BÀI 8: RÚT GỌN BIỂU THỨC CHỨA CĂN BẬC HAI
I. LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM
- Để rút gọn biểu thức chứa căn bậc hai, ta cần vận dụng phối hợp các phép tính và các phép biến đổi đã biết.
- Khi rút gọn một dãy các phép tính cộng, trừ, nhân, chia, lũy thừa và khai phương thì thứ tự thực hiện: khai căn trước rồi đến lũy thừa, sau đó đến nhân, chia, cộng, trừ
II. PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP
Dạng 1: Rút gọn và tính giá trị biểu thức chứa căn thức bậc hai.
Phương pháp:
- Vận dụng linh hoạt các phép biến đổi đã biết và tính toán để xuất hiện các căn thức có cùng biểu thức dưới dấu căn
-Cộng, trừ, nhân, chia các căn thức bậc hai cùng loại với nhau.
Dạng 2: Chứng minh đẳng thức chứa căn thức bậc hai.
Phương pháp:
Vận dụng thích hợp các phép biến đổi đã học và các hằng đẳng thức đáng nhớ, các cách phân tích đa thức thành nhân tử để thực hiện phép chứng minh.
Dạng 3: Rút gọn biểu thức chứa căn và các bài toán liên quan.
Phương pháp:
- Ta sử dụng thích hợp các phép phân tích đa thức thành nhân tử, các hằng đẳng thức và các phép biến đổi đơn giản biểu thức chứa căn để rút gọn.
-Các bài toán liên quan :
+) Tính giá trị của biểu thức khi biết giá trị của biến, giải phương trình hoặc bất phương trình để tìm biến.
+) Tìm giá trị của biến để biểu thức có giá trị nguyên
+) So sánh biểu thức với một số
+) Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức.
Dạng 4: Giải phương trình chứa căn thức bậc hai.
Phương pháp:
Ta sử dụng thích hợp các phép phân tích đa thức thành nhân tử, các hằng đẳng thức và các phép biến đổi đơn giản biểu thức chứa căn để đưa phương trình đã cho về dạng cơ bản.
III. GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA
Bài 58 (trang 32 SGK Toán 9 Tập 1):
Lời giải:
\(\begin{array}{*{35}{l}} \text{ a) }5\sqrt{\frac{1}{5}}+\frac{1}{2}\sqrt{20}+\sqrt{5}=\sqrt{{{5}^{2}}\cdot \frac{1}{5}}+\sqrt{\frac{1}{{{2}^{2}}}\cdot 20}+\sqrt{5} \\ =\sqrt{5}+\sqrt{5}+\sqrt{5}=3\sqrt{5} \\ \end{array}\)
\(\begin{array}{*{35}{l}} \text{ b) }\sqrt{\frac{1}{2}}+\sqrt{4,5}+\sqrt{12,5}=\sqrt{\frac{1}{2}}+\sqrt{\frac{9}{2}}+\sqrt{\frac{25}{2}} \\ =\sqrt{\frac{1}{2}}+\sqrt{{{3}^{2}}\cdot \frac{1}{2}}+\sqrt{{{5}^{2}}\cdot \frac{1}{2}}=\sqrt{\frac{1}{2}}+3\sqrt{\frac{1}{2}}+5\sqrt{\frac{1}{2}} \\ =9\sqrt{\frac{1}{2}}=9\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}=9\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}\cdot \sqrt{2}}=\frac{9}{2}\sqrt{2} \\ \end{array}\)
