ican
Toán 11
Bài 2: Giới hạn của hàm số

Bài 2. Giới hạn của hàm số

Giải bài tập sách giáo khoa giới hạn của hàm số toán học 11, toán 11 lý thuyết trọng tâm giúp học sinh nắm vững kiến thức chính xác nhất.

Ican

BÀI 2: GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ

A. LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM

I. Giới hạn hữu hạn của hàm số tại một điểm

1. Định nghĩa

Định nghĩa 1

Cho khoảng K chứa điểm \[{{x}_{0}}\] và hàm số \[y=f(x)\] xác định trên K hoặc trên \[K\backslash \left\{ {{x}_{0}} \right\}\] .

Ta nói hàm số \[y=f(x)\] có giới hạn là số L khi x dần tới \[{{x}_{0}}\] nếu với dãy số \[\left( {{x}_{n}} \right)\] bất kì, \[{{x}_{n}}\in K\backslash \left\{ {{x}_{0}} \right\}\] và \[{{x}_{n}}\to {{x}_{0}}\] , ta có \[f\left( {{x}_{n}} \right)\to L\] .

Kí hiệu: \[\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,f(x)=L\] hay \[f(x)\to L\] khi \[x\to {{x}_{0}}\] .

Nhận xét

\[\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,x={{x}_{0}};\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,c=c\] , với c là hằng số.

2. Định lí về giới hạn hữu hạn

Định lí 1

a) Giả sử \[\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,f(x)=L\] và \[\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,g(x)=M\] . Khi đó

  • \[\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,\left[ f(x)+g(x) \right]=L+M\]
  • \[\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,\left[ f(x)-g(x) \right]=L-M\]
  • \[\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,\left[ f(x).g(x) \right]=L.M\]
  • \[\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{L}{M}\] (nếu \[M\ne 0\] )

b) Nếu \(f(x) \ge 0\) và \[\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,f(x)=L\] , thì

\[L\ge 0\] và \[\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,\sqrt{f(x)}=\sqrt{L}\] .

(Dấu của f(x) được xét trên khoảng đang tìm giới hạn, với \[x\ne {{x}_{0}}\] ).

3. Giới hạn một bên

Trong dịnh nghĩa 1 về giới hạn hữu hạn của hàm số khi \[x\to {{x}_{0}}\] , ta xét dãy số \[({{x}_{n}})\] bất kì, \[{{x}_{n}}\in \left( a;b \right)\backslash \left\{ {{x}_{0}} \right\}\] và \[{{x}_{n}}\to {{x}_{0}}\] . Giá trị \[{{x}_{n}}\] có thể lớn hơn hay nhỏ hơn \[{{x}_{0}}\] .

Nếu ta chỉ xét các dãy \[({{x}_{n}})\] mà \[{{x}_{n}}\] luôn lớn hơn \[{{x}_{0}}\] (hay luôn nhỏ hơn \[{{x}_{0}}\] ), thì ta có định nghĩa giới hạn một bên dưới đây.

Định nghĩa 2

  • Cho hàm số \[y=f(x)\] xác định trên khoảng \[({{x}_{0}};b)\] .

Số L được gọi là giới hạn bên phải của hàm số \[y=f(x)\] khi \[{{x}_{n}}\to {{x}_{0}}\] nếu với dãy số \[({{x}_{n}})\] bất kì, \[{{x}_{0}}<{{x}_{n}} và \[{{x}_{n}}\to {{x}_{0}}\] , ta có \[f({{x}_{n}})\to L\] .

Kí hiệu: \[\underset{x\to x_{0}^{+}}{\mathop{\lim }}\,f(x)=L\] .

  • Cho hàm số \[y=f(x)\] xác định trên khoảng \[(a;{{x}_{0}})\] .

Số L được gọi là giới hạn bên trái của hàm số \[y=f(x)\] khi \[x\to {{x}_{0}}\] nếu với dãy số \[({{x}_{n}})\] bất kì, \[a<{{x}_{n}}<{{x}_{0}}\] và \[{{x}_{n}}\to {{x}_{0}}\] , ta có \[f({{x}_{n}})\to L\] .

Kí hiệu: \[\underset{x\to x_{0}^{-}}{\mathop{\lim }}\,f(x)=L\] .

