BÀI 5: CÔNG THỨC NGHIỆM THU GỌN
I. LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM
Công thức nghiệm
Đối với phương trình ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) và b’=2b biệt thức Δ’ = b’2 – ac.
+ Nếu Δ’ > 0 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt \[ x_{1}^{{}}=\frac{-b'+\sqrt{\Delta '}}{a}; \] \[ x_{2}^{{}}=\frac{-b'-\sqrt{\Delta '}}{a}. \]
+ Nếu Δ’ = 0 thì phương trình có nghiệm kép \[ x_{1}^{{}}=x_{2}^{{}}=\frac{-b}{a}. \]
+ Nếu Δ’ < 0 thì phương trình vô nghiệm.
II. PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP
Giải phương trình: ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0)
Bước 1: Xác định các hệ số a; b’; c của phương trình bậc hai ax2 + bx + c.
Bước 2: Tính Δ’ = b’2 - ac.
+ TH1: Δ < 0, phương trình vô nghiệm.
+ TH2: Δ = 0, phương trình có nghiệm kép \[ x_{1}^{{}}=x_{2}^{{}}=\frac{-b'}{a}. \]
+ TH3: Δ > 0, phương trình có hai nghiệm phân biệt \[ x_{1}^{{}}=\frac{-b'+\sqrt{\Delta '}}{a}; \] \[ x_{2}^{{}}=\frac{-b'-\sqrt{\Delta '}}{a}. \]
Bước 3: Tìm nghiệm của phương trình (nếu có).
Bước 4: Kết luận.
III. GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA
Bài 17 (trang 49 SGK Toán 9 Tập 2):
a) \[ 4{{x}^{2}}+4x+1=0 \]
Hệ số \[ a=4,b'=2,c=1. \]
Ta có: \[ \Delta '=b{{'}^{2}}-ac={{\left( 2 \right)}^{2}}-4.1=0. \]
Khi đó, phương trình có nghiệm kép:
\[ x_{1}^{{}}=x_{2}^{{}}=\frac{-b'}{a}=\frac{-2}{4}=-\frac{1}{2}. \]
Vậy tập nghiệm của phương trình là \[ S=\left\{ -\frac{1}{2} \right\}. \]
b) \[ 13852{{x}^{2}}-14x+1=0 \]
Hệ số \[ a=13852,b'=-7,c=1. \]
Ta có: \[ \Delta '=b{{'}^{2}}-ac={{\left( -7 \right)}^{2}}-13852.1=-13803<0. \]
Khi đó, phương trình vô nghiệm.
Vậy tập nghiệm của phương trình là \[ S=\left\{ \varnothing \right\}. \]
c) \[ 5{{x}^{2}}-6x+1=0 \]
Hệ số \[ a=5,b'=-3,c=1. \]
Ta có: \[ \Delta '=b{{'}^{2}}-ac={{\left( -3 \right)}^{2}}-5.1=4>0 \]
Khi đó, phương trình có hai nghiệm phân biệt:
\[ x_{1}^{{}}=\frac{-b'+\sqrt{\Delta '}}{a}=\frac{3+\sqrt{4}}{5}=1; \] \[ x_{2}^{{}}=\frac{-b-\sqrt{\Delta }}{a}=\frac{3-\sqrt{4}}{5}=\frac{1}{5}. \]
Vậy tập nghiệm của phương trình là \[ S=\left\{ \frac{1}{5};1 \right\}. \]
d) \[ -3{{x}^{2}}+4\sqrt{6}x+4=0 \]
Hệ số \[ a=-3,b'=2\sqrt{6},c=4. \]
Ta có: \[ \Delta '=b{{'}^{2}}-ac={{\left( 2\sqrt{6} \right)}^{2}}-\left( -3 \right).4=36>0 \]
Khi đó, phương trình có hai nghiệm phân biệt:
\[ x_{1}^{{}}=\frac{-b'+\sqrt{\Delta '}}{a}=\frac{-2\sqrt{6}+\sqrt{36}}{-3}=\frac{2\sqrt{6}-6}{3}; \] \[ x_{2}^{{}}=\frac{-b'-\sqrt{\Delta '}}{a}=\frac{-2\sqrt{6}-\sqrt{36}}{-3}=\frac{2\sqrt{6}+6}{3}. \]
Vậy tập nghiệm của phương trình là \[ S=\left\{ \frac{2\sqrt{6}-6}{3};\frac{2\sqrt{6}+6}{3} \right\}. \]
Bài 18 (trang 49 SGK Toán 9 Tập 2):
