ican
Toán 9
Bài 6: Ôn tập chương 1. Hệ thức lượng trong tam giác vuông

Ôn tập chương 1. Hệ thức lượng trong tam giác vuông

Toán 9 bài Ôn tập chương 1 Hệ thức lượng trong tam giác vuông: Lý thuyết trọng tâm, giải bài tập sách giáo khoa Ôn tập chương 1 Hệ thức lượng trong tam giác vuông: giúp học sinh nắm vững kiến thức ngắn gọn.

Ican

 

ÔN TẬP CHƯƠNG 1. HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG

I. LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM

1. Hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông

Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\), đường cao \(AH\). Khi đó ta có các hệ thức sau:

+) \(A{B^2} = BH.BC\) hay \({c^2} = a.c'\)

+) \(A{C^2} = CH.BC\) hay \({b^2} = ab'\)

+) \(AB.AC = BC.AH\) hay \(cb = ah\)

+) \(H{A^2} = HB.HC\) hay \({h^2} = c'b'\)

+) \(\dfrac{1}{{A{H^2}}} = \dfrac{1}{{A{B^2}}} + \dfrac{1}{{A{C^2}}}\) hay \(\dfrac{1}{{{h^2}}} = \dfrac{1}{{{c^2}}} + \dfrac{1}{{{b^2}}}\).

+) \(B{C^2} = A{B^2} + A{C^2}\) (Định lí Pitago).

2. Tỉ số lượng giác của góc nhọn

Các tỉ số lượng giác của góc nhọn \(\alpha \) (hình) được định nghĩa như sau:

\(\sin \alpha  = \dfrac{{AB}}{{BC}};\cos \alpha  = \dfrac{{AC}}{{BC}};\tan \alpha  = \dfrac{{AB}}{{AC}};\cot \alpha  = \dfrac{{AC}}{{AB}}\)

+ Nếu \(\alpha \) là một góc nhọn bất kỳ thì

\(0 < \sin \alpha  < 1;0 < \cos \alpha  < 1\), \(\tan \alpha  > 0;\cot \alpha  > 0\) , \({\sin ^2}\alpha  + {\cos ^2}\alpha  = 1;\tan \alpha .\cot \alpha  = 1\)

\(\tan \alpha  = \dfrac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }};\)\(\cot \alpha  = \dfrac{{\cos \alpha }}{{\sin \alpha }};\)

\(1 + {\tan ^2}\alpha  = \dfrac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }};\)\(1 + {\cot ^2}\alpha  = \dfrac{1}{{{{\sin }^2}\alpha }}\)

Chú ý: Nếu hai góc phụ nhau thì sin góc này bằng côsin góc kia, tang góc này bằng côtang góc kia.

Với hai góc \(\alpha ,\beta \) mà \(\alpha  + \beta  = {90^0}\),

Ta có: \(\sin \alpha  = \cos \beta ;\cos \alpha  = \sin \beta ;\tan \alpha  = \cot \beta ;\cot \alpha  = \tan \beta. \)

Nếu hai góc nhọn \(\alpha \) và \(\beta \) có \(\sin \alpha  = \sin \beta \) hoặc \(\cos \alpha  = \cos \beta \) thì \(\alpha  = \beta \)

So sánh các tỉ số lượng giác

Với \(\alpha ;\beta \) là hai góc nhọn bất kì và \(\alpha  < \beta \) thì

\(\sin \alpha  < \sin \beta ;\,\cos \alpha  > \cos \beta ;\tan \alpha  < \tan \beta ;\cot \alpha  > \cot \beta .\)

3. Bảng tỉ số lượng giác các góc đặc biệt

4. Hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông

Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) có \(BC = a,AC = b,AB = c.\) Ta có :

\(b = a.\sin B = a.\cos C\); \(c = a.\sin C = a.\cos B\); \(b = c.\tan B = c.\cot C\); \(c = b.\tan C = b.\cot B.\)

Trong một tam giác vuông

+) Cạnh góc vuông = (cạnh huyền ) x (sin góc đối) = (cạnh huyền ) x (cosin góc kề)

+) Cạnh góc vuông = (cạnh góc vuông ) x (tan góc đối) = (cạnh góc vuông còn lại ) x (cotan góc kề).

II. PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP

Dạng 1: Tính độ dài các đoạn thẳng trong tam giác vuông

Phương pháp:

Sử dụng hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông.

Dạng 2: Chứng minh các hệ thức liên quan giữa các yếu tố trong tam giác vuông

Phương pháp:

Ta thường sử dụng các kiến thức:

- Đưa về hai tam giác đồng dạng có chứa các đoạn thẳng có trong hệ thức.

-Sử dụng các hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông để chứng minh.

Dạng 3: Tính tỉ số lượng giác của góc nhọn, tính cạnh, tính góc

Phương pháp:

Sử dụng các tỉ số lượng giác của góc nhọn, định lý Py-ta-go, hệ thức lượng trong tam giác vuông để tính toán các yếu tố cần thiết.

Dạng 4: So sánh các tỉ số lượng giác giữa các góc

Phương pháp:

Bước 1 : Đưa các tỉ số lượng giác về cùng loại (sử dụng tính chất "Nếu hai góc phụ nhau thì sin góc này bằng côsin góc kia, tang góc này bằng côtang góc kia")

Bước 2: Với góc nhọn \[ \alpha ;\beta  \] ta có:

\[ \sin \alpha <\sin \beta \Leftrightarrow \alpha <\beta ;\cos \alpha <\cos \beta \Leftrightarrow \alpha >\beta  \]

\[ \tan \alpha <\tan \beta \Leftrightarrow \alpha <\beta ;\cot \alpha <\cot \beta \Leftrightarrow \alpha >\beta  \]

Dạng 5: Rút gọn, tính giá trị biểu thức lượng giác

Phương pháp:

Ta thường sử dụng các kiến thức

+ Nếu là một góc nhọn bất kỳ thì

\(\begin{array}{*{35}{l}}   0<\sin \alpha <1;0<\cos \alpha <1,\tan \alpha >0;\cot \alpha >0,{{\sin }^{2}}\alpha +{{\cos }^{2}}\alpha =1;\tan \alpha \cdot \cot \alpha =1  \\    \tan \alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha };\cot \alpha =\frac{\cos \alpha }{\sin \alpha }  \\    1+{{\tan }^{2}}\alpha =\frac{1}{{{\cos }^{2}}\alpha };1+{{\cot }^{2}}\alpha =\frac{1}{{{\sin }^{2}}\alpha }  \\ \end{array} \)

+ Nếu hai góc phụ nhau thì sin góc này bằng côsin góc kia, tang góc này bằng côtang góc kia.

Dạng 6: Giải tam giác vuông

Phương pháp:

+ Giải tam giác là tính độ dài các cạnh và số đo các góc dựa vào dữ kiện cho trước của bài toán.

+ Trong tam giác vuông, ta dùng hệ thức giữa cạnh và các góc của một tam giác vuông để tính toán.

+ Các bài toán về giải tam giác vuông bao gồm :

Bài toán 1: Giải tam giác vuông khi biết độ dài một cạnh và số đo một góc nhọn.

Bài toán 2: Giải tam giác vuông khi biết độ dài hai cạnh.

Dạng 7: Tính cạnh và góc của tam giác

Phương pháp:

Bằng cách kẻ thêm đường cao ta làm xuất hiện tam giác vuông để áp dụng các hệ thức giữa cạnh và góc thích hợp.

III. GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA

Bài 33 (trang 93 SGK Toán 9 Tập 1):

a) Chọn C

b) Chọn D

c) Chọn C vì:

\[ \cos {{30}^{{}^\circ }}=\frac{\sqrt{3}\text{a}}{2\text{a}}=\frac{\sqrt{3}}{2} \] 

Bài 34 (trang 93 SGK Toán 9 Tập 1):

Lời giải:

a) Chọn C

b) Chọn C sai

- Vì đẳng thức đúng phải là: cos β = sin(90o - β)

Bài 35 (trang 94 SGK Toán 9 Tập 1):

Lời giải:

Kí hiệu góc như trên hình vẽ.

