BÀI 1: GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ
A. LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM
I. Giới hạn hữu hạn của dãy số
1. Định nghĩa
Định nghĩa 1 : Ta nói dãy số \[\left( {{u}_{n}} \right)\] có giới hạn là 0 khi n dần tới dương vô cực, nếu \[\left| {{u}_{n}} \right|\] có thể nhỏ hơn một số dương bé tùy ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi.
Ký hiệu : \[\underset{n\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,{{u}_{n}}=0\] hay \[{{u}_{n}}\to 0\] khi \[n\to +\infty \] .
Như vậy, \[\left( {{u}_{n}} \right)\] có giới hạn là 0 khi \[n\to +\infty \] nếu \[{{u}_{n}}\] có thể gần 0 bao nhiêu cũng được, miễn là n đủ lớn.
Định nghĩa 2 : Ta nói dãy số \[\left( {{v}_{n}} \right)\] có giới hạn là số a (hay \[{{v}_{n}}\] dần tới a ) khi \[n\to +\infty \] , nếu \[\underset{n\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,({{v}_{n}}-a)=0\] .
Ký hiệu : \[\underset{n\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,{{v}_{n}}=a\] hay \[{{v}_{n}}\to a\] khi \[n\to +\infty \] .
2. Một vài giới hạn đặc biệt
Từ định nghĩa suy ra các kết quả sau :
a) \[\underset{n\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{1}{n}=0;\underset{n\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{1}{{{n}^{k}}}=0\] với k nguyên dương.
b) \[\underset{n\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,{{q}^{n}}=0\] nếu \[\left| q \right|<1\] .
c) Nếu \[{{u}_{n}}=c\] (c là hằng số) thì \[\underset{n\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,{{u}_{n}}=\underset{n\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,c=c\] .
Chú ý.
Từ nay về sau thay cho \[\underset{n\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,{{u}_{n}}=a\] , ta viết tắt là \[\underset{{}}{\mathop{\lim }}\,{{u}_{n}}=a\] .
II. Định lý về giới hạn hữu hạn
Định lý 1
a) Nếu \[\lim {{u}_{n}}=a\] và \[\lim {{v}_{n}}=b\] thì
· \(\lim ({u_n} + {v_n}) = a + b\)
· \(\lim ({u_n} - {v_n}) = a - b\)
· \(\lim ({u_n}.{v_n}) = a.b\)
· \(\lim \frac{{{u_n}}}{{{v_n}}} = \frac{a}{b}\) (nếu \[b\ne 0\] ).
b) Nếu \[{{u}_{n}}\ge 0\] với mọi n và \[\lim {{u}_{n}}=a\] thì
\[a\ge 0\] và \[\lim \sqrt{{{u}_{n}}}=\sqrt{a}\] .
III. Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn
Cấp số nhân vô hạn \[\left( {{u}_{n}} \right)\] có công bội q, với \[\left| q \right|<1\] được gọi là cấp số nhân lùi vô hạn.
Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn \[\left( {{u}_{n}} \right)\] kí hiệu là \[S={{u}_{1}}+u_{2}^{{}}+{{u}_{3}}+...+{{u}_{n}}+...\]
Như vậy
\[S=\frac{{{u}_{1}}}{1-q}(\left| q \right|<1)\] .
IV. Giới hạn vô cực
1. Định nghĩa
Định nghĩa
· Ta nói dãy số \[\left( {{u}_{n}} \right)\] có giới hạn \[+\infty \] khi \[n\to +\infty \] , nếu \[{{u}_{n}}\] có thể lớn hơn một số dương bất kì, kể từ một số hạng nào đó trở đi.
Kí hiệu : \[\lim {{\mathsf{u}}_{n}}=+\infty \] hay \[{{u}_{n}}\to +\infty \] khi \[n\to +\infty \] .
· Dãy số \[({{u}_{n}})\] được gọi là có giới hạn \[-\infty \] khi \[n\to +\infty \] nếu \[\lim (-{{u}_{n}})=+\infty \] .
Kí hiệu : \[\lim {{u}_{n}}=-\infty \] hay \[{{u}_{n}}\to -\infty \] khi \[n\to +\infty \] .
Nhận xét
\[\lim {{u}_{n}}=+\infty \Leftrightarrow \lim (-{{u}_{n}})=-\infty \] .
2. Một vài giới hạn đặc biệt
Ta thừa nhận các kết quả sau :
a) \[\lim {{n}^{k}}=+\infty \] với k nguyên dương
b) \[\lim {{q}^{n}}=+\infty \] nếu \[q>1\] .