Định lí 2

\[\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,f(x)=L\] khi và chỉ khi \[\underset{x\to x_{0}^{-}}{\mathop{\lim }}\,f(x)=\underset{x\to x_{0}^{+}}{\mathop{\lim }}\,f(x)=L\] .

II. Giới hạn hữu hạn của hàm số tại vô cực

Định nghĩa 3

a) Cho hàm số \[y=f(x)\] xác định trên khoảng \[(a;+\infty )\] .

Ta nói hàm số \[y=f(x)\] có giới hạn là số L khi \[x\to +\infty \] nếu với dãy số \[({{x}_{n}})\] bất kì, \[{{x}_{n}}>a\] và \[{{x}_{n}}\to +\infty \] , ta có \[f({{x}_{n}})\to L\] .

Kí hiệu: \[\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,f(x)=L\] hay \[f(x)\to L\] khi \[x\to +\infty \] .

b) Cho hàm số \[y=f(x)\] xác định trên khoảng \[(-\infty ;a)\] .

Ta nói hàm số \[y=f(x)\] có giới hạn là số L khi \[x\to -\infty \] nếu với dãy số \[({{x}_{n}})\] bất kì, \[{{x}_{n}} và \[{{x}_{n}}\to -\infty \] , ta có \[f({{x}_{n}})\to L\] .

Kí hiệu: \[\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,f(x)=L\] hay \[f(x)\to L\] khi \[x\to -\infty \] .

Chú ý

a) Với c, k là các hằng số và k nguyên dương, ta luôn có:

\[\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,c=c;\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,c=c;\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{c}{{{x}^{k}}}=0;\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,~\frac{c}{{{x}^{k}}}=0\]

b) Định lí 1 về giới hạn hữu hạn của hàm số khi \[x\to {{x}_{0}}\] vẫn còn đúng khi \[x\to +\infty \] hoặc \[x\to -\infty \] .

III. Giới hạn vô cực của hàm số

1. Giới hạn vô cực

Định nghĩa 4

Cho hàm số \[y=f(x)\] xác định trên khoảng \[(a;+\infty )\] .

Ta nói hàm số \[y=f(x)\] có giới hạn là \[-\infty \] khi \[x\to +\infty \] \[x\to +\infty \] nếu với dãy số \[({{x}_{n}})\] bất kì, \[{{x}_{n}}>a\] và \[{{x}_{n}}\to +\infty \] , ta có \[f({{x}_{n}})\to -\infty \] .

Kí hiệu: \[\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,f(x)=-\infty \] hay \[f(x)\to -\infty \] khi \[x\to +\infty \] .

Nhận xét

\[\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,f(x)=+\infty \Leftrightarrow \underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,(-f(x))=-\infty \] .

2. Một vài giới hạn đặc biệt

a) \[\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,{{x}^{k}}=+\infty \] với k nguyên dương.

b) \[\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,{{x}^{k}}=-\infty \] nếu k là số lẻ.

c) \[\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,{{x}^{k}}=+\infty \] nếu k là số chẵn.

3. Một vài quy tắc về giới hạn vô cực

a) Quy tắc tìm giới hạn của tích \[f(x).g(x)\]

Nếu \[\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,f(x)=L\ne 0\] và \[\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,g(x)=+\infty \] (hoặc \[-\infty \] ) thì \[\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,f(x)g(x)\] được tính theo quy tắc sau:

\[\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,f(x)\]

\[\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,g(x)\]

\[\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,f(x)g(x)\]

\(L>0\)

\[+\infty \]

\[+\infty \]

\[-\infty \]

\[-\infty \]

\(L<0\)

\[+\infty \]

\[-\infty \]

\[-\infty \]

\[+\infty \] .

 

b) Quy tắc tìm giới hạn của thương \[\frac{f(x)}{g(x)}\]

\[\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,f(x)\]

\[\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,g(x)\]

Dấu của g(x)

\[\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{f(x)}{g(x)}\]

L

\[\pm \infty \]

Tùy ý

0

\[L>0\]

 

0

+

\[+\infty \]

\[-\]

\[-\infty \]

\[L<0\]

+

\[-\infty \]

\[-\]

\[+\infty \]

 

(Dấu của g(x) xét trên một khoảng K nào đó đang tính giới hạn, với \[x\ne {{x}_{0}}\] ).