Tỉ số giữa hai cạnh góc vuông của một tam giác vuông là tg của góc nhọn này và là cotg của góc nhọn kia.

Giả sử α là góc nhọn của tam giác vuông đó.

Ta có:

\[ \operatorname{tg}\alpha =\frac{19}{28}\approx 0,6786=>\alpha \approx 34{}^\circ {{10}^{\prime }}\Rightarrow \beta \approx {{90}^{{}^\circ }}-{{34}^{{}^\circ }}{{10}^{\prime }}={{55}^{{}^\circ }}{{50}^{\prime }} \] 

Bài 36 (trang 94 SGK Toán 9 Tập 1):

- Trường hợp hình 46: cạnh lớn trong hai cạnh còn lại được kí hiệu là x.

ΔHAB cân vì có ∠B = 45o

=> HA = HB = 20

Áp dụng định lí Pitago trong ΔHAC có:

\[{{x}^{2}}=A{{C}^{2}}=H{{A}^{2}}+H{{C}^{2}}={{20}^{2}}+{{21}^{2}}=841\]=> x = 29 hay độ dài cạnh lớn trong hai cạnh còn lại là 29.

- Trường hợp hình 47: cạnh lớn trong hai cạnh còn lại được kí hiệu là y.

ΔH'A'B' cân vì có \[\angle B'={{45}^{o}}\]=> H'A' = H'B' = 21

Áp dụng định lí Pitago trong ΔH'A'B' có:

\[{{y}^{2}}=A'B{{'}^{2}}=H'A{{'}^{2}}+H'B{{'}^{2}}={{21}^{2}}+{{21}^{2}}={{2.21}^{2}}\]

\[=>y=21\sqrt{2}\approx 29,7\]hay độ dài cạnh lớn trong hai cạnh còn lại là 29,7.

Bài 37 (trang 94 SGK Toán 9 Tập 1):

a) Ta có: \[A{{B}^{2}}+A{{C}^{2}}={{6}^{2}}+4,{{5}^{2}}=7,{{5}^{2}}=B{{C}^{2}}\] nên tam giác ABC vuông tại A.

\[ \operatorname{tg}\text{B}=\frac{AC}{AB}=\frac{4,5}{6}=0,75 \] 

\[=>\angle B={{37}^{o}}\]

\[=>\angle C={{90}^{o}}-\angle B={{90}^{o}}-{{37}^{o}}={{53}^{o}}\]

Mặt khác trong tam giác ABC vuông tại A, ta có:

\[ \frac{1}{\text{A}{{\text{H}}^{2}}}=\frac{1}{\text{A}{{\text{B}}^{2}}}+\frac{1}{\text{A}{{\text{C}}^{2}}}=\frac{1}{36}+\frac{1}{20,25} \] 

\[ \text{=A}{{\text{H}}^{2}}=\frac{36.20,25}{36+20,25}=12,96 \] 

=> AH = 3,6 cm

b) Gọi khoảng cách từ M đến BC là MK. Ta có:

\[ {{\text{S}}_{\text{ABC}}}=\frac{1}{2}\text{AH}.\text{BC;}{{\text{S}}_{\text{MBC}}}=\frac{1}{2}\text{MK}.\text{BC} \] 

Ta thấy SMBC = SABC khi MK = AH = 3,6 cm

Do đó để SMBC = SABC thì M phải nằm trên đường thẳng song song và cách BC một khoảng là 3,6 cm (có hai đường thẳng như trên hình).

Bài 38 (trang 95 SGK Toán 9 Tập 1):

Lời giải:

Trong tam giác vuông BIK có:

\[IB=IK.\tan \angle IKB=IK.\tan ({{50}^{o}}+{{15}^{o}})=380.\tan {{65}^{o}}\approx 814\left( m \right)\]

Trong tam giác vuông AIK có:

\[IA=IK.\tan \angle IKA=IK.\tan {{50}^{o}}=380.\tan {{50}^{o}}\approx 452\left( m \right)\]

Vậy khoảng cách giữa hai thuyền là:

AB = IB – IA = 814 – 452 = 362 (m)

 

Bài 39 (trang 95 SGK Toán 9 Tập 1):