3. Định lí
Định lí 2
a) Nếu \[\lim {{u}_{n}}=a\] và \[\lim {{v}_{n}}=\pm \infty \] thì \[\lim \frac{{{u}_{n}}}{{{v}_{n}}}=0\] .
b) Nếu \[\lim {{u}_{n}}=a>0,\lim {{v}_{n}}=0\] và \[{{v}_{n}}>0\] với mọi n thì \[\lim \frac{{{u}_{n}}}{{{v}_{n}}}=+\infty \] .
c) Nếu \[\lim {{u}_{n}}=+\infty \] và \[\lim {{v}_{n}}=a>0\] thì \[\lim {{u}_{n}}{{v}_{n}}=+\infty \] . \[\]
B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP
Dạng 1. Chứng minh dãy số có giới hạn \[0;a;\pm \infty \]
Cách giải:
Sử dụng định nghĩa để chứng minh.
Chú ý:
- Nếu dãy số xuất hiện lượng giác \[\left( \sin n;\cos n \right)\] thì \[-1\le \sin n,\cos n\le 1\]
- Chứng minh dãy số \[\left| {{u}_{n}} \right|<\frac{a}{{{n}^{k}}};\frac{a}{{{b}^{n}}}\left( k\in {{\mathbb{Z}}^{*}} \right)\] . Khi đó, \[\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{a}{{{n}^{k}}}=\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{a}{{{b}^{n}}}=0\]
Dạng 2. Tính giới hạn dãy số có dạng \[\frac{{{u}_{n}}}{{{v}_{n}}}\] (với \[{{u}_{n}};{{v}_{n}}\] có dạng đa thức theo \[n\] ) hoặc dãy số chứa căn
Cách giải:
- Tìm bậc cao nhất của \[{{u}_{n}};{{v}_{n}}\] (giả sử là \[{{k}_{0}}\] )
- Chia \[{{u}_{n}};{{v}_{n}}\] cho \[{{n}^{{{k}_{0}}}}\]
- Áp dụng các tính chất của dãy số để tính giới hạn
Dạng 3. Tính giới hạn của dãy số chứa thành phần mũ, lũy thừa
Cách giải:
Áp dụng \[\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,{{q}^{n}}=0\left( \left| q \right|<1 \right)\]
Dạng 4. Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn.
Cách giải:
Xác định số hạng đầu và công sai của dãy số. Sau đó áp dụng công thức tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn \[S=\frac{{{u}_{1}}}{1-q}\left( \left| q \right|<1 \right)\]
Dạng 5. Bài toán thực tế liên quan đến giới hạn dãy số
Cách giải:
Từ dữ kiện của đề bài, xác định công thức tổng quát của dãy số. Sau đó, tính giới hạn dãy số.
C. GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA
Bài 1. SGK Đại số 11 trang 121
a)
Sau chu kì thứ nhất : \[{{u}_{1}}=\frac{1}{2}\] (kg)
Sau chu kì thứ hai : \[{{u}_{2}}=\frac{1}{2}{{u}_{1}}=\frac{1}{4}=\frac{1}{{{2}^{2}}}\] (kg)
Sau chu kì thứ ba : \[{{u}_{3}}=\frac{1}{2}{{u}_{2}}=\frac{1}{{{2}^{3}}}\] (kg)
…
Sau chu kì thứ n : \[{{u}_{n}}=\frac{1}{{{2}^{n}}}\] (kg)
+ Với \[n=1\] ta có : \[{{u}_{1}}=\frac{1}{2}\] (đúng)
+ Giả sử với \[n=k\ge 1\] ta có \[{{u}_{k}}=\frac{1}{{{2}^{k}}}\]
Ta cần chứng minh với \[n=k+1\] ta có \[{{u}_{k+1}}=\frac{1}{{{2}^{k+1}}}\]
Thật vậy \[{{u}_{k+1}}=\frac{1}{2}{{u}_{k}}=\frac{1}{2}.\frac{1}{{{2}^{k}}}=\frac{1}{{{2}^{k+1}}}\]
\[\Rightarrow \] Điều phải chứng minh.
b) \[\lim {{u}_{n}}=\lim \frac{1}{{{2}^{n}}}=0\]
c) \[{{10}^{-6}}g={{10}^{-9}}kg\]
Để chất phóng xạ không còn độc hại thì : \[{{u}_{n}}<{{10}^{-9}}\]
\[\Leftrightarrow \frac{1}{{{2}^{n}}}<{{10}^{-9}}\]
\[\Leftrightarrow {{2}^{n}}<{{10}^{9}}\]
\[\Leftrightarrow n\ge 30\]
- Sau \[30.24000=720000\] năm thì chất phóng xạ không còn độc hại.
