VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI ĐƯỜNG TRÒN
A. LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM
1. Ba vị trí tương đối của hai đường tròn.
a) Hai đường tròn cắt nhau.
Hai đường tròn có hai điểm chung được gọi là hai đường tròn cắt nhau.
+ Hai điểm A, B là hai giao điểm.
+ Đoạn thẳng AB là dây chung.
+ Đặt O1A = R; O2A = r khi đó: |R - r| < O1O2 < R + r
+ Đường thẳng O1O2 là đường nối tâm, đoạn thẳng O1O2 là đoạn nối tâm.
+ Tính chất đường nối tâm: Đường nối tâm là đường trung trực của dây chung
b) Hai đường tròn tiếp xúc nhau.
Hai đường tròn chỉ có một điểm chung được gọi là hai đường tròn tiếp xúc.
+ Điểm A gọi là tiếp điểm.
+ Có hai trường hợp tiếp xúc của hai đường tròn:
⋅ Tiếp xúc ngoài tại A: O1O2 = R + r
⋅ Tiếp xúc trong tại A: O1O2 = |R - r|
c) Hai đường tròn không giao nhau
Hai đường tròn không có điểm chung nào được gọi là hai đường tròn không giao nhau.
+ Hai đường tròn ngoài nhau: O1O2 > R + r
+ Hai đường tròn đựng nhau: O1O2 < |R - r|
+ Đặc biệt, khi (O1) và (O2) đồng tâm: O1O2 = 0
2. Định lý
+ Nếu hai đường tròn cắt nhau thì hai giao điểm đối xứng nhau qua đường nối tâm, tức là đường nối tâm là đường trung trực của dây cung.
+ Nếu hai đường tròn tiếp xúc nhau thì tiếp điểm nằm trên đường nối tâm.
3. Tiếp tuyến chung của hai đường tròn
+ Tiếp tuyến chung của hai đường tròn là đường thẳng tiếp xúc với cả hai đường tròn đó.
+ Tiếp tuyến chung ngoài không cắt đường nối tâm.
+ Tiếp tuyến chung trong cắt đường nối tâm.
B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP
Dạng 1: Các bài toán có hai đường tròn tiếp xúc với nhau
Phương pháp:
Sử dụng tính chất hai đường tròn tiếp xúc:
+ Tiếp điểm nằm trên đường nối tâm
+) Hệ thức d = R + r
Khi làm có thể vẽ tiếp tuyến chung của hai đường tròn (nếu cần)
Dạng 2: Các bài toán có hai đường tròn cắt nhau
Phương pháp:
Nối dây chung của hai đường tròn rồi dùng tính chất đường nối tâm của hai đường tròn
Hệ thức liên hệ : R-r << d << R + r
Dạng 3: Các bài toán tính độ dài, diện tích
Phương pháp:
Sử dụng tính chất đường nối tâm, tính chất tiếp tuyến.
Sử dụng định lý Pytago và hệ thức lượng trong tam giác vuông.
C. GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA
Bài 35 (trang 122 SGK Toán 9 Tập 1):
Lời giải:
Ta có bảng sau:
| Vị trí tương đối của hai đường tròn | Số điểm chung | Hệ thức giữa d, R, r |
| (O; R) đựng (O'; r) | 0 | d < R - r |
| Ở ngoài nhau | 0 | d > R + r |
| Tiếp xúc ngoài | 1 | d = R + r |
| Tiếp xúc trong | 1 | d = R – r |
| Cắt nhau | 2 | R – r < d < R + r |
Bài 36 (trang 123 SGK Toán 9 Tập 1):
Lời giải:
a) Gọi O’ là tâm của đường tròn đường kính OA.
Gọi R và r lần lượt là bán kính đường tròn tâm O và tâm O’.
Ta có: \[A{{O}^{\prime }}=\text{O}{{\text{O}}^{\prime }}=\text{r}=\frac{AO}{2}\] .
