BÀI 4: HAI MẶT PHẲNG VUÔNG GÓC
A. LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM
I. Góc giữa hai mặt phẳng.
1. Định nghĩa
Góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai đường thẳng lần lượt vuông góc với hai mặt phẳng đó.
2. Cách xác định góc giữa hai mặt phẳng cắt nhau \[\left( \alpha \right)\] và \[\left( \beta \right)\]
- Tìm giao tuyến \[c\] của \[\left( \alpha \right)\] và \[\left( \beta \right)\]
- Tìm hai đường thẳng \[a,b\] lần lượt thuộc hai mặt phẳng và cùng vuông góc với \[c\] tại một điểm \[I\]
- Khi đó góc giữa \[\left( \alpha \right)\] và \[\left( \beta \right)\] chính là góc giữa \[a\] và \[b\]
3. Diện tích hình chiếu của một đa giác
Cho đa giác \[H\subset \left( \alpha \right)\] có diện tích \[S\] và \[H'\] là hình chiếu vuông góc của \[H\] trên \[\left( \beta \right)\] . Khi đó, diện tích \[S'\] của đa giác \[H\] được tính bằng công thức:
\[S'=S\cos \varphi \] với \[\varphi \] là góc giữa \[\left( \alpha \right)\] và \[\left( \beta \right)\]
II. Hai mặt phẳng vuông góc
1. Định nghĩa
Hai mặt phẳng gọi là vuông góc với nhau nếu góc giữa hai mặt phẳng đó là góc vuông. Kí hiệu \[\left( \alpha \right)\bot \left( \beta \right)\]
2. Các định lí
Định lí 1:
Điều kiện cần và đủ để hai mặt phẳng vuông góc với nhau là mặt phẳng này chứa một đường thẳng vuông góc với mặt phẳng kia.
Hệ quả 1:
Nếu hai mặt phẳng vuông góc với nhau thì bất cứ đường thẳng nào nằm trong mặt phẳng này và vuông góc với giao tuyến thì vuông góc với mặt phẳng kia.
Hệ quả 2:
Cho hai mặt phẳng \[\left( \alpha \right);\left( \beta \right)\] vuông góc với nhau. Nếu từ một điểm thuộc mặt phẳng \[\left( \alpha \right)\] ta dựng một đường thẳng vuông góc với mặt phẳng \[\left( \beta \right)\] thì đường thẳng này nằm trong mặt phẳng \[\left( \alpha \right)\] .
Định lí 2:
Nếu hai mặt phẳng cắt nhau và cùng vuông góc với mặt phẳng thứ ba thì giao tuyến của chúng vuông góc với mặt phẳng thứ ba đó.
III. Hình lăng trụ đứng. Hình hộp chữ nhật. Hình lập phương
1. Định nghĩa
Hình lăng trụ đứng là hình lăng trụ có các cạnh bên vuông góc với các mặt đáy. Độ dài cạnh bên được gọi là chiều cao của hình lăng trụ đứng.
- Hình lăng trụ đứng có đáy là n – giác thì được gọi là hình lăng trụ đứng n – giác.
- Hình lăng trụ đứng có đáy là đa giác đều được gọi là hình lăng trụ đều.
- Hình lăng trụ đứng có đáy là hình bình hành được gọi là hình hộp đứng.
- Hình lăng trụ đứng có đáy là hình chữ nhật được gọi là hình hộp chữ nhật.
- Hình lăng trụ đứng có đáy là hình vuông và các mặt bên đều là hình vuông được gọi là hình lập phương.
2. Nhận xét
Các mặt bên của hình lăng trụ đứng luôn luôn vuông góc với mặt phẳng đáy và là những hình chữ nhật.
IV. Hình chóp đều và hình chóp cụt đều
1. Hình chóp đều
- Một hình chóp được gọi là hình chóp đều nếu nó có đáy là một đa giác đều và có chân đường cao trùng với tâm của đa giác đáy.
