Hai đường thẳng vuông góc

BÀI 2: HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC

A. LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM

I. Tích vô hướng của hai vec tơ trong không gian

1. Góc giữa hai vec tơ trong không gian

Định nghĩa:

Trong không gian, cho \[\overrightarrow{u}\] và \[\overrightarrow{v}\] là hai vec tơ khác vec tơ – không. Lấy một điểm A bất kì, gọi B và C là hai điểm sao cho \[\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{u};\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{v}\]. Khi đó, ta gọi góc \[\widehat{BAC}\left( {{0}^{0}}\le \widehat{BAC}\le {{180}^{0}} \right)\] là góc giữa hai vec tơ \[\overrightarrow{u}\] và \[\overrightarrow{v}\] trong không gian. Kí hiệu là \[\left( \overrightarrow{u};\overrightarrow{v} \right)\]

2. Tích vô hướng của hai vec tơ trong không gian

Định nghĩa:

Trong không gian, cho \[\overrightarrow{u}\] và \[\overrightarrow{v}\] là hai vec tơ khác vec tơ – không. Tích vô hướng của hai vec tơ \[\overrightarrow{u}\] và \[\overrightarrow{v}\] là một số, kí hiệu là cho \[\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}\] , được xác định bởi công thức:

\[\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=\left| \overrightarrow{u} \right|.\left| \overrightarrow{v} \right|\cos \left( \overrightarrow{u},\overrightarrow{v} \right)\]

Quy ước: Nếu \(\left[ \begin{array}{l} \overrightarrow u = \overrightarrow 0 \\ \overrightarrow v = \overrightarrow 0 \end{array} \right.\) thì \[\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=0\]

II. Vec tơ chỉ phương của đường thẳng

1. Định nghĩa

Vec tơ \[\overrightarrow{a}\] khác vec tơ – không được gọi là vec tơ chỉ phương của đường thẳng \[d\] nếu giá

của vec tơ \[\overrightarrow{a}\] song song hoặc trùng với đường thẳng \[d\] .

Nếu \[\overrightarrow{a}\] là vec tơ chỉ phương của đường thẳng \[d\] thì \[k\overrightarrow{a}\] cũng là vec tơ chỉ phương của đường thẳng \[d\] .
Đường thẳng \[d\] trong không gian được hoàn toàn xác định nếu biết \[A\in d\] và một vec tơ chỉ phương \[\overrightarrow{a}\] .
\[a//b\Leftrightarrow a;b\] phân biệt và có hai vec tơ chỉ phương cùng phương.

III. Góc giữa hai đường thẳng trong không gian

1. Định nghĩa

Góc giữa hai đường thẳng a và b trong không gian góc giữa hai đường thẳng a’ và b’ cùng đi qua một điểm và lần lượt song song với a và b.

2. Nhận xét

Để xác định góc giữa hai đường thẳng a và b ta có thể lấy điểm O thuộc một trong hai đường thẳng đó rồi vẽ một đường thẳng qua O và song song với đường thẳng còn lại.
Cho \[\left( \overrightarrow{u},\overrightarrow{v} \right)=\alpha \] với \[\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\] lần lượt là vec tơ chỉ phương của hai đường thẳng \[a,b\] . Khi đó, \[\left( a,b \right)=\alpha \left( {{0}^{0}}\le \alpha \le {{90}^{0}} \right)\] hoặc \[\left( a,b \right)={{180}^{0}}-\alpha \left( {{90}^{0}}\le \alpha \le {{180}^{0}} \right)\]

IV. Hai đường thẳng vuông góc

1. Định nghĩa

Hai đường thẳng được gọi là vuông góc với nhau nếu góc giữa chúng bằng \[{{90}^{0}}\] .

Người ta kí hiệu hai đường thẳng a và b vuông góc với nhau là \[a\bot b\].

2. Nhận xét

Nếu \[\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\] lần lượt là vec tơ chỉ phương của hai đường thẳng \[a,b\] thì \[a\bot b\Leftrightarrow \overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=0\]
\(\left. \begin{array}{l} b//c\\ a \bot c \end{array} \right\} \Rightarrow a \bot b\)
Hai đường thẳng vuông góc với nhau có thể cắt nhau hoặc chéo nhau.

B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP

Dạng 1. Tính góc giữa hai đường thẳng \[{{d}_{1}};{{d}_{2}}\]

Cách giải:

Cách 1:
Xác định góc giữa hai đường thẳng \[{{d}_{1}};{{d}_{2}}\] bằng cách: Lấy \[M\in {{d}_{1}}\] , qua \[M\] kẻ đường thẳng \[\Delta //{{d}_{2}}\] . Khi đó, \[\left( {{d}_{1}};{{d}_{2}} \right)=\left( {{d}_{1}};\Delta \right)\] .
Sử dụng định lý hàm số cosin hoặc tỉ số lượng giác để tính góc vừa xác định.
Cách 2:
Xác định \[\overrightarrow{{{u}_{1}}};\overrightarrow{{{u}_{2}}}\] lần lượt là vecto chỉ phương của hai đường thẳng \[{{d}_{1}};{{d}_{2}}\] .
Khi đó, góc giữa hai đường thẳng được xác định bằng công thức: \[\cos \left( {{d}_{1}};{{d}_{2}} \right)=\left| \cos \left( \overrightarrow{{{u}_{1}}};\overrightarrow{{{u}_{2}}} \right) \right|=\frac{\left| \overrightarrow{{{u}_{1}}}.\overrightarrow{{{u}_{2}}} \right|}{\left| \overrightarrow{{{u}_{1}}} \right|\left| \overrightarrow{{{u}_{2}}} \right|}\]

Dạng 2. Chứng minh hai đường thẳng vuông góc \[{{d}_{1}};{{d}_{2}}\]

Cách giải:

Cách 1: \[{{d}_{1}}\bot {{d}_{2}}\Leftrightarrow \overrightarrow{{{u}_{1}}}.\overrightarrow{{{u}_{2}}}=0\] ( với \[\overrightarrow{{{u}_{1}}};\overrightarrow{{{u}_{2}}}\] lần lượt là vecto chỉ phương của hai đường thẳng \[{{d}_{1}};{{d}_{2}}\] )
Cách 2: Sử dụng định lí Pytago hoặc tính trực tiếp số đo góc đó.
Cách 3: Sử dụng tính chất \(\left\{ \begin{array}{l} b//c\\ a \bot c \end{array} \right. \Rightarrow a \bot b\)

C. GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA

Bài 1. (SGK hình học 11 trang 97)

a) \[\left( \overrightarrow{AB};\overrightarrow{EG} \right)=\left( \overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC} \right)={{45}^{0}}\] (Vì \[\Delta ABC\] vuông cân tại \[B\])

b) \[\left( \overrightarrow{AF};\overrightarrow{EG} \right)=\left( \overrightarrow{AF};\overrightarrow{AC} \right)\]

Ta có \[AC=AF=CF\Rightarrow \Delta ACF\] đều.

\[\Rightarrow \left( \overrightarrow{AF};\overrightarrow{EG} \right)=\left( \overrightarrow{AF};\overrightarrow{AC} \right)={{60}^{0}}\]

c) \[\left( \overrightarrow{AB};\overrightarrow{DH} \right)=\left( \overrightarrow{AB};\overrightarrow{AE} \right)={{90}^{0}}\]

Bài 2. (SGK hình học 11 trang 97)

a) Ta có:

\(\begin{array}{l} \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CD} + \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {DB} + \overrightarrow {AD} .\overrightarrow {BC} \\ = \left( {\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {CB} } \right).\overrightarrow {CD} + \overrightarrow {AC} .\left( {\overrightarrow {DA} + \overrightarrow {AB} } \right) + \left( {\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {CD} } \right)\overrightarrow {BC} \\ = \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {CD} + \overrightarrow {CB} .\overrightarrow {CD} + \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {DA} + \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {BC} + \overrightarrow {CD} .\overrightarrow {BC} \\ = \overrightarrow {AC} .\left( {\overrightarrow {CD} + \overrightarrow {DA} + \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} } \right) + \overrightarrow {CD} .\left( {\overrightarrow {CB} + \overrightarrow {BC} } \right)\\ = \overrightarrow {AC} .\overrightarrow 0 + \overrightarrow {CD} .\overrightarrow 0 = 0 \end{array}\)

b) Ta có \(\left\{ \begin{array}{l} AB \bot CD \Rightarrow \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CD} = 0\\ AC \bot DB \Rightarrow \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {DB} = 0 \end{array} \right. \Rightarrow \overrightarrow {AD} .\overrightarrow {BC} = 0 \Rightarrow AD \bot BC\)

Bài 3. (SGK hình học 11 trang 97)

a) \[a\] và \[b\] không song song với nhau.

b) \[a\] không vuông góc với \[c\] .

Bài 4. (SGK hình học 11 trang 98)

a) Ta có \[\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{CC'}=\overrightarrow{AB}\left( \overrightarrow{AC'}-\overrightarrow{AC} \right)=\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC'}-\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}\]

\[=AB.AC'.\cos {{60}^{0}}-AB.AC.\cos {{60}^{0}}=0\] (vì \[AC'=AC\] )

\[\Rightarrow AB\bot CC'\]

b) Ta có \(\left. \begin{array}{l} MN//PQ\left( {//AB} \right)\\ MN = PQ\left( { = \frac{{AB}}{2}} \right) \end{array} \right\} \Rightarrow MNPQ\) là hình bình hành

Mặt khác,\(\left. \begin{array}{l} MQ//CC'\\ MN//AB\\ AB \bot CC' \end{array} \right\} \Rightarrow MN \bot MQ \Rightarrow MNPQ\) là hình chữ nhật.

Bài 5. (SGK hình học 11 trang 98)

Ta có\[\overrightarrow{SA}.\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{SA}\left( \overrightarrow{SC}-\overrightarrow{SB} \right)\]

\(\begin{array}{l} = \overrightarrow {SA} .\overrightarrow {SC} - \overrightarrow {SA} .\overrightarrow {SB} \\ = SA.SC.\cos \widehat {ASC} - SA.SB.\cos \widehat {ASB} = 0 \end{array}\)

\[\Rightarrow SA\bot BC\]

Chứng minh tương tự ta có \[SB\bot AC,SC\bot AB\]

Bài 6. (SGK hình học 11 trang 98)

+, Ta có\[\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{OO'}=\overrightarrow{AB}\left( \overrightarrow{AO'}-\overrightarrow{AO} \right)\]

\(\begin{array}{l} = \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AO'} - \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AO} \\ = AB.AO'.\cos {45^0} - AB.AO.\cos {45^0} = 0\left( {AO' = AO} \right) \end{array}\)

\[\Rightarrow AB\bot OO'\]

+, Ta có \(\left. \begin{array}{l} CD//C'D'\left( {//AB} \right)\\ CD = C'D'\left( { = AB} \right) \end{array} \right\} \Rightarrow CDD'C'\) là hình bình hành.

Mặt khác, \[DD'//OO'\] (tính chất đường trung bình trong \[\Delta BDD'\] )

\(\begin{array}{l} CD//AB\\ AB \bot OO' \end{array}\)

\[\Rightarrow CD\bot DD'\Rightarrow CDD'C'\] là hình chữ nhật.

Bài 7. (SGK hình học 11 trang 98)

Ta có \[S=\frac{1}{2}AB.AC.\sin A=\frac{1}{2}AB.AC.\sqrt{1-{{\cos }^{2}}A}\]

Vì \[\cos A=\frac{\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}}{\left| \overrightarrow{AB} \right|.\left| \overrightarrow{AC} \right|}\] nên

\[\sqrt{1-{{\cos }^{2}}A}=\sqrt{1-\frac{{{\left( \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC} \right)}^{2}}}{{{\left| \overrightarrow{AB} \right|}^{2}}.{{\left| \overrightarrow{AC} \right|}^{2}}}}=\sqrt{\frac{{{\left| \overrightarrow{AB} \right|}^{2}}.{{\left| \overrightarrow{AC} \right|}^{2}}-{{\left( \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC} \right)}^{2}}}{A{{B}^{2}}.A{{C}^{2}}}}=\sqrt{\frac{{{\overrightarrow{AB}}^{2}}.{{\overrightarrow{AC}}^{2}}-{{\left( \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC} \right)}^{2}}}{A{{B}^{2}}.A{{C}^{2}}}}\]

\[\Rightarrow S=\frac{1}{2}AB.AC.\sqrt{\frac{{{\overrightarrow{AB}}^{2}}.{{\overrightarrow{AC}}^{2}}-{{\left( \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC} \right)}^{2}}}{A{{B}^{2}}.A{{C}^{2}}}}=\frac{1}{2}\sqrt{{{\overrightarrow{AB}}^{2}}.{{\overrightarrow{AC}}^{2}}-{{\left( \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC} \right)}^{2}}}\]

Bài 8. (SGK hình học 11 trang 98)

a) Ta có\[\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AB}\left( \overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AC} \right)\]

\(\begin{array}{l} = \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AD} - \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} \\ = AB.AD.\cos {60^0} - AB.AC.\cos {60^0} = 0\left( {AD = AC} \right) \end{array}\)

\[\Rightarrow AB\bot CD\]

b) Ta có \(\begin{array}{l} \overrightarrow {MN} = \overrightarrow {MA} + \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {DN} \\ \overrightarrow {MN} = \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {CN} \end{array}\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow 2\overrightarrow {MN} = \left( {\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} } \right) + \left( {\overrightarrow {AD} + \overrightarrow {BC} } \right) + \left( {\overrightarrow {DN} + \overrightarrow {CN} } \right)\\ \Leftrightarrow 2\overrightarrow {MN} = \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {BC} \\ \Leftrightarrow \overrightarrow {MN} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AD} + \overrightarrow {BC} } \right)\\ \Leftrightarrow \overrightarrow {MN} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AB} } \right) \end{array}\)

+, \[\overrightarrow{MN}.\overrightarrow{AB}=\frac{1}{2}\left( \overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB} \right).\overrightarrow{AB}=\frac{1}{2}\left( \overrightarrow{AD}.\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{AB}-{{\overrightarrow{AB}}^{2}} \right)\]

\(\begin{array}{l} = \frac{1}{2}\left( {AD.AB.\cos {{60}^0} + AC.AB.\cos {{60}^0} - A{B^2}} \right)\\ = \frac{1}{2}\left( {A{B^2} - A{B^2}} \right) = 0 \end{array}\)

\[\Rightarrow MN\bot AB\]

+, \[\overrightarrow{MN}.\overrightarrow{CD}=\frac{1}{2}\left( \overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB} \right).\left( \overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AC} \right)=0\]

Gợi ý Giải bài tập sách giáo khoa hai đường thẳng vuông góc hình học 11, toán 11 lý thuyết trọng tâm giúp học sinh nắm vững kiến thức nhanh nhất

Đánh giá (233)