BÀI 4: CÔNG THỨC NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
I. LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM
Công thức nghiệm
Đối với phương trình ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) và biệt thức Δ = b2 - 4ac
+ Nếu Δ > 0 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt \[ x_{1}^{{}}=\frac{-b+\sqrt{\Delta }}{2a}; \] \[ x_{2}^{{}}=\frac{-b-\sqrt{\Delta }}{2a}. \]
+ Nếu Δ = 0 thì phương trình có nghiệm kép \[ x_{1}^{{}}=x_{2}^{{}}=\frac{-b}{2a}. \]
+ Nếu Δ < 0 thì phương trình vô nghiệm.
Chú ý: Nếu phương trình ax2 bx + c = 0 (a ≠ 0) có a và c trái dấu, tức là ac < 0. Khi đó ta có Δ = b2 - 4ac > 0 ⇒ Phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt
II. PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP
Dạng 1.1: Giải phương trình: ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0)
Bước 1: Xác định các hệ số a; b; c của phương trình bậc hai ax2 + bx + c.
Bước 2: Tính Δ = b2 - 4ac.
+ TH1: Δ < 0, phương trình vô nghiệm.
+ TH2: Δ = 0, phương trình có nghiệm kép \[ x_{1}^{{}}=x_{2}^{{}}=\frac{-b}{2a}. \]
+ TH3: Δ > 0, phương trình có hai nghiệm phân biệt \[ x_{1}^{{}}=\frac{-b+\sqrt{\Delta }}{2a}; \] \[ x_{2}^{{}}=\frac{-b-\sqrt{\Delta }}{2a}. \]
Bước 3: Tìm nghiệm của phương trình (nếu có).
Bước 4: Kết luận.
Dạng 1.2: Kiểm tra một giá trị x0 có là nghiệm của phương trình: ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) hay không.
Bước 1: Thay giá trị x0 vào vế trái của phương trình: ax0 + bx0 + c
Bước 2: Kết luận.Tính vế trái. Nếu kết quả bằng 0 thì x0 là một nghiệm của phương trình.
Bước 3: Kết luận.
III. GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA
Bài 15 (trang 45 SGK Toán 9 Tập 2):
a) \[ 7{{x}^{2}}-2x+3=0 \]
Hệ số \[ a=7,b=-2,c=3. \]
Ta có: \[ \Delta ={{b}^{2}}-4ac={{\left( -2 \right)}^{2}}-4.7.3=-80<0. \]
Khi đó, phương trình vô nghiệm.
b) \[ 5{{x}^{2}}+2\sqrt{10}x+2=0 \]
Hệ số \[ a=5,b=2\sqrt{10},c=2. \]
Ta có: \[ \Delta ={{b}^{2}}-4ac={{\left( 2\sqrt{10} \right)}^{2}}-4.5.2=0. \]
Khi đó, phương trình có một nghiệm duy nhất.
c) \[ \frac{1}{2}{{x}^{2}}+7x+\frac{2}{3}=0 \]
Hệ số \[ a=\frac{1}{2},b=7,c=\frac{2}{3}. \]
Ta có: \[ \Delta ={{b}^{2}}-4ac={{\left( 7 \right)}^{2}}-4.\frac{1}{2}.\frac{2}{3}=\frac{143}{3}>0. \]
Khi đó, phương trình có hai nghiệm phân biệt.
d) \[ 1,7{{x}^{2}}-1,2x-2,1=0 \]
Hệ số \[ a=1,7,b=-1,2,c=-2,1. \]
Ta có: \[ \Delta ={{b}^{2}}-4ac={{\left( -1,2 \right)}^{2}}-4.1,7.\left( -2,1 \right)=15,72>0. \]
Khi đó, phương trình có hai nghiệm phân biệt.
Bài 16 (trang 45 SGK Toán 9 Tập 2):
a) \[ 2{{x}^{2}}-7x+3=0 \]
Hệ số \[ a=2,b=-7,c=3. \]
Ta có: \[ \Delta ={{b}^{2}}-4ac={{\left( -7 \right)}^{2}}-4.2.3=25>0. \]
Khi đó, phương trình có hai nghiệm phân biệt:
\[ x_{1}^{{}}=\frac{-b+\sqrt{\Delta }}{2a}=\frac{7+\sqrt{25}}{2.2}=3 \] \[ x_{2}^{{}}=\frac{-b-\sqrt{\Delta }}{2a}=\frac{7-\sqrt{25}}{2.2}=\frac{1}{2}. \]
Vậy tập nghiệm của phương trình là \[ S=\left\{ \frac{1}{2};3 \right\}. \]
b) \[ 6{{x}^{2}}+x+5=0 \]
Hệ số \[ a=6,b=1,c=5. \]
Ta có: \[ \Delta ={{b}^{2}}-4ac={{\left( 1 \right)}^{2}}-4.6.5=-119<0. \]
Khi đó, phương trình vô nghiệm.
Vậy tập nghiệm của phương trình là \[ S=\left\{ \varnothing \right\}. \]
c) \[ 6{{x}^{2}}+x-5=0 \]
Hệ số \[ a=6,b=1,c=-5. \]
Ta có: \[ \Delta ={{b}^{2}}-4ac={{\left( 1 \right)}^{2}}-4.6.\left( -5 \right)=121>0. \]
Khi đó, phương trình có hai nghiệm phân biệt:
\[ x_{1}^{{}}=\frac{-b+\sqrt{\Delta }}{2a}=