Bài 2. SGK Đại số 11 trang 121
Đặt \[{{v}_{n}}=\frac{1}{{{n}^{3}}}\Rightarrow \lim {{v}_{n}}=\lim \frac{1}{{{n}^{3}}}=0\]
- \[\left| {{v}_{n}} \right|\] có thể nhỏ hơn 1 số dương bé tùy ý, kể từ 1 số hạng nào đó trở đi. (1)
Theo giả thiết : \[\left| {{u}_{n}}-1 \right|<{{v}_{n}}\le \left| {{v}_{n}} \right|,\forall n\] (2)
(1),(2) \[\Rightarrow \left| {{u}_{n}}-1 \right|\] có thể nhỏ hơn 1 số dương bé tùy ý, kể từ 1 số hạng nào đó trở đi
\[\Rightarrow \lim \left( {{u}_{n}}-1 \right)=0\]
\[\Rightarrow \lim {{u}_{n}}=1\]
Bài 3. SGK Đại số 11 trang 121
a) \[\lim \frac{6n-1}{3n+2}=\lim \frac{6-\frac{1}{n}}{3+\frac{2}{n}}=\frac{6}{3}=2\]
b) \[\lim \frac{3{{n}^{2}}+n-5}{2{{n}^{2}}+1}=\lim \frac{3+\frac{1}{n}-\frac{5}{{{n}^{2}}}}{2+\frac{1}{{{n}^{2}}}}=\frac{3}{2}\]
c) \[\lim \frac{{{3}^{n}}+{{5.4}^{n}}}{{{4}^{n}}+{{2}^{n}}}=\lim \frac{\frac{{{3}^{n}}}{{{4}^{n}}}+5}{1+\frac{{{2}^{n}}}{{{4}^{n}}}}=\lim \frac{{{\left( \frac{3}{4} \right)}^{n}}+5}{1+{{\left( \frac{1}{2} \right)}^{n}}}=\frac{5}{1}=5\]
d) \[\lim \frac{\sqrt{9{{n}^{2}}-n+1}}{4n-2}=\lim \frac{\sqrt{9-\frac{1}{n}+\frac{1}{{{n}^{2}}}}}{4-\frac{2}{n}}=\frac{\sqrt{9}}{4}=\frac{3}{4}\]
Bài 4. SGK Đại số 11 trang 122
a)
Cạnh hình vuông thứ nhất là \[\frac{1}{2}\Rightarrow {{u}_{1}}={{\left( \frac{1}{2} \right)}^{2}}=\frac{1}{4}\]
Cạnh hình vuông thứ hai là \[\frac{1}{4}\Rightarrow {{u}_{2}}={{\left( \frac{1}{4} \right)}^{2}}=\frac{1}{{{4}^{2}}}\]
Cạnh hình vuông thứ ba là \[\frac{1}{8}\Rightarrow {{u}_{3}}={{\left( \frac{1}{8} \right)}^{2}}=\frac{1}{{{4}^{3}}}\]
\[\Rightarrow {{u}_{n}}=\frac{1}{{{4}^{n}}}\]
b)
\[{{S}_{n}}={{u}_{1}}+{{u}_{2}}+{{u}_{3}}+...+{{u}_{n}}=\frac{1}{4}+\frac{1}{{{4}^{2}}}+\frac{1}{{{4}^{3}}}+...+\frac{1}{{{4}^{n}}}\]
\[\Rightarrow {{S}_{n}}\] là tổng của n số hạng trong dãy \[\left( {{u}_{n}} \right)\] là cấp số nhân có \[{{u}_{1}}=\frac{1}{4};q=\frac{1}{4}\]
\[\Rightarrow {{S}_{n}}=\frac{{{u}_{1}}\left( 1-{{q}^{n}} \right)}{1-q}=\frac{1}{3}\left( 1-\frac{1}{{{4}^{n}}} \right)\]
\[\Rightarrow \lim {{S}_{n}}=\lim \frac{1}{3}\left( 1-\frac{1}{{{4}^{n}}} \right)=\frac{1}{3}\]
Bài 5. SGK Đại số 11 trang 122
\[S=-1+\frac{1}{10}-\frac{1}{{{10}^{2}}}+...+\frac{{{\left( -1 \right)}^{n}}}{{{10}^{n-1}}}+...=-1+\frac{1}{10}+\frac{-1}{{{10}^{2}}}+...+\frac{{{\left( -1 \right)}^{n}}}{{{10}^{n-1}}}+...\]
Nhận xét : Đây là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn có \[{{u}_{1}}=-1;q=\frac{-1}{10}\]
\[\Rightarrow S=\frac{-1}{1-\left( \frac{-1}{10} \right)}=\frac{-10}{11}\]