Do điểm O’ nằm giữa hai điểm A và O nên ta có:
\[\text{O}{{\text{O}}^{\prime }}+{{\text{O}}^{\prime }}\text{A}=\text{OA}\Leftrightarrow \text{O}{{\text{O}}^{\prime }}=\text{OA}-\text{O}{{\text{O}}^{\prime }}\Leftrightarrow \text{O}{{\text{O}}^{\prime }}=\text{R}-\text{r}\] .
Suy ra, hai đường tròn đã cho tiếp xúc trong với nhau.
b) +) Xét đường tròn (O’) có A, O, C là ba điểm cùng thuộc đường tròn và OA là đường kính nên tam giác AOC vuông tại C.
⇒ OC ⊥ AD
+) Xét đường tròn tâm (O) có A, D là hai điểm thuộc đường tròn nên OA = OD
⇒ ΔAOD cân tại O mà OC ⊥ AD
⇒ OC là đường trung tuyến của ΔAOD
⇒ C là trung điểm của AD
⇒ AC = CD.
Bài 37 (trang 123 SGK Toán 9 Tập 1):
Lời giải:
Giả sử vị trí các điểm theo thứ tự là A, C, B, D.
Kẻ OH ⊥ CD. Theo tính chất đường kính vuông góc với một dây ta có:
HA = HB, HC = HD
Nên AC = HA – HC = HB – HD = BD
Vậy AC = BD.
(Trường hợp vị trí các điểm theo thứ tự là A, D, C, B chứng minh tương tự.)
Bài 38 (trang 123 SGK Toán 9 Tập 1):
Lời giải:
a) Tâm của các đường tròn có bán kính 1cm tiếp xúc ngoài với đường tròn (O; 3cm) nằm trên đường tròn (O; 4cm).
b) Tâm của các đường tròn có bán kính 1cm tiếp xúc trong với đường tròn (O; 3cm) năm trên đường tròn (O; 2cm).
Bài 39 (trang 123 SGK Toán 9 Tập 1):
Lời giải:
a) Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau ta được IA = IB, IA = IC.
\[\Delta ABC\] có đường trung tuyến \[AI=\frac{1}{2}BC\] nên là tam giác vuông
Vậy \[\widehat{BAC}=90{}^\circ \]
b) Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau ta có IO, IO' là các tia phân giác của hai góc kề bù AIB, AIC nên:
\[\widehat{\text{OI}{{\text{O}}^{\prime }}}=\widehat{\text{OIA}}+\widehat{{{\text{O}}^{\prime }}\text{IA}}=\frac{1}{2}\widehat{AIB}+\frac{1}{2}\widehat{AIC}=\frac{1}{2}(\widehat{AIB}+\widehat{AIC})\]
Vậy \[\widehat{\text{OI}{{\text{O}}^{\prime }}}={{90}^{{}^\circ }}\]
c) ΔOIO' vuông tại A có IA là đường cao nên theo hệ thức giữa cạnh và đường cao ta có:
IA2 = AO.AO' = 9.4 = 36
=> IA = 6 (cm)
Vậy BC = 2.IA = 2.6 = 12 (cm)
Bài 40 (trang 123 SGK Toán 9 Tập 1):
Hình 99
Lời giải:
Vì nếu hai đường tròn tiếp xúc ngoài thì hai bánh xe quay theo hai chiều khác nhau (một bánh xe quay cùng chiều quay của kim đồng hồ, bánh xe kia quay ngược chiều của kim đồng hồ). Nếu hai đường tròn tiếp xúc trong thì hai bánh xe quay theo chiều như nhau. Do đó:
- Hình a, b hệ thống bánh răng chuyển động được.
- Hình c, hệ thống bánh răng không chuyển động được.
Trên đây là gợi ý giải bài tập Toán 9 bài Vị trí tương đối của hai đường tròn (tiếp) do giáo viên Ican trực tiếp biên soạn theo chương trình mới nhất. Chúc bác bạn học tập vui vẻ.