a) \[ 3{{x}^{2}}-2x={{x}^{2}}+3\Leftrightarrow 3{{x}^{2}}-2x-{{x}^{2}}-3=0\Leftrightarrow 2{{x}^{2}}-2x-3=0\Leftrightarrow 2{{x}^{2}}-2.1.x-3=0. \]
Ta có: \[ \Delta '=b{{'}^{2}}-ac={{1}^{2}}-\left( -3 \right).2=7>0 \]
Khi đó, phương trình có hai nghiệm phân biệt:
\[ x_{1}^{{}}=\frac{-b'+\sqrt{\Delta '}}{a}=\frac{1+\sqrt{7}}{2}\approx 1,82; \] \[ x_{2}^{{}}=\frac{-b'-\sqrt{\Delta '}}{a}=\frac{1-\sqrt{7}}{2}\approx 0,82. \]
Vậy tập nghiệm của phương trình là \[ S=\left\{ \frac{1-\sqrt{7}}{2};\frac{1+\sqrt{7}}{2} \right\}. \]
b) \[ {{\left( 2x-\sqrt{2} \right)}^{2}}-1=\left( x+1 \right)\left( x-1 \right)\Leftrightarrow 4{{x}^{2}}-4\sqrt{2}x+2-1={{x}^{2}}-1\Leftrightarrow 3{{x}^{2}}-4\sqrt{2}x+2=0\Leftrightarrow 3{{x}^{2}}-2.2\sqrt{2}.x+2=0. \]
Ta có: \[ \Delta '=b{{'}^{2}}-ac={{\left( 2\sqrt{2} \right)}^{2}}-3.2=2>0. \]
Khi đó, phương trình có hai nghiệm phân biệt:
\[x_{1}^{{}}=\frac{-b'+\sqrt{\Delta '}}{a}=\frac{2\sqrt{2}+\sqrt{2}}{2}=\frac{3\sqrt{2}}{2}\approx 2,12;\] \[ x_{2}^{{}}=\frac{-b'-\sqrt{\Delta '}}{a}=\frac{2\sqrt{2}-\sqrt{2}}{2}=1. \]
Vậy tập nghiệm của phương trình là \[ S=\left\{ 1;2,12 \right\}. \]
c)
\[ 3{{x}^{2}}+3=2\left( x+1 \right)\Leftrightarrow 3{{x}^{2}}+3-2x-2=0\Leftrightarrow 3{{x}^{2}}-2x+1=0\Leftrightarrow 3{{x}^{2}}-2.1.x+1=0. \]
Ta có: \[ \Delta '=b{{'}^{2}}-ac={{1}^{2}}-\left( 3 \right).1=-5<0 \]
Khi đó, phương trình vô nghiệm.
Vậy tập nghiệm của phương trình là \[ S=\left\{ \varnothing \right\}. \]
d) \[ 0,5x\left( x+1 \right)={{\left( x-1 \right)}^{2}}\Leftrightarrow 0,5{{x}^{2}}+0,5x={{x}^{2}}-2x+1\Leftrightarrow 0,5{{x}^{2}}-2,5x+1=0\Leftrightarrow 0,5{{x}^{2}}-2.1,25x+1=0 \]
Ta có: \[ \Delta '=b{{'}^{2}}-ac={{\left( 1,25 \right)}^{2}}-0,5.1=1,0625>0 \]
Khi đó, phương trình có hai nghiệm phân biệt:
\[x_{1}^{{}}=\frac{-b'+\sqrt{\Delta '}}{a}=\frac{1,25+\sqrt{1,0625}}{0,5}\approx 4,56;\] \[x_{2}^{{}}=\frac{-b'-\sqrt{\Delta '}}{a}=\frac{1,25-\sqrt{1,0625}}{0,5}\approx 0,44;\]
Vậy tập nghiệm của phương trình là \[ S=\left\{ 0,44;4,56 \right\}. \]
Bài 19 (trang 49 SGK Toán 9 Tập 2):
Xét phương trình: \[ a{{x}^{2}}+bx+c=0\Leftrightarrow {{\left( \sqrt{a}x \right)}^{2}}+2.\left( \sqrt{a}x \right).\frac{b}{2\sqrt{a}}+{{\left( \frac{b}{2\sqrt{a}} \right)}^{2}}-{{\left( \frac{b}{2\sqrt{a}} \right)}^{2}}+c=0\Leftrightarrow {{\left( \sqrt{a}x+\frac{b}{2\sqrt{a}} \right)}^{2}}+\frac{-{{b}^{2}}+4ac}{4a}=0. \]
Mà \[ \Delta ={{b}^{2}}-4ac \]
\[ a{{x}^{2}}+bx+c=0\Leftrightarrow {{\left( \sqrt{a}x+\frac{b}{2\sqrt{a}} \right)}^{2}}+\frac{-\Delta }{4a}=0. \]
Mặt khác, phương trình vô nghiệm nên \[ \Delta <0 \] và \[ a>0 \] \[ \Rightarrow \frac{-\Delta }{4a}>0. \]
\[ \Rightarrow {{\left( \sqrt{a}x+\frac{b}{2\sqrt{a}} \right)}^{2}}+\frac{-\Delta }{4a}>0 \] với mọi \[ x \] .