 

Kí hiệu như hình vẽ. Theo hệ thức giữa cạnh và góc của tam giác vuông:

Trong tam giác vuông ABC:

AB = AC tan 50o = 20.tan 50o = 23,83 m

=> BD = 20tan50o - 5 = 18,83 m

Trong tam giác vuông BHD:

\[ \Rightarrow \text{BH}=\frac{\text{BD}}{\sin {{50}^{{}^\circ }}}=\frac{18,83}{\sin {{50}^{{}^\circ }}}\approx 24,59(~\text{m}) \] 

Vậy khoảnh cách giữa hai cọc là 24,59 m.

Bài 40 (trang 95 SGK Toán 9 Tập 1):

Lời giải:

Kí hiệu như hình vẽ.

Trong tam giác vuông ABC có:

BA = AC.tan35o = 30.tan35o ≈ 21 (m)

Chiều cao của cây là:

BH = BA + AH ≈ 21 + 1,7 ≈ 22,7 (m)

Vậy chiều cao của cây là 22,7 (m) (hoặc = 227 dm).

Bài 41 (trang 96 SGK Toán 9 Tập 1):

Ta có:

\[ \tan {{21}^{{}^\circ }}{{48}^{\prime }}=0,4=\frac{2}{5}=\frac{AC}{BC}=\tan \text{B} \] 

Suy ra y = 21o48'

\[=>x={{90}^{o}}-y={{68}^{o}}12'\](x, y là hai góc phụ nhau)

Vậy \[xy={{68}^{o}}12'-{{21}^{o}}48'={{46}^{o}}24'\]

Bài 42 (trang 96 SGK Toán 9 Tập 1):

Kí hiệu như hình vẽ.

Trong tam giác vuông ABC có:

AC = BC.cosC = 3.cosC

Vì phải đặt thang tạo với mặt đất một góc 60o đến 70o nên

60o ≤ ∠C ≤ 70o

=> cos 70o ≤ cosC ≤ cos 60o

=> 3.cos 70o ≤ 3.cosC ≤ 3.cos 60o

=> 1,03 ≤ AC ≤ 1,5

Vậy phải đặt chân thang cách tường từ 1,03 m đến 1,5 m.

Bài 43 (trang 96 SGK Toán 9 Tập 1):

Gọi c là chu vi Trái đất, góc ∠AOS = α. Ta có:

\[ \text{c}=\text{AS}\cdot \frac{{{360}^{{}^\circ }}}{{{\alpha }^{{}^\circ }}}=800\cdot \frac{{{360}^{{}^\circ }}}{{{\alpha }^{{}^\circ }}} \] 

Vì các tia sáng chiếu thẳng đứng nên BC // SO do đó:

∠AOS = ∠ACB (so le trong)

Trong tam giác ABC vuông tại A có:

\[ \tan \text{C}=\frac{\text{AB}}{\text{AC}}=\frac{3,1}{25}\approx 0,124\Rightarrow \widehat{\text{C}}\approx 7,{{07}^{{}^\circ }} \] 

Vì ∠AOS = ∠ACB nên α = 7,07o

Vậy chu vi Trái đất là:

\[ \text{c}=800.\frac{{{360}^{{}^\circ }}}{7,{{07}^{{}^\circ }}}\approx 40736(~\text{km}) \] 

Trên đây là gợi ý giải bài tập Toán 9 bài Ôn tập chương 1 Hệ thức lượng trong tam giác vuông do giáo viên Ican trực tiếp biên soạn theo chương trình mới nhất. Chúc bác bạn học tập vui vẻ.

Đánh giá (401)
ican
  • Một thương hiệu của 
    ICAN
  • ICAN
  • ICAN © 2023, All Rights Reserved.

  • Trụ sở Hồ Chí Minh: B0003 C/C Sarina, Khu đô thị Sala, Khu phố 3, Đường Hoàng Thế Thiện, Phường An Lợi Đông, TP. Thủ Đức

  • Văn phòng Hà Nội: Tòa nhà 25T2 Đường Hoàng Đạo Thúy, Phường Trung Hòa, Quận Cầu Giấy