phương trình vi phân toán học 11, toán 11 lý thuyết trọng tâm giúp học sinh nắm vững kiến thức chính xác nhất

Đánh giá (347)
ican
  • Một thương hiệu của 
    ICAN
  • ICAN
  • ICAN © 2023, All Rights Reserved.

  • Trụ sở Hồ Chí Minh: B0003 C/C Sarina, Khu đô thị Sala, Khu phố 3, Đường Hoàng Thế Thiện, Phường An Lợi Đông, TP. Thủ Đức

  • Văn phòng Hà Nội: Tòa nhà 25T2 Đường Hoàng Đạo Thúy, Phường Trung Hòa, Quận Cầu Giấy