Chú ý

Các quy tắc trên vẫn đúng cho các trường hợp \[x\to x_{0}^{+},x\to x_{0}^{-},x\to +\infty \] và \[x\to -\infty \] .

 

B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP

Dạng 1. Tìm giới hạn của hàm số bằng cách sử dụng trực tiếp các định nghĩa

Cách giải:

+, Để tìm \[\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)\] ta làm như sau:

  • Xét dãy số \[\left( {{x}_{n}} \right)\] bất kì thuộc tập xác định với \[{{x}_{n}}\ne {{x}_{0}}\] và \[\lim {{x}_{n}}={{x}_{0}}\]
  • Nếu \[\lim f\left( {{x}_{n}} \right)=L\] thì \[\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=L\] . Nếu \[\lim f\left( {{x}_{n}} \right)=\pm \infty \] thì \[\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=\pm \infty \]

+, Để tìm \[\underset{x\to \pm \infty }{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)\] ta làm như sau:

  • Xét dãy số \[\left( {{x}_{n}} \right)\] bất kì thuộc tập xác định mà \[\lim {{x}_{n}}=\pm \infty \]
  • Nếu \[\lim f\left( {{x}_{n}} \right)=L\] thì \[\underset{x\to \pm \infty }{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=L\] . Nếu \[\lim f\left( {{x}_{n}} \right)=\pm \infty \] thì \[\underset{x\to \pm \infty }{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=\pm \infty \] hoặc \[\underset{x\to \pm \infty }{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=\mp \infty \] .

Dạng 2. Tìm giới hạn của hàm số tại một điểm bằng cách sử dụng định lí và quy tắc

Cách giải:

Để tìm \[\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)\] ta làm như sau: Thay trực tiếp giá trị \[x={{x}_{0}}\] vào \[f\left( x \right)\]

  • Nếu kết quả bằng hằng số \[L\] thì kết luận \[\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,f\left( {{x}_{0}} \right)=f\left( {{x}_{0}} \right)=L\]
  • Nếu kết quả bằng \[\frac{0}{0}\] ta cần khử bằng cách: rút gọn, nhân liên hợp, đưa về tổng (hiệu) các giới hạn,…

Chú ý: Làm tương tự đối với trường hợp giới hạn một bên.

Dạng 3. Tìm giới hạn của hàm số khi \[x\to \pm \infty \]

Cách giải:

  • Chia cả tử và mẫu (hoặc đặt nhân tử chung) cho \[{{x}^{k}}\] với \[k\] là bậc lớn nhất của hàm số
  • Áp dụng các định lí, quy tắc về giới hạn rồi rút ra kết luận

Chú ý: Nếu gặp dạng vô định \[\frac{\infty }{\infty };0\times \infty ;\infty -\infty \] thì ta khử bằng cách: rút gọn, nhân liên hợp, quy đồng mẫu số …

Dạng 4. Chứng minh sự tồn tại của giới hạn

Cách giải:

  • \[\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=L\Leftrightarrow \underset{x\to x_{0}^{+}}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=\underset{x\to x_{0}^{-}}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=L\]
  • \[\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=\pm \infty \Leftrightarrow \underset{x\to x_{0}^{+}}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=\underset{x\to x_{0}^{-}}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=\pm \infty \]

C. GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA

Bài 1. SGK Đại số 11 trang 132

a) \[\underset{x\to 4}{\mathop{\lim }}\,\frac{x+1}{3x-2}\]

Hàm số \[f\left( x \right)=\frac{x+1}{3x-2}\] xác định trên \[R\backslash \left\{ \frac{2}{3} \right\}\] và \[x=4\in \left( \frac{2}{3};+\infty  \right)\]

Giả sử \[\left( {{x}_{n}} \right)\] là một dãy số bất kì thỏa mãn \[x\in \left( \frac{2}{3};+\infty  \right)\] và \[{{x}_{n}}\to 4\] khi \[n\to +\infty \] .