Bài 6. SGK Đại số 11 trang 122
\[a=1,020202...\]
\[=1+0,02+0,0002+0,000002+...\]
\[=1+\frac{2}{100}+\frac{2}{10000}+\frac{2}{1000000}+...\]
\[=1+2\left( \frac{1}{{{10}^{2}}}+\frac{1}{{{10}^{4}}}+\frac{1}{{{10}^{6}}}+... \right)\]
Ta thấy \[\frac{1}{{{10}^{2}}}+\frac{1}{{{10}^{4}}}+\frac{1}{{{10}^{6}}}+...\] là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn với \[{{u}_{1}}=\frac{1}{{{10}^{2}}};q=\frac{1}{{{10}^{2}}}\]
\[\Rightarrow a=1+2.\frac{\frac{1}{{{10}^{2}}}}{1-\frac{1}{{{10}^{2}}}}=\frac{101}{99}\]
Bài 7. SGK Đại số 11 trang 122
a) \[\lim \left( {{n}^{3}}+2{{n}^{2}}-n+1 \right)=\lim \left[ {{n}^{3}}\left( 1+\frac{2}{n}-\frac{1}{{{n}^{2}}}+\frac{1}{{{n}^{3}}} \right) \right]\]
Vì \[\lim {{n}^{3}}=+\infty ;\lim \left( 1+\frac{2}{n}-\frac{1}{{{n}^{2}}}+\frac{1}{{{n}^{3}}} \right)=1>0\]
\[\Rightarrow \lim \left[ {{n}^{3}}\left( 1+\frac{2}{n}-\frac{1}{{{n}^{2}}}+\frac{1}{{{n}^{3}}} \right) \right]=+\infty \] hay \[\lim \left( {{n}^{3}}+2{{n}^{2}}-n+1 \right)=+\infty \] .
b) \[\lim \left( -{{n}^{2}}+5n-2 \right)=\lim \left[ {{n}^{2}}\left( -1+\frac{5}{n}-\frac{2}{{{n}^{2}}} \right) \right]\]
Vì \[\lim {{n}^{2}}=+\infty ;\lim \left[ {{n}^{2}}\left( -1+\frac{5}{n}-\frac{2}{{{n}^{2}}} \right) \right]=-1<0\]
\[\Rightarrow \lim \left[ {{n}^{2}}\left( -1+\frac{5}{n}-\frac{2}{{{n}^{2}}} \right) \right]=-\infty \] hay \[\lim \left( -{{n}^{2}}+5n-2 \right)=-\infty \] .
c) \[\lim \left( \sqrt{{{n}^{2}}-n}-n \right)\]
\[=\lim \frac{\left( \sqrt{{{n}^{2}}-n}-n \right)\left( \sqrt{{{n}^{2}}-n}+n \right)}{\sqrt{{{n}^{2}}-n}+n}\]
\[=\lim \frac{-n}{\sqrt{{{n}^{2}}-n}+n}\]
\[=\lim \frac{-1}{\sqrt{1-\frac{1}{n}}+1}=\frac{-1}{1+1}=-\frac{1}{2}\]
d) \[\lim \left( \sqrt{{{n}^{2}}-n}+n \right)=\lim \left[ n\left( \sqrt{1-\frac{1}{n}}+1 \right) \right]\]
Vì \[\lim n=+\infty ;\lim \left( \sqrt{1-\frac{1}{n}}+1 \right)=2>0\]
\[\Rightarrow \lim \left[ n\left( \sqrt{1-\frac{1}{n}}+1 \right) \right]=+\infty \] hay \[\lim \left( \sqrt{{{n}^{2}}-n}+n \right)=+\infty \]
Bài 8. SGK Đại số 11 trang 122
a) \[\lim \frac{3{{u}_{n}}-1}{{{u}_{n}}+1}=\frac{3.3-1}{3+1}=2\]
b) \[\lim \frac{{{v}_{n}}+2}{v_{n}^{2}-1}=\lim \frac{\frac{1}{{{v}_{n}}}+\frac{2}{v_{n}^{2}}}{1-\frac{1}{v_{n}^{2}}}=\frac{0+0}{1-0}=0\]
( Vì \[\lim {{v}_{n}}=+\infty \Rightarrow \lim \frac{1}{{{v}_{n}}}=\lim \frac{2}{v_{n}^{2}}=\lim \frac{1}{v_{n}^{2}}=0\]
Gợi ý Giải bài tập sách giáo khoa giới hạn dãy số toán học 11, toán 11 lý thuyết trọng tâm giúp học sinh nắm vững kiến thức nhanh nhất.