BÀI 5: DẤU HIỆU NHẬN BIẾT TIẾP TUYẾN CỦA ĐƯỜNG TRÒN
I. LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM
Dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến của đường tròn
Định lý: Nếu một đường thẳng đi qua một điểm của đường tròn và vuông góc với bán kính đi qua điểm đó thì đường thẳng ấy là một tiếp tuyến của đường tròn.
Ngoài ra, nhắc lại một số dấu hiệu đã biết:
+) Nếu một đường thằng và một đường tròn chỉ có một điểm chung thì đường thẳng đó là tiếp tuyến của đường tròn.
+) Nếu khoảng cách từ tâm của một đường tròn đến đường thẳng bằng bán kính của đường tròn thì đường thẳng đó là tiếp tuyến của đường tròn.
II. PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP
Dạng 1: Chứng minh một đường thẳng là tiếp tuyến của đường tròn
Phương pháp:
Để chứng minh đường thẳng d là tiếp tuyến của đường tròn (O, R) tại tiếp điểm là A, ta có thể làm theo cách sau:
Cách 1. Chứng minh OA vuông góc với d tại A và A thuộc (O).
Cách 2. Vẽ OH vuông góc với d. Chứng minh OH=OA=R.
Cách 3. Vẽ tiếp tuyến d’ của (O). Ta chứng minh d trùng d’.
Dạng 2: Bài toán tính độ dài
Phương pháp:
Vận dụng định lý về tiếp tuyến và hệ thức lượng trong tam giác vuông để tính toán.
III. GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA
Bài 21 (trang 111 SGK Toán 9 Tập 1):
Ta có: \[A{{B}^{2}}+A{{C}^{2}}={{3}^{2}}+{{4}^{2}}=25\]
\[B{{C}^{2}}={{5}^{2}}=25\]
Nên \[A{{B}^{2}}+A{{C}^{2}}=B{{C}^{2}}\]=> tam giác ABC vuông tại A hay AC ⊥ BA.
Đường thẳng AC đi qua điểm A của đường tròn và vuông góc với bán kính BA đi qua điểm A nên AC là tiếp tuyến của đường tròn.
Bài 22 (trang 111 SGK Toán 9 Tập 1):
Đường tròn (O) tiếp xúc với d nên d là tiếp tuyến của (O) hay d vuông góc với bán kính của (O) tại tiếp điểm A. Suy ra tâm O của đường tròn nằm trên đường thẳng vuông góc với d tại A.
Lại có (O) qua B nên tâm O của đường tròn nằm trên đường trung trực của AB.
Vậy tâm O là giao điểm của đường vuông góc với d tại A và đường trung trực của AB.
Bài 23 (trang 111 SGK Toán 9 Tập 1):
Lời giải:
Từ hình vẽ, đường tròn (A) và (C) nằm cùng một phía (về bên dưới) so với sợi dây nên có cùng chiều quay, còn đường tròn (B) nằm ở khác phía (bên trên).
=> đường tròn (A) và (C) quay ngược chiều với (B).
Bài 24 (trang 111-112 SGK Toán 9 Tập 1):
a) Gọi H là giao điểm của OC và AB, ΔAOB cân tại O (OA = OB, bán kính). OH là đường cao nên cũng là đường phân giác. Do đó:
\[ \widehat{\text{AOC}}=\widehat{\text{BOC}} \]
Vì AC là tiếp tuyến tại A của đường tròn (O) nên \[ \widehat{OAC}={{90}^{o}} \] .
Xét 2 tam giác OAC và OBC có:
OA=OB= ( = R)
\[ \widehat{AOC}=\widehat{BOC} \]
OC chung
Suy ra \[ \Delta \text{OAC}=\Delta \text{OBC}(\text{c}.\text{g}.\text{c})\Rightarrow \widehat{OAC}=\widehat{OBC}={{90}^{{}^\circ }} \]
Suy ra: CB vuông góc với OB, mà OB là bán kính của đường tròn (O)
⇒ CB là tiếp tuến của đường tròn (O) tại B. (điều phải chứng minh)
b) Ta có: OH vuông góc AB nên H là trung điểm của AB (quan hệ vuông góc giữa đường kính và dây)
\[ \Rightarrow HA=HB=\frac{AB}{2}=12 \]
Áp đụng định lý Pi ta go cho tam giác HOA vuông tại H ta có:
\[ \text{O}{{\text{A}}^{2}}=\text{O}{{\text{H}}^{2}}+\text{H}{{\text{A}}^{2}}\Leftrightarrow {{15}^{2}}=\text{O}{{\text{H}}^{2}}+{{12}^{2}}\Leftrightarrow \text{O}{{\text{H}}^{2}}={{15}^{2}}-{{12}^{2}}=81\Rightarrow \text{OH}=9(~\text{cm}) \]
Xét tam giác vuông OAC có đường cao AH, áp dụng hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông ta có:
\[ O{{A}^{2}}=OH.OC\Rightarrow OC=\frac{O{{A}^{2}}}{OH}=\frac{{{15}^{2}}}{9}=25(~\text{cm}) \]
Vậy OC = 25 cm
Bài 25 (trang 111 SGK Toán 9 Tập 1):
a) Bán kính OA vuông góc với BC nên MB = MC.
Lại có MO = MA (gt).
Suy ra tứ giác OBAC là hình bình hành vì có các đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường.
Lại có: OA ⊥ BC nên OBAC là hình thoi.
b) Ta có: OA = OB (bán kính)
OB = BA (tính chất hình thoi).
Nên OA = OB = BA => ΔAOB đều => ∠AOB = 60o
Trong tam giác OBE vuông tại B ta có:
\[BE=OB.\tan AOB=OB.\tan {{60}^{o}}=R.\sqrt{3}\]
Trên đây là gợi ý giải bài tập Toán 9 bài Dấu hiệu nhận biết hai tiếp tuyến cắt nhau do giáo viên Ican trực tiếp biên soạn theo chương trình mới nhất. Chúc bác bạn học tập vui vẻ.