Ta có: \[\lim f\left( {{x}_{n}} \right)=\lim \frac{{{x}_{n}}+1}{3{{x}_{n-2}}}=\frac{4+1}{3.4-2}=\frac{1}{2}\]

\[\Rightarrow \underset{x\to 4}{\mathop{\lim }}\,\frac{x+1}{3x-2}=\frac{1}{2}\]

b) \[\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{2-5{{x}^{2}}}{{{x}^{2}}+3}\]

Hàm số \[f\left( x \right)=\frac{2-5{{x}^{2}}}{{{x}^{2}}+3}\] xác định trên R.

Giả sử \[\left( {{x}_{n}} \right)\] là một dãy số bất kì thỏa mãn \[{{x}_{n}}\to +\infty \] khi \[n\to +\infty \]

Ta có: \[\lim f\left( {{x}_{n}} \right)=\lim \frac{2-5x_{n}^{2}}{x_{n}^{2}+3}=\lim \frac{\frac{2}{x_{n}^{2}}-5}{1+\frac{3}{x_{n}^{2}}}=-5\]

\[\Rightarrow \underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{2-5{{x}^{2}}}{{{x}^{2}}+3}=-5\]

Bài 2. SGK Đại số 11 trang 132

+ \[\lim {{u}_{n}}=\lim \frac{1}{n}=0\]

+ \[\lim {{v}_{n}}=\lim \left( \frac{-1}{n} \right)=0\]

+ Vì \[\frac{1}{n}>0\] nên \[f\left( {{u}_{n}} \right)=\sqrt{\frac{1}{n}}+1\]

\[\Rightarrow \lim f\left( {{u}_{n}} \right)=\lim \left( \sqrt{\frac{1}{n}}+1 \right)=1\]

+ Vì \[-\frac{1}{n}<0\] nên \[f\left( {{v}_{n}} \right)=\frac{-2}{n}\]

\[\Rightarrow \lim f\left( {{v}_{n}} \right)=\lim \left( -\frac{2}{n} \right)=0\]

Theo định nghĩa:

\[\lim f\left( {{u}_{n}} \right)=1\to \underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=1\]

\[\lim f\left( {{v}_{n}} \right)=0\to \underset{x\to {{0}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=0\]

\[\Rightarrow \underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)\ne \underset{x\to {{0}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)\]

=> Hàm số đã cho không tồn tại giới hạn khi \[x\to 0\]

Bài 3. SGK Đại số 11 trang 132

a) \[\underset{x\to -3}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{x}^{2}}-1}{x+1}=\frac{{{\left( -3 \right)}^{2}}-1}{-3+1}=-4\]

b) \[\underset{x\to -2}{\mathop{\lim }}\,\frac{4-{{x}^{2}}}{x+2}=\underset{x\to -2}{\mathop{\lim }}\,\frac{\left( 2+x \right)\left( 2-x \right)}{2+x}=\underset{x\to -2}{\mathop{\lim }}\,\left( 2-x \right)=4\]

c) \[\underset{x\to 6}{\mathop{\lim }}\,\frac{\sqrt{x+3}-3}{x-6}=\underset{x\to 6}{\mathop{\lim }}\,\frac{\left( \sqrt{x+3}-3 \right)\left( \sqrt{x+3}+3 \right)}{\left( x-6 \right)\left( \sqrt{x+3}+3 \right)}=\underset{x\to 6}{\mathop{\lim }}\,\frac{x-6}{\left( x-6 \right)\left( \sqrt{x+3}+3 \right)}=\underset{x\to 6}{\mathop{\lim }}\,\frac{1}{\sqrt{x+3}+3}=\frac{1}{6}\]

d) \[\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{2x-6}{4-x}=\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{2-\frac{6}{x}}{\frac{4}{x}-1}=-2\]

e) \[\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{17}{{{x}^{2}}+1}=\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{\frac{17}{{{x}^{2}}}}{1+\frac{1}{{{x}^{2}}}}=0\]

f) \[\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{-2{{x}^{2}}+x-1}{3+x}=\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{-2+\frac{1}{x}-\frac{1}{{{x}^{2}}}}{\frac{3}{{{x}^{2}}}+\frac{1}{x}}\]