\(\begin{array}{*{35}{l}} \text{ c) }\sqrt{2}0-\sqrt{4}5+3\sqrt{18}+\sqrt{7}2 \\ =\sqrt{4}.5-\sqrt{9}.5+3\sqrt{9}.2+\sqrt{3}6.2 \\ =2\sqrt{5}-3\sqrt{5}+9\sqrt{2}+6\sqrt{2} \\ =-\sqrt{5}+15\sqrt{2} \\ \end{array}\)
\(\begin{array}{*{35}{l}} \text{ d) }0,1\cdot \sqrt{200}+2\cdot \sqrt{0,08}+0,4\cdot \sqrt{50} \\ =0,1\cdot \sqrt{100\cdot 2}+2\sqrt{\frac{8}{100}}+0,4\cdot \sqrt{25\cdot 2} \\ =0,1\cdot 10\sqrt{2}+2\frac{\sqrt{4\cdot 2}}{\sqrt{100}}+0,4.5\sqrt{2} \\ =\sqrt{2}+\frac{2\cdot 2\cdot \sqrt{2}}{10}+2\sqrt{2} \\ =\frac{17\sqrt{2}}{5} \\ \end{array}\)
Bài 59 (trang 32 SGK Toán 9 Tập 1):
Lời giải:
\(\begin{array}{*{35}{l}} \text{ a) }5\sqrt{\text{a}}-4~\text{b}\sqrt{25{{\text{a}}^{3}}}+5\text{a}\sqrt{16\text{a}{{\text{b}}^{2}}}-2\sqrt{9\text{a}} \\ =5\sqrt{\text{a}}-4~\text{b}.5\text{a}\sqrt{\text{a}}+5\text{a}.4~\text{b}\sqrt{\text{a}}-2.3\sqrt{\text{a}} \\ =5\sqrt{\text{a}}-20\text{ab}\sqrt{\text{a}}+20\text{ab}\sqrt{\text{a}}-6\sqrt{\text{a}}=-\sqrt{\text{a}} \\ \end{array}\)
\(\begin{array}{*{35}{l}} \text{ b) }5a\sqrt{64a{{b}^{3}}}-\sqrt{3}\cdot \sqrt{12{{a}^{3}}{{b}^{3}}}+2ab\sqrt{9ab}-5b\sqrt{81{{a}^{3}}b} \\ =5a\cdot 8b\sqrt{ab}-\sqrt{3\cdot 12{{a}^{3}}{{b}^{3}}}+2ab\cdot 3\sqrt{ab}-5b\cdot 9a\sqrt{ab} \\ =40ab\sqrt{ab}-\sqrt{36{{a}^{3}}{{b}^{3}}}+6ab\sqrt{ab}-45ab\sqrt{ab} \\ =40ab\sqrt{ab}-6ab\sqrt{ab}+6ab\sqrt{ab}-45ab\sqrt{ab} \\ =-5ab\sqrt{ab} \\ \end{array}\)
Bài 60 (trang 33 SGK Toán 9 Tập 1):
Lời giải:
a) Rút gọn:
\(\begin{array}{*{35}{l}} \text{B}=\sqrt{16(\text{x}+1)}-\sqrt{9(\text{x}+1)}+\sqrt{4(\text{x}+1)}+\sqrt{\text{x}+1} \\ =4\sqrt{\text{x}+1}-3\sqrt{\text{x}+1}+2\sqrt{\text{x}+1}+\sqrt{\text{x}+1} \\ =4\sqrt{\text{x}+1} \\ \end{array}\)
b) Để B = 16 thì:
\(\begin{array}{*{35}{l}} 4\sqrt{x+1}=16\Leftrightarrow \sqrt{x+1}=4 \\ \Leftrightarrow x+1=16\Leftrightarrow x=15\text{ (t/m }x\ge -1) \\ \end{array}\)
Bài 61 (trang 33 SGK Toán 9 Tập 1):
Lời giải:
a) Biến đổi vế trái:
\(\begin{array}{*{35}{l}} VT=\frac{3}{2}\sqrt{6}+2\sqrt{\frac{2}{3}}-4\sqrt{\frac{3}{2}}=\frac{3}{2}\sqrt{6}+\frac{2}{3}\sqrt{{{3}^{2}}\cdot \frac{2}{3}}-2\sqrt{{{2}^{2}}\cdot \frac{3}{2}} \\ =\frac{3}{2}\sqrt{6}+\frac{2}{3}\sqrt{6}-2\sqrt{6}=\left( \frac{3}{2}+\frac{2}{3}-2 \right)\sqrt{6} \\ =\frac{1}{6}\sqrt{6}=\frac{\sqrt{6}}{6}=\text{VP} \\ {} \\ \end{array}\)
Vậy \[\frac{\text{3}}{\text{2}}\sqrt{\text{6}}\text{+2}\sqrt{\frac{\text{2}}{\text{3}}}\text{-4}\sqrt{\frac{\text{3}}{\text{2}}}\text{=}\frac{\sqrt{\text{6}}}{\text{6}}\]
b) Biến đổi vế trái:
\(\begin{array}{*{35}{l}} \text{VT}=\left( \text{x}\sqrt{\frac{6}{\text{x}}}+\sqrt{\frac{2\text{x}}{3}}+\sqrt{6\text{x}} \right):\sqrt{6\text{x}} \\ =\left( \sqrt{{{\text{x}}^{2}}\cdot \frac{6}{\text{x}}}+\sqrt{\frac{6\text{x}}{{{3}^{2}}}}+\sqrt{6\text{x}} \right):\sqrt{6\text{x}} \\ =\left( \sqrt{6\text{x}}+\frac{1}{3}\sqrt{6\text{x}}+\sqrt{6\text{x}} \right):\sqrt{6\text{x}} \\ =\frac{7}{3}\sqrt{6\text{x}}:\sqrt{6\text{x}}=\frac{7}{3}=2\frac{1}{3}=\text{VP},\text{ x}>0,(dpcm) \\ \end{array}\)
Bài 62 (trang 33 SGK Toán 9 Tập 1):
Lời giải:
\(\begin{array}{*{35}{l}}\text{ a) }\frac{1}{2}\sqrt{48}-2\sqrt{75}-\frac{\sqrt{33}}{\sqrt{11}}+5\sqrt{1\frac{1}{3}} \\ =\frac{1}{2}\sqrt{16.3}-2.5\sqrt{3}-\sqrt{3}-\frac{10}{3}\sqrt{3} \\ =2\sqrt{3}-10\sqrt{3}-\sqrt{3}-\frac{10}{3}\sqrt{3} \\ =-9\sqrt{3}+\frac{10}{3}\sqrt{3}=\left( -9+\frac{10}{3} \right)\sqrt{3}=-\frac{17}{3}\sqrt{3} \\ \text{ b) }\sqrt{150}+\sqrt{1,6}\cdot \sqrt{60}+4,5\sqrt{2\frac{2}{3}}-\sqrt{6} \\ =\sqrt{25.6}+\sqrt{1,6.60}+4,5\sqrt{\frac{8}{3}}-\sqrt{6} \\ \begin{align} & =5\sqrt{6}+\sqrt{16.6}+4,5\cdot \frac{1}{3}\sqrt{{{3}^{2}}\cdot \frac{4.2}{3}}-\sqrt{6} \\ & =9\sqrt{6}+3\sqrt{6}-\sqrt{6}=\mid 11\sqrt{6} \\ \end{align} \\ \end{array}\)
\(\begin{array}{*{35}{l}} {} \\ \text{c) }(\sqrt{2}8-2\sqrt{3}+\sqrt{7})\sqrt{7}+\sqrt{84} \\ =(\sqrt{4}.7-2\sqrt{3}+\sqrt{7})\sqrt{7}+\sqrt{4}.21 \\ =(2\sqrt{7}-2\sqrt{3}+\sqrt{7})\sqrt{7}+2\sqrt{2}1 \\ =(3\sqrt{7}-2\sqrt{3})\sqrt{7}+2\sqrt{2}1 \\ =3.7-2\sqrt{2}1+2\sqrt{2}1=21 \\ \end{array}\)
\(\begin{array}{*{35}{l}} \text{ d) }{{(\sqrt{6}+\sqrt{5})}^{2}}-\sqrt{120} \\ ={{(\sqrt{6})}^{2}}+2\sqrt{6}\cdot \sqrt{5}+{{(\sqrt{5})}^{2}}-\sqrt{4.30} \\ =6+2\sqrt{30}+5-2\sqrt{30}=11 \\ \end{array}\)
Bài 63 (trang 33 SGK Toán 9 Tập 1):
Lời giải:
\(\begin{align} & a)\sqrt{\frac{\text{a}}{\text{b}}}+\sqrt{\text{ab}}+\frac{\text{a}}{\text{b}}\sqrt{\frac{\text{b}}{\text{a}}}=\sqrt{\frac{\text{a}\cdot \text{b}}{{{\text{b}}^{2}}}}+\sqrt{\text{ab}}+\frac{\text{a}}{\text{b}}\sqrt{\frac{\text{ab}}{{{\text{a}}^{2}}}} \\ & =\frac{1}{b}\sqrt{ab}+\sqrt{ab}+\frac{a}{b\cdot a}\sqrt{ab} \\ & =\left( \frac{1}{b}+1+\frac{1}{b} \right)\sqrt{ab}=\left( \frac{2}{b}+1 \right)\sqrt{ab} \\ & b)\sqrt{\frac{\text{m}}{1-2\text{x}+{{\text{x}}^{2}}}}\sqrt{\frac{4~\text{m}-8\text{mx}+4\text{m}{{\text{x}}^{2}}}{81}} \\ & =\sqrt{\frac{\text{m}}{{{(1-\text{x})}^{2}}}}\sqrt{\frac{4~\text{m}\left( 1-2\text{x}+{{\text{x}}^{2}} \right)}{81}} \\ & =\sqrt{\frac{\text{m}}{{{(1-\text{x})}^{2}}}\cdot \frac{4~\text{m}{{(1-\text{x})}^{2}}}{81}} \\ & =\sqrt{\frac{4~{{\text{m}}^{2}}}{81}}=\frac{\sqrt{4~{{\text{m}}^{2}}}}{\sqrt{81}}=\frac{2~\text{m}}{9} \\ & (\text{m}>0\,\,;\,x\ne 1) \\ \end{align}\)
Bài 64 (trang 33 SGK Toán 9 Tập 1):
Lời giải:
a) Biến đổi vế trái:
\(\begin{array}{*{35}{l}}\left( \frac{1-\text{a}\sqrt{\text{a}}}{1-\sqrt{\text{a}}}+\sqrt{\text{a}} \right){{\left( \frac{1-\sqrt{\text{a}}}{1-\text{a}} \right)}^{2}} \\ =\frac{1-\text{a}\sqrt{\text{a}}+\sqrt{\text{a}}-\text{a}}{1-\sqrt{\text{a}}}\cdot \frac{{{(1-\sqrt{\text{a}})}^{2}}}{{{(1-\text{a})}^{2}}} \\ =(1-\text{a}\sqrt{\text{a}}+\sqrt{\text{a}}-\text{a})\frac{1-\sqrt{\text{a}}}{{{(1-\text{a})}^{2}}} \\ \end{array}\)
\(\begin{array}{*{35}{l}} =\frac{1-a\sqrt{a}+\sqrt{a}-a-\sqrt{a}+a\cdot {{(\sqrt{a})}^{2}}-{{(\sqrt{a})}^{2}}+a\sqrt{a}}{{{(1-a)}^{2}}} \\ =\frac{{{a}^{2}}-2a+1}{{{(1-a)}^{2}}}=\frac{{{(a-1)}^{2}}}{{{(1-a)}^{2}}} \\ ={{\left( \frac{a-1}{1-a} \right)}^{2}}={{(-1)}^{2}}=1=VP \\ \end{array}\)
Điều phải chứng minh.
b) Biến đổi vế trái:
\(\begin{array}{*{35}{l}} \text{VT}=\frac{\text{a}+\text{b}}{{{\text{b}}^{2}}}\sqrt{\frac{{{\text{a}}^{2}}~{{\text{b}}^{4}}}{{{\text{a}}^{2}}+2\text{ab}+{{\text{b}}^{2}}}}=\frac{\text{a}+\text{b}}{{{\text{b}}^{2}}}\cdot \sqrt{\frac{{{\left( \text{a}{{\text{b}}^{2}} \right)}^{2}}}{{{(\text{a}+\text{b})}^{2}}}} \\ =\frac{\text{a}+\text{b}}{{{\text{b}}^{2}}}\cdot \frac{\left| \text{a}{{\text{b}}^{2}} \right|}{|\text{a}+\text{b}|}=\frac{\text{a}+\text{b}}{{{\text{b}}^{2}}}\cdot \frac{{{\text{b}}^{2}}\cdot |\text{a}|}{\text{a}+\text{b}}=|\text{a}|=\text{VP}\quad (dpcm) \\ \left( \,\,\,\text{a}+\text{b}>0\text{ }\Rightarrow \mid \text{a}+\text{b}\mid =\text{a}+\text{b};{{\text{b}}^{2}}>0 \right) \\ \end{array}\)
Bài 65 (trang 34 SGK Toán 9 Tập 1):
Lời giải:
Ta có:
\(\begin{array}{*{35}{l}}M=\left( \frac{1}{a-\sqrt{a}}+\frac{1}{\sqrt{a}-1} \right):\frac{\sqrt{a}+1}{a-2\sqrt{a}+1} \\ =\left( \frac{1}{\sqrt{a}(\sqrt{a}-1)}+\frac{1}{\sqrt{a}-1} \right):\frac{\sqrt{a}+1}{{{(\sqrt{a}-1)}^{2}}} \\ =\frac{1+\sqrt{a}}{\sqrt{a}(\sqrt{a}-1)}\cdot \frac{{{(\sqrt{a}-1)}^{2}}}{\sqrt{a}+1} \\ =\frac{\sqrt{a}-1}{\sqrt{a}} \\ =1-\frac{1}{\sqrt{a}}<1 \\ \end{array}\)
Vậy M < 1.
Bài 66 (trang 34 SGK Toán 9 Tập 1):
Lời giải:
\[\frac{1}{2+\sqrt{3}}+\frac{1}{2-\sqrt{3}}=\frac{2-\sqrt{3}}{4-3}+\frac{2+\sqrt{3}}{4-3}=2-\sqrt{3}+2+\sqrt{3}=4\]
Vậy chọn D
Trên đây là gợi ý giải bài tập Toán 9 Bài 8. Rút gọn biểu thức chứa căn bậc hai do giáo viên Ican trực tiếp biên soạn theo chương trình mới nhất. Chúc các bạn học tập vui vẻ