- Hình chóp đều có các mặt bên là những tam giác cân bằng nhau. Các mặt bên tạo với mặt đáy các góc bằng nhau.
- Các cạnh bên của hình chóp đều tạo với mặt đáy các góc bằng nhau.
2. Hình chóp cụt đều
Phần của hình chóp đều nằm giữa đáy và một thiết diện song song với đáy cắt các cạnh bên của hình chóp đều được gọi là hình chóp cụt đều.
B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP
Dạng 1. Tính góc giữa hai mặt phẳng \[\left( \alpha \right)\] và \[\left( \beta \right)\]
Cách giải:
- Cách 1: Xác định góc của hai mặt phẳng cắt nhau \[\left( \alpha \right)\] và \[\left( \beta \right)\] . Sau đó,vận dụng các kiến thức về hệ thức lượng, định lí Pytago,… để tính góc.
- Cách 2: Sử dụng công thức \[S'=S\cos \varphi \]
- Cách 3: Nếu \[\overrightarrow{{{n}_{1}}};\overrightarrow{{{n}_{2}}}\] lần lượt là hai vec tơ pháp tuyến của \[\left( \alpha \right)\] và \[\left( \beta \right)\] thì \[\cos \varphi =\frac{\left| \overrightarrow{{{n}_{1}}}.\overrightarrow{{{n}_{2}}} \right|}{\left| \overrightarrow{{{n}_{1}}} \right|\left| \overrightarrow{{{n}_{2}}} \right|}\,\,\,\,\left( \varphi =\left( \left( \alpha \right),\left( \beta \right) \right) \right)\]
Dạng 2. Chứng minh hai mặt phẳng vuông góc
Cách giải:
- Cách 1: Tính trực tiếp số đo \[\varphi =\left( \left( \alpha \right),\left( \beta \right) \right)={{90}^{0}}\]
- Cách 2: Chứng minh \(\left. \begin{array}{l} a \subset \left( \alpha \right)\\ a \bot \left( \beta \right) \end{array} \right\} \Rightarrow \left( \alpha \right) \bot \left( \beta \right)\)
- Cách 3: Nếu \[\overrightarrow{{{n}_{1}}};\overrightarrow{{{n}_{2}}}\] lần lượt là hai vec tơ pháp tuyến của \[\left( \alpha \right)\] và \[\left( \beta \right)\] thì \[\left( \alpha \right)\bot \left( \beta \right)\Leftrightarrow \overrightarrow{{{n}_{1}}}.\overrightarrow{{{n}_{2}}}=0\]
Dạng 3. Ứng dụng công thức hình chiếu tính diện tích thiết diện.
Cách giải:
Vận dụng công thức \[S'=S\cos \varphi \] và các kiến thức về hệ thức lượng, định lí Pytago,… để tính diện tích.
Dạng 4. Chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng
Cách giải:
- Cách 1: Chứng minh \(\left. \begin{array}{l} \left( \alpha \right) \bot \left( \beta \right)\\ \left( \alpha \right) \cap \left( \beta \right) = b\\ a \subset \left( \alpha \right)\\ a \bot b \end{array} \right\} \Rightarrow a \bot \left( \beta \right)\)
- Cách 2: Chứng minh \(\left. \begin{array}{l} a = \left( \alpha \right) \cap \left( \beta \right)\\ \left( \alpha \right) \bot \left( \gamma \right)\\ \left( \beta \right) \bot \left( \gamma \right) \end{array} \right\} \Rightarrow a \bot \left( \gamma \right)\)
C. GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA
Bài 1. (SGK hình học 11 trang 113)
a) Đúng
b) Sai
Bài 2. (SGK hình học 11 trang 113)
Ta có \(\left. \begin{array}{l} \left( \alpha \right) \bot \left( \beta \right)\\ \left( \alpha \right) \cap \left( \beta \right) = \Delta \\ AC \bot \Delta \\ AC \subset \left( \alpha \right) \end{array} \right\} \Rightarrow AC \bot \left( \beta \right) \Rightarrow AC \bot AD\left( {AD \subset \left( \beta \right)} \right)\)
\[\Rightarrow \Delta ACD\] vuông tại A.
\[\Rightarrow C{{D}^{2}}=A{{C}^{2}}+A{{D}^{2}}\] (định lí Pytago)
Mặt khác, \[AB\bot BD\left( BD\bot \Delta \right)\Rightarrow \Delta ABD\] vuông tại B.
\[\Rightarrow A{{D}^{2}}=A{{B}^{2}}+B{{D}^{2}}\] (định lí Pytago)
\[\Rightarrow C{{D}^{2}}=A{{C}^{2}}+A{{B}^{2}}+B{{D}^{2}}=676\left( cm \right)\Rightarrow CD=26\left( cm \right)\]
Bài 3. (SGK hình học 11 trang 113)
Ta có \(\begin{array}{l} \left( {ABC} \right) \cap \left( {DBC} \right) = BC\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\\ AB \subset \left( {ABC} \right),AB \bot BC\,\,\left( 2 \right) \end{array}\)
Mặt khác, \[BC\bot AD\left( AD\bot \left( \alpha \right) \right)\]
\[BC\bot AB\] ( \[\Delta ABC\] vuông tại B)
\[\Rightarrow BC\bot \left( DAB \right)\Rightarrow BC\bot DB\,\,\left( 3 \right)\]
Từ \[\left( 1 \right),\left( 2 \right),\left( 3 \right)\Rightarrow \] Góc giữa hai mặt phẳng \[\left( ABC \right),\left( DBC \right)\] là góc giữa hai đường thẳng AB và DB hay là góc \[\widehat{ABD}\] .
b) Ta có \[BC\bot \left( ABD \right),BC\subset \left( DBC \right)\]
\[\Rightarrow \left( ABD \right)\bot \left( DBC \right)\]
c) Ta có \[\left( P \right)\equiv \left( AHK \right)\]
\[DB\bot \left( AHK \right)\Rightarrow DB\bot HK\]
Mà \[DB\bot BC\left( BC\bot \left( ABD \right) \right)\]
\[\Rightarrow HK//BC\]
Bài 4. (SGK hình học 11 trang 114)
+, \[\Delta =\left( \alpha \right)\cap \left( \beta \right)\]
\[\Rightarrow \] Qua M có duy nhất một mặt phẳng \[\left( P \right)\bot \Delta \]
\[\Rightarrow \] \(\left\{ \begin{array}{l} \left( P \right) \bot \left( \alpha \right)\\ \left( P \right) \bot \left( \beta \right) \end{array} \right. \Rightarrow \)Qua M có duy nhất một mặt phẳng \[\left( P \right)\] vuông góc với \[\left( \alpha \right),\left( \beta \right)\]
+, \[\left( \alpha \right)//\left( \beta \right)\]
Gọi \[d\] là đường thẳng qua M và vuông góc với \[\left( \alpha \right)\] \[\Rightarrow d\bot \left( \beta \right)\]
\[\Rightarrow \] Mọi mặt phẳng chứa \[d\] đều vuông góc với \[\left( \alpha \right),\left( \beta \right)\]
Vậy khi \[\left( \alpha \right)//\left( \beta \right)\] có vô số mặt phẳng \[\left( P \right)\] qua \[M\] và vuông góc với \[\left( \alpha \right),\left( \beta \right)\] .
Bài 5. (SGK hình học 11 trang 114)
a) Ta có \(\left. \begin{array}{l} A'D' \bot A'B'\\ A'D' \bot AA' \end{array} \right\} \Rightarrow A'D' \bot \left( {ABB'A'} \right)\)
\[\Rightarrow A'D'\bot A'B\Rightarrow A'B\bot B'C'\]
Mà \[AB'\bot A'B\] (vì \[ABB'A'\] là hình vuông)
\[\Rightarrow A'B\bot \left( ADC'B' \right)\Rightarrow \left( BCD'A' \right)\bot \left( ADC'B' \right)\]
b) Ta có \(\left. \begin{array}{l} BD \bot AC\\ BD \bot AA' \end{array} \right\} \Rightarrow BD \bot \left( {ACC'A'} \right) \Rightarrow BD \bot AC'\,\,\,\left( 1 \right)\)
Mặt khác, \[AB\bot \left( ADD'A' \right)\Rightarrow AB\bot A'D\]
Mà \[AD'\bot A'D\Rightarrow A'D\bot \left( ABC'D' \right)\Rightarrow A'D\bot AC'\,\,\,\,\left( 2 \right)\]
Từ \[\left( 1 \right),\left( 2 \right)\Rightarrow AC'\bot \left( A'BD \right)\]
Bài 6. (SGK hình học 11 trang 114)
a) Gọi \[O=AC\cap BD\Rightarrow O\] là trung điểm của \[AC,BD\] .
\[\Delta SAC\] cân tại \[S\left( SA=SC \right)\Rightarrow SO\bot AC\]
\[ABCD\] là hình thoi \[\Rightarrow BD\bot AC\]
\[\Rightarrow AC\bot \left( SBD \right)\Rightarrow \left( ABCD \right)\bot \left( SBD \right)\]
b) Ta có \[\Delta SAC=\Delta BAC\left( c.c.c \right)\Rightarrow SO=BO\]
Mà \[BO=\frac{1}{2}BD\Rightarrow SO=\frac{1}{2}BD\]
\[\Rightarrow \Delta SBD\] vuông tại \[S\] .
Bài 7. (SGK hình học 11 trang 114)
a) Ta có \(\left. \begin{array}{l} AD \bot AB\\ AD \bot AA' \end{array} \right\} \Rightarrow AD \bot \left( {ABB'A'} \right) \Rightarrow \left( {ADC'B'} \right) \bot \left( {ABB'A'} \right)\)
b) \[\Delta ABC\] vuông tại \[B\Rightarrow A{{C}^{2}}=A{{B}^{2}}+B{{C}^{2}}={{a}^{2}}+{{b}^{2}}\]
\[\Delta ACC'\] vuông tại \[C\Rightarrow C'{{A}^{2}}=A{{C}^{2}}+C'{{C}^{2}}={{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}\]
\[\Rightarrow AC'=\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}\]
Bài 8. (SGK hình học 11 trang 114)
\[\Delta ABC\] vuông tại \[B\Rightarrow A{{C}^{2}}=A{{B}^{2}}+B{{C}^{2}}=2{{a}^{2}}\]
\[\Delta ACC'\] vuông tại \[C\Rightarrow C'{{A}^{2}}=A{{C}^{2}}+C'{{C}^{2}}=2{{a}^{2}}+{{a}^{2}}=3{{a}^{2}}\]
\[\Rightarrow AC'=a\sqrt{3}\]
Bài 9. (SGK hình học 11 trang 114)
Hình chóp tam giác đều \[SABC\] có \[SH\] là đường cao.
\[\Rightarrow H\] là trực tâm \[\Delta ABC\] và \[SH\bot \left( ABC \right)\]
\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} AH \bot BC\\ SH \bot BC \end{array} \right. \Rightarrow BC \bot \left( {SAH} \right) \Rightarrow BC \bot SA\)
Chứng mình tương tự \[AC\bot SB\] .
Bài 10. (SGK hình học 11 trang 114)
a) \[SABCD\] là hình chóp tứ giác đều
\[\Rightarrow SO\bot \left( ABCD \right)\Rightarrow SO\bot AC\]
Trong \[\Delta ABC\] có: \[AO=\frac{1}{2}AC=\frac{\sqrt{A{{B}^{2}}+B{{C}^{2}}}}{2}=\frac{a\sqrt{2}}{2}\]
Trong \[\Delta SOA\] có: \[S{{O}^{2}}=S{{A}^{2}}-A{{O}^{2}}={{a}^{2}}-\frac{{{a}^{2}}}{2}=\frac{{{a}^{2}}}{2}\]
\[\Rightarrow SO=\frac{a\sqrt{2}}{2}\]
b) \[BD\bot AC\] ( \[ABCD\] là hình vuông)
\[BD\bot SO\left( SO\bot \left( ABCD \right) \right)\]
\[\Rightarrow BD\bot \left( SAC \right)\Rightarrow \left( MBD \right)\bot \left( SAC \right)\]
c) \[\Delta SOC\] vuông cân tại \[O,OM\] là đương trung tuyến
\[\Rightarrow OM=\frac{1}{2}SC=\frac{a}{2}\]
Ta có \[\left( MBD \right)\cap \left( ABCD \right)=BD\,\,\,\,\left( 1 \right)\]
\[AC\bot BD\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\]
\[\Delta SCD=\Delta SCB\left( c.c.c \right)\Rightarrow DM=BM\]
\[\Rightarrow \Delta DBM\] cân tại \[M\Rightarrow MO\bot BD\,\,\,\,\left( 3 \right)\]
Từ \[\left( 1 \right),\left( 2 \right),\left( 3 \right)\Rightarrow \left( \left( MBD \right);\left( ABCD \right) \right)=\left( MO;AC \right)\]
\[\Delta SOC\] vuông cân tại \[O\Rightarrow OM\] là phân giác \[\widehat{SOC}\]
\[\Rightarrow \widehat{MOC}={{45}^{0}}=\left( MO;AC \right)\] hay \[\left( \left( MBD \right);\left( ABCD \right) \right)={{45}^{0}}\]
Bài 11. (SGK hình học 11 trang 114)
a) Ta có \[SC\bot \left( ABCD \right)\Rightarrow SC\bot BD\]
Mà \[AC\bot BD\] (vì \[ABCD\] là hình thoi)
\[\Rightarrow BD\bot \left( SAC \right)\Rightarrow \left( SBD \right)\bot \left( SAC \right)\]
b) Ta có \[\Delta SCA\sim \Delta IKA\left( g.g \right)\]
\[\Rightarrow \frac{SC}{IK}=\frac{SA}{IA}\Rightarrow IK=\frac{SC.IA}{SA}\]
\[\Delta ABD\] cân tại \[A\] có \[\widehat{A}={{60}^{0}}\Rightarrow \Delta ABD\] đều cạnh bằng \[a\] .
\[\Rightarrow AI=\frac{a\sqrt{3}}{2}\Rightarrow AC=a\sqrt{3}\]
\[\Delta SCA\] vuông tại \[C\Rightarrow S{{A}^{2}}=S{{C}^{2}}+A{{C}^{2}}\Rightarrow SA=\frac{3a\sqrt{2}}{2}\Rightarrow IK=\frac{a}{2}\]
c) Ta có \[\Delta BKD\] có \[KI\] là đường trung tuyến, \[KI=\frac{1}{2}BD\]
\[\Rightarrow \Delta BKD\] vuông tại \[K\Rightarrow \widehat{BKD}={{90}^{0}}\]
Mặt khác, \(\left. \begin{array}{l} SA \bot IK\\ SA \bot BD\left( {BD \bot \left( {SAC} \right)} \right) \end{array} \right\} \Rightarrow SA \bot \left( {BKD} \right)\)
\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} SA \bot BK\\ SA \bot DK \end{array} \right.\)
Mà \(\left. \begin{array}{l} SA = \left( {SAB} \right) \cap \left( {SAD} \right)\\ \widehat {BKD} = {90^0} \end{array} \right\} \Rightarrow \left( {\left( {SAB} \right);\left( {SAD} \right)} \right) = \left( {BK;DK} \right) = {90^0}\)
\[\Rightarrow \left( SAD \right)\bot \left( SAB \right)\]
Gợi ý Giải bài tập sách giáo khoa hai mặt phẳng vuông góc hình học 11, toán 11 lý thuyết trọng tâm giúp học sinh nắm vững kiến thức chính xác nhất