Vì \[\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\left( -2+\frac{1}{x}-\frac{1}{{{x}^{2}}} \right)=-2<0;\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\left( \frac{3}{{{x}^{2}}}+\frac{1}{x} \right)=0;\frac{3}{{{x}^{2}}}+\frac{1}{x}>0\]

\[\Rightarrow \underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{-2+\frac{1}{x}-\frac{1}{{{x}^{2}}}}{\frac{3}{{{x}^{2}}}+\frac{1}{x}}=-\infty \]

\[\Rightarrow \underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{-2{{x}^{2}}+x-1}{3+x}=-\infty \]

Bài 4. SGK Đại số 11 trang 132

a) \[\underset{x\to 2}{\mathop{\lim }}\,\frac{3x-5}{{{\left( x-2 \right)}^{2}}}\]

Ta có: \[\underset{x\to 2}{\mathop{\lim }}\,\left( 3x-5 \right)=1>0\] ; \[\underset{x\to 2}{\mathop{\lim }}\,{{\left( x-2 \right)}^{2}}=0,{{\left( x-2 \right)}^{2}}>0\forall x\ne 2\]

\[\Rightarrow \underset{x\to 2}{\mathop{\lim }}\,\frac{3x-5}{{{\left( x-2 \right)}^{2}}}=+\infty \]

b) \[\underset{x\to {{1}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{2x-7}{x-1}\]

Ta có: \[\underset{x\to {{1}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\left( 2x-7 \right)=-5<0\] ; \[\underset{x\to {{1}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\left( x-1 \right)=0,x-1<0\forall x<1\]

\[\Rightarrow \underset{x\to {{1}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{2x-7}{x-1}=+\infty \]

c) \[\underset{x\to {{1}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{2x-7}{x-1}\]

Ta có: \[\underset{x\to {{1}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\left( 2x-7 \right)=-5<0\] ; \[\underset{x\to {{1}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\left( x-1 \right)=0,x-1>0\forall x>1\]

\[\Rightarrow \underset{x\to {{1}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{2x-7}{x-1}=-\infty \]

Bài 5. SGK Đại số 11 trang 132

a)

Khi \[x\to -\infty \] thì \[f\left( x \right)\to 0\] .

Khi \[x\to {{3}^{-}}\] thì \[f\left( x \right)\to -\infty \]

Khi \[x\to -{{3}^{+}}\] thì \[f\left( x \right)\to +\infty \]

b)

+ \[\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{x+2}{{{x}^{2}}-9}=\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{\frac{1}{x}+\frac{2}{{{x}^{2}}}}{1-\frac{9}{{{x}^{2}}}}=0\]

+ \[\underset{x\to {{3}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=\underset{x\to {{3}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{x+2}{{{x}^{2}}-9}\]

Ta có: \[\underset{x\to {{3}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\left( x+2 \right)=5>0\] ; \[\underset{x\to {{3}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\left( {{x}^{2}}-9 \right)=0,{{x}^{2}}-9<0\left( x\in \left( -3;3 \right) \right)\]

\[\Rightarrow \underset{x\to {{3}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=-\infty \]

+ \[\underset{x\to -{{3}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=\underset{x\to -{{3}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{x+2}{{{x}^{2}}-9}\]

Ta có: \[\underset{x\to -{{3}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\left( x+2 \right)=-1<0\] ; \[\underset{x\to -{{3}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\left( {{x}^{2}}-9 \right)=0,{{x}^{2}}-9<0\left( x\in \left( -3;3 \right) \right)\]

\[\Rightarrow \underset{x\to -{{3}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=+\infty \]

Bài 6. SGK Đại số 11 trang 133

a) \[\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\left( {{x}^{4}}-{{x}^{2}}+x-1 \right)=\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,{{x}^{4}}\left( 1-\frac{1}{{{x}^{2}}}+\frac{1}{{{x}^{3}}}-\frac{1}{{{x}^{4}}} \right)\]

Vì \[\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,{{x}^{4}}=+\infty \] ; \[\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\left( 1-\frac{1}{{{x}^{2}}}+\frac{1}{{{x}^{3}}}-\frac{1}{{{x}^{4}}} \right)=1>0\]

\[\Rightarrow \underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\left( {{x}^{4}}-{{x}^{2}}+x-1 \right)=+\infty \]

b) \[\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,\left( -2{{x}^{3}}+3{{x}^{2}}-5 \right)=\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,{{x}^{3}}\left( -2+\frac{3}{x}-\frac{5}{{{x}^{3}}} \right)\]

Vì \[\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,{{x}^{3}}=-\infty \] ; \[\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,\left( -2+\frac{3}{x}-\frac{5}{{{x}^{3}}} \right)=-2<0\]

\[\Rightarrow \underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,\left( -2{{x}^{3}}+3{{x}^{2}}-5 \right)=+\infty \]

c) \[\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,\sqrt{{{x}^{2}}-2x+5}=\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,\sqrt{{{x}^{2}}\left( 1-\frac{2}{x}+\frac{5}{{{x}^{2}}} \right)}=\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,\left[ -x\sqrt{1-\frac{2}{x}+\frac{5}{{{x}^{2}}}} \right]\]

Vì \[\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,\left( -x \right)=+\infty \] ; \[\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,\sqrt{1-\frac{2}{x}+\frac{5}{{{x}^{2}}}}=1>0\]

\[\Rightarrow \underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,\sqrt{{{x}^{2}}-2x+5}=+\infty \]

d) \[\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{\sqrt{{{x}^{2}}+1}+x}{5-2x}=\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{\sqrt{1+\frac{1}{{{x}^{2}}}}+1}{\frac{5}{x}-2}=-1\]

Bài 7. SGK Đại số 11 trang 133

a) Ta có: \[\frac{1}{d}+\frac{1}{d'}=\frac{1}{f}\]

\[\Leftrightarrow \frac{1}{d'}=\frac{1}{f}-\frac{1}{d}\]

\[\Leftrightarrow \frac{1}{d'}=\frac{d-f}{f.d}\]

\[\Leftrightarrow d'=\varphi \left( d \right)=\frac{fd}{d-f}\]

b)

+ \[\underset{d\to {{f}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\varphi \left( d \right)=\underset{d\to {{f}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{fd}{d-f}\]

Vì \[\underset{d\to {{f}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\left( fd \right)={{f}^{2}}>0\]; \[\underset{d\to {{f}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\left( d-f \right)=0,d-f>0\left( d\to {{f}^{+}} \right)\]

\[\Rightarrow \underset{d\to {{f}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\varphi \left( d \right)=+\infty \]

Ý nghĩa: Nếu vật thật AB tiến dần về tiêu điểm F sao cho d luôn lớn hơn f thì ảnh của nó dần tới vô cực.

+ \[\underset{d\to {{f}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\varphi \left( d \right)=\underset{d\to {{f}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{fd}{d-f}\]

Vì \[\underset{d\to {{f}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\left( fd \right)={{f}^{2}}>0\]; \[\underset{d\to f-}{\mathop{\lim }}\,\left( d-f \right)=0,d-f<0\left( d\to {{f}^{-}} \right)\]

\[\Rightarrow \underset{d\to {{f}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\varphi \left( d \right)=-\infty \]

Ý nghĩa: Nếu vật thật AB tiến dần về tiêu điểm F sao cho d luôn nhỏ hơn f thì ảnh của nó dần tới âm vô cực.

+ \[\underset{d\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\varphi \left( d \right)=\underset{d\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{fd}{d-f}=\underset{d\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{f}{1-\frac{f}{d}}=f\]

Ý nghĩa: Nếu vật thật AB ở xa vô cực so với thấu kính thì ảnh của nó ở ngay trên tiêu diện ảnh ( mặt phẳng đi qua tiêu điểm ảnh F’ và vuông góc với trục chính).

Gợi ý Giải bài tập sách giáo khoa giới hạn của hàm số toán học 11, toán 11 lý thuyết trọng tâm giúp học sinh nắm vững kiến thức chính xác nhất.

Đánh giá (245)
ican
  • Một thương hiệu của 
    ICAN
  • ICAN
  • ICAN © 2023, All Rights Reserved.

  • Trụ sở Hồ Chí Minh: B0003 C/C Sarina, Khu đô thị Sala, Khu phố 3, Đường Hoàng Thế Thiện, Phường An Lợi Đông, TP. Thủ Đức

  • Văn phòng Hà Nội: Tòa nhà 25T2 Đường Hoàng Đạo Thúy, Phường Trung Hòa, Quận Cầu Giấy