ĐƯỜNG TRÒN NGOẠI TIẾP. ĐƯỜNG TRÒN NỘI TIẾP
A. LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM
1. Định nghĩa
+ Đường tròn đi qua tất cả các đỉnh của một đa giác được gọi là đường tròn ngoại tiếp đa giác và đa giác được gọi là đa giác nội tiếp đường tròn.
+ Đường tròn tiếp xúc với tất cả các cạnh của một đa giác được gọi là đường tròn nội tiếp đa giác và đa giác được gọi là đa giác ngoại tiếp đường tròn.
2. Định lý
+ Bất kì đa giác đều nào cũng có một và chỉ một đường tròn ngoại tiếp, có một và chỉ một đường tròn nội tiếp.
+ Tâm của hai đường tròn này trùng nhau và được gọi là tâm của đa giác đều.
+ Tâm này là giao điểm hai đường trung trực của hai cạnh hoặc là hai đường phân giác của hai góc.
3. Mở rộng
+ Bán kính đường tròn ngoại tiếp đa giác là khoảng cách từ tâm đến đỉnh.
+ Bán kính đường tròn nội tiếp đa giác là khoảng cách từ tâm O đến 1 cạnh.
+ Cho n_ giác đều cạnh a. Khi đó:
– Chu vi của đa giác: 2p = na (p là nửa chu vi).
– Mỗi góc ở đỉnh của đa giác có số đo bằng : \[ \frac{\left( n-2 \right).180{}^\circ }{n} \]
– Mỗi góc ở tâm của đa giác có số đo bằng \[ \frac{360{}^\circ }{n} \] .
– Bán kính đường tròn ngoại tiếp: \[ R=\frac{a}{2\sin \frac{180{}^\circ }{n}}\Rightarrow a=2R\sin \frac{180{}^\circ }{n} \] .
– Bán kính đường tròn nội tiếp: \[ R=\frac{a}{2\tan \frac{180{}^\circ }{n}}\Rightarrow a=2R\tan \frac{180{}^\circ }{n} \] .
– Liên hệ giữa bán kính đường tròn ngoại tiếp và nội tiếp:\[{{R}^{2}}-{{r}^{2}}=\frac{{{a}^{2}}}{4}\].
– Diện tích đa giác đều: \[ S=\frac{1}{2}nar. \]
B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP
Xác định tâm, bán kính và các đại lượng liên quan của đường tròn ngoại tiếp, đường tròn nội tiếp
Phương pháp:
Sử dụng các kiến thức về đường tròn nội tiếp và đường tròn ngoại tiếp đồng thời vận dụng linh hoạt các hệ thức lượng để tính toán.
C. GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA
Bài 61 (trang 91 SGK Toán 9 Tập 2):
Lời giải
a) Chọn điểm O là tâm, mở compa có độ dài 2cm vẽ đường tròn tâm O, bán kính 2cm.
b) Vẽ đường kính AC và BD vuông góc với nhau. Nối A với B, B với C, C với D, D với A ta được tứ giác ABCD là hình vuông nội tiếp đường tròn (O; 2cm).
c) Vẽ OH ⊥ BC.
⇒ OH là khoảng cách từ từ tâm O đến BC
Vì AB = BC = CD = DA ( ABCD là hình vuông) nên khoảng cách từ tâm O đến AB, BC, CD, DA bằng nhau ( định lý lien hệ giữa dây cung và khoảng cách từ tâm đến dây)
⇒ O là tâm đường tròn nội tiếp hình vuông ABCD
OH là bán kính r của đường tròn nội tiếp hình vuông ABCD.
Tam giác vuông OBC có OH là đường trung tuyến ⇒ \[ OH=\frac{1}{2}BC=BH \] .
Xét tam giác vuông OHB có: r2 + r2 = OB2 = 22 ⇒ 2r2 = 4 ⇒ r2 = 2 ⇒ r = \[ \sqrt{2} \] (cm)
Vẽ đường tròn (O; OH). Đường tròn này nội tiếp hình vuông, tiếp xúc bốn cạnh hình vuông tại các trung điểm của mỗi cạnh.
Bài 62 (trang 91 SGK Toán 9 Tập 2):
Lời giải
a) Vẽ tam giác đều ABC có cạnh bằng 3cm (dùng thước thẳng và compa).
+ Dựng đoạn thẳng AB = 3cm .
+Dựng cung tròn (A, 3) và cung tròn (B, 3). Hai cung tròn này cắt nhau tại điểm C.
Nối A với C, B với C ta được tam giác đều ABC cạnh 3cm.
b) * Vẽ đường tròn:
Tâm O của đường tròn ngoại tiếp tam giác đều ABC là giao điểm của ba đường trung trực.
Dựng đường trung trực của đoạn thẳng BC và CA.
Hai đường trung trực cắt nhau tại O.
Vẽ đường tròn tâm O, bán kính OA = OB = OC ta được đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
* Tính bán kính đường tròn.
+ Gọi A’ là trung điểm BC ⇒ A’C = \[ \frac{BC}{2}=\frac{a}{2}. \]
và AA’ ⊥ BC
\[ \Rightarrow AA'=\sqrt{A{{C}^{2}}-A'{{C}^{2}}}=\sqrt{{{a}^{2}}-{{\left( \frac{a}{2} \right)}^{2}}}=\frac{a\sqrt{3}}{2} \] .
+ Do tam giác ABC là tam giác đều nên 3 đường trung trực đồng thời là ba đường trung tuyến
=> Giao điểm ba đường trung trực cũng là giao điểm ba đường trung tuyến
Suy ra O là trọng tâm tam giác ABC.
\[ \Rightarrow OA=\frac{2}{3}AA'=\frac{2}{3}.\frac{a\sqrt{3}}{2}=\frac{a}{\sqrt{3}}=\sqrt{3} \]
Vậy R = \[ \sqrt{3} \] (cm).
c) * Vẽ đường tròn:
Gọi A’; B’; C’ lần lượt là chân đường phân giác trong ứng với các góc \[ \widehat{BAC};\widehat{ABC};\widehat{ACB}. \]
Do tam giác ABC là tam giác đều nên A’; B’; C’ đồng thời là trung điểm BC; CA; AB.
Đường tròn (O; r) là đường tròn tâm O; bán kính OA’ = OB’ = OC’.
* Tính r:
\[ r=OA'=\frac{1}{3}AA'=\frac{1}{3}.\frac{a\sqrt{3}}{2}=\frac{a}{2\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{2} \]
Vậy \[ r=\frac{\sqrt{3}}{2}. \]
d) Vẽ các tiếp tuyến với đường tròn (O; R) tại A, B, C. Ba tiếp tuyến này cắt nhau tại I, J, K. Ta có ΔIJK là tam giác đều ngoại tiếp (O; R).
Bài 63 (trang 92 SGK Toán 9 Tập 2):
Lời giải
a)
* Vẽ lục giác đều nội tiếp (O; R) :
+ Lấy điểm A trên (O ; R).
+ Vẽ cung tròn (A; R) cắt (O; R) tại B và F => AB = AF = R
+ Vẽ cung tròn (B; R) cắt (O; R) tại C ( khác A) => BC = R
+ Vẽ cung tròn (C; R) cắt (O; R) tại D ( khác B) => CD = R
+ Vẽ cung tròn (D; R) cắt (O; R) tại E ( khác C)=> DE = R
ABCDEF là lục giác đều cần vẽ.
* Tính cạnh: AB = BC = CD = DE = EF = FA = R.
b)
* Vẽ hình vuông :
+ Vẽ đường kính AC của đường tròn tâm O.
+ Vẽ đường kính BD ⊥ AC
Tứ giác ABCD có hai đường chéo bằng nhau, vuông góc với nhau và cắt nhau tại trung điểm mỗi đường nên là hình vuông.
Nối A với B ; B với C ; C với D với A ta được hình vuông ABCD nội tiếp đường tròn (O).
* Tính cạnh :
ΔAOB vuông tại O
\[ \Rightarrow AB=\sqrt{A{{O}^{2}}+O{{B}^{2}}}=\sqrt{{{R}^{2}}+{{R}^{2}}}=R\sqrt{2} \] .
c)
* Vẽ tam giác đều:
Chia đường tròn thành 6 cung bằng nhau như phần a).
Nối các điểm như hình vẽ ta được tam giác đều nội tiếp đường tròn.
* Tính cạnh tam giác :
Gọi cạnh ΔABC đều là a.
Gọi H là trung điểm BC
⇒ HB = \[ \frac{a}{2} \] .
\[ \Rightarrow AH=\sqrt{A{{B}^{2}}-B{{H}^{2}}}=\sqrt{{{a}^{2}}-{{\left( \frac{a}{2} \right)}^{2}}}=\frac{a\sqrt{3}}{2} \] .
Tam giác ABC là tam giác đều có O là tâm đường tròn ngoại tiếp đồng thời là trọng tâm tam giác.
\[ \Rightarrow OA=\frac{2}{3}AH=\frac{2}{3}.\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{a}{\sqrt{3}} \]
Mà OA = R ⇒ a = R \[ \sqrt{3} \] .
Bài 64 (trang 92 SGK Toán 9 Tập 2):
Lời giải
a) + \[ \widehat{BAD} \] là góc nội tiếp chắn cung \[ \overset\frown{BCD} \]
\[ \Rightarrow \widehat{BAD}=\frac{1}{2}.sd\overset\frown{BCD}=\frac{1}{2}.\left( sd\overset\frown{BC}+sd\overset\frown{DC} \right)=\frac{1}{2}\left( 90{}^\circ +120{}^\circ \right)=105{}^\circ \] .
+ \[ \widehat{ADC} \] là góc nội tiếp chắn cung \[ \overset\frown{ABC} \]
\[ \Rightarrow \widehat{ADC}=\frac{1}{2}.sd\overset\frown{ABC}=\frac{1}{2}.\left( sd\overset\frown{AB}+sd\overset\frown{BC} \right)=\frac{1}{2}\left( 60{}^\circ +90{}^\circ \right)=75{}^\circ \] .
\[ \Rightarrow \widehat{BAD}+\widehat{ADC}=180{}^\circ \]
Mà hai góc ở vị trí trong cùng phía nên \[ AB\parallel CD \] .
\[ \Rightarrow ABCD \] là hình thang.
+ Ta lại có: \[ sd\overset\frown{AD}=360{}^\circ -\left( sd\overset\frown{AB}+sd\overset\frown{BC}+sd\overset\frown{CD} \right)=90{}^\circ \] .
+ \[ \widehat{BCD} \] là góc nội tiếp chắn cung \[ \overset\frown{BAD} \]
\[ \Rightarrow \widehat{BCD}=\frac{1}{2}.sd\overset\frown{BAD}=\frac{1}{2}.\left( sd\overset\frown{BA}+sd\overset\frown{AD} \right)=\frac{1}{2}\left( 90{}^\circ +60{}^\circ \right)=75{}^\circ \] .
\[ \Rightarrow \widehat{BCD}=\widehat{ADC} \]
Suy ra ABCD là hình thang cân
b) Gọi I là giao điểm của AC và DB.
Góc \[ \widehat{AIB} \] có đỉnh I nằm bên trong đường tròn
\[ \Rightarrow \widehat{AIB}=\frac{1}{2}\left( sd\overset\frown{AB}+sd\overset\frown{CD} \right)=\frac{1}{2}\left( 60{}^\circ +120{}^\circ \right)=90{}^\circ . \]
\[ \Rightarrow AI\bot BI \] hay \[ AC\bot BD \] (đpcm)
C) + \[ \Delta OAB \] có OA = OB và \[ \widehat{AOB}=sd\overset\frown{AB}=60{}^\circ \]
\[ \Rightarrow \Delta OAB \] đều
\[ \Rightarrow AB=OA=OB=R \] .
+ \[ \Delta OBC \] có OC = OB = R và \[ \widehat{BOC}=sd\overset\frown{BC}=90{}^\circ \]
Áp dụng định lý Py – ta – go, ta có: \[ B{{C}^{2}}=O{{B}^{2}}+O{{C}^{2}}=2{{R}^{2}} \]
\[ \Rightarrow BC=R\sqrt{2} \] .
+ ABCD là hình thang cân
\[ \Rightarrow AD=BC=R\sqrt{2} \]
+ Gọi H là trung điểm CD.
Ta có: OD = OC \[ \Rightarrow \Delta ODC \] cân tại O
\[ \Rightarrow OH \] đồng thời là đường cao và đường phân giác
Mà \[ \widehat{DOC}=s\text{d}\overset\frown{DC}=120{}^\circ \]
\[ \Rightarrow \widehat{DOH}=\frac{1}{2}\widehat{DOC}=60{}^\circ \]
+ Xét \[ \Delta ODH \] vuông tại H,
Áp dụng hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông ta có:
\[ DH=OD.\sin \widehat{DOH}=R.\sin 60{}^\circ =\frac{R\sqrt{3}}{2} \]
\[ \Rightarrow CD=2DH=R\sqrt{3}. \]
Gợi ý Giải bài tập sách giáo khoa đường tròn ngoại tiếp đường tròn nội tiếp toán học 9, toán 9 hình học lý thuyết trọng tâm giúp học sinh nắm vững kiến thức nhanh nhất