Vậy với \[ a>0 \] và phương trình \[ a{{x}^{2}}+bx+c=0 \] vô nghiệm thì \[ a{{x}^{2}}+bx+c>0 \] với mọi \[ x \] .
Bài 20 (trang 49 SGK Toán 9 Tập 2):
a) \(25{{x}^{2}}-16=0\Leftrightarrow 25{{x}^{2}}=16\Leftrightarrow {{x}^{2}}=\frac{16}{25}\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x_{1}^{{}}=\frac{4}{5} \\ & x_{2}^{{}}=-\frac{4}{5} \\ \end{align} \right. \)
Vậy tập nghiệm của phương trình là \[ S=\left\{ -\frac{4}{5};\frac{4}{5} \right\}. \]
b) \[ 2{{x}^{2}}+3=0\Leftrightarrow {{x}^{2}}=-\frac{3}{2}(VL). \]
Khi đó, phương trình vô nghiệm.
Vậy tập nghiệm của phương trình là \[ S=\left\{ \varnothing \right\}. \]
c) \(4,2 x^{2}+5,46 x=0 \Leftrightarrow x(4,2 x+5,46)=0 \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}x=0 \\ 4,2 x+5,46=0\end{array} \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}x=0 \\ x=-1,3\end{array}\right.\right.\)
Vậy tập nghiệm của phương trình là \[ S=\left\{ -1,3;0 \right\}. \]
d) \[ 4{{x}^{2}}-2\sqrt{3}x=1-\sqrt{3}\Leftrightarrow 4{{x}^{2}}-2\sqrt{3}x-1+\sqrt{3}=0 \]
Ta có: \[ \Delta '=b{{'}^{2}}-ac={{\left( \sqrt{3} \right)}^{2}}-\left( \sqrt{3}-1 \right).4=7-4\sqrt{3}>0 \]
Khi đó, phương trình có hai nghiệm phân biệt:
\[ x_{1}^{{}}=\frac{-b'+\sqrt{\Delta '}}{a}=\frac{\sqrt{3}+\sqrt{7-4\sqrt{3}}}{4}; \] \[ x_{2}^{{}}=\frac{-b'-\sqrt{\Delta '}}{a}=\frac{\sqrt{3}-\sqrt{7-4\sqrt{3}}}{4}. \]
Vậy tập nghiệm của phương trình là \[ S=\left\{ \frac{\sqrt{3}+\sqrt{7-4\sqrt{3}}}{4};\frac{\sqrt{3}-\sqrt{7-4\sqrt{3}}}{4} \right\}. \]
Bài 21 (trang 49 SGK Toán 9 Tập 2):
a) \[ {{x}^{2}}=12x+288\Leftrightarrow {{x}^{2}}-12x-288=0 \]
Ta có: \[ \Delta '=b{{'}^{2}}-ac={{\left( 6 \right)}^{2}}-1.\left( -288 \right)=324>0 \]
Khi đó, phương trình có hai nghiệm phân biệt:
\[ x_{1}^{{}}=\frac{-b'+\sqrt{\Delta '}}{a}=\frac{6+\sqrt{324}}{1}=24; \] \[ x_{2}^{{}}=\frac{-b'-\sqrt{\Delta '}}{a}=\frac{6-\sqrt{324}}{1}=-12. \]
Vậy tập nghiệm của phương trình là \[ S=\left\{ -12;24 \right\}. \]
b) \[ \frac{1}{12}{{x}^{2}}+\frac{7}{12}x=19\Leftrightarrow {{x}^{2}}+7x-228=0 \]
Ta có: \[ \Delta ={{b}^{2}}-4ac={{\left( 7 \right)}^{2}}-4.1.\left( -228 \right)=961>0 \]
Khi đó, phương trình có hai nghiệm phân biệt:
\[ x_{1}^{{}}=\frac{-b+\sqrt{\Delta }}{a}=\frac{-7+\sqrt{961}}{1}=24; \] \[ x_{2}^{{}}=\frac{-b-\sqrt{\Delta }}{a}=\frac{-7-\sqrt{961}}{1}=-38. \]
Vậy tập nghiệm của phương trình là \[ S=\left\{ -38;24 \right\}. \]
Bài 22 (trang 49 SGK Toán 9 Tập 2):
a) Phương trình \[ 15{{x}^{2}}+4x-2005=0 \] có \[ a=15,c=-2005\Rightarrow a.c=15.\left( -2005 \right)<0 \]
Phương trình có hai nghiệm phân biệt.
b) Phương trình \[ -\frac{19}{5}{{x}^{2}}-\sqrt{7}x+1890=0 \] có \[ a=-\frac{19}{5},c=1809\Rightarrow a.c=-\frac{19}{5}.1809<0. \]
Phương trình có hai nghiệm phân biệt.
Bài 23 (trang 50 SGK Toán 9 Tập 2):
Ta có \[ v=3{{t}^{2}}-30t+135\left( 1 \right) \] (t tính bằng phút, v tính bằng km/h).
a) Thay t = 5 phút vào (1), ta được: \[ v={{3.5}^{2}}-30.5+135=60 \] (km/h).
Vậy vận tốc của oto khi t = 5 phút là 60 km/h.
b) Thay v = 120 km/h vào (1), ta được: \[ 3{{t}^{2}}-30t+135=120\Leftrightarrow 3{{t}^{2}}-30t+15=0\Leftrightarrow {{t}^{2}}-10t+5=0 \]
Hệ số \[ a=1,b'=-5,c=5. \]
Ta có: \[ \Delta '=b{{'}^{2}}-ac={{\left( 5 \right)}^{2}}-1.5=20>0 \]
Khi đó, phương trình có hai nghiệm phân biệt:
\[ x_{1}^{{}}=\frac{-b'+\sqrt{\Delta }}{a}=\frac{5+\sqrt{20}}{1}=2\sqrt{5}+5\approx 9,47; \] \[ x_{2}^{{}}=\frac{-b-\sqrt{\Delta }}{a}=\frac{5-\sqrt{20}}{1}=5-2\sqrt{5}\approx 0,53. \]
Do rada quan sát chuyển động của oto trong 10 phút nên cả hai giá trị trên đều thỏa mãn.
Vậy ở các thời điểm t = 9,47 phút và t = 0,53 phút thì oto đi với vận tốc 120km/h.
Bài 24 (trang 50 SGK Toán 9 Tập 2):
Cho phương trình: \[ {{x}^{2}}-2\left( m-1 \right)x+{{m}^{2}}=0. \]
a) Hệ số \[ a=1,b'=m-1,c={{m}^{2}}\Rightarrow \Delta ={{b}^{2}}-4ac={{\left( m-1 \right)}^{2}}-1.{{m}^{2}}=-2m+1 \] .
b) Để phương trình có hai nghiệm phân biệt \[ \Leftrightarrow \Delta >0\Leftrightarrow -2m+1>0\Leftrightarrow m<\frac{1}{2}. \]
Để phương trình có nghiệm kép \[ \Leftrightarrow \Delta =0\Leftrightarrow -2m+1=0\Leftrightarrow m=\frac{1}{2}. \]
Để phương trình vô nghiệm \[ \Leftrightarrow \Delta <0\Leftrightarrow -2m+1<0\Leftrightarrow m>\frac{1}{2}. \]
Gợi ý Giải bài tập sách giáo khoa công thức nghiệm thu gọn toán học 9, toán 9 đại số lý thuyết trọng tâm giúp học sinh nắm vững kiến thức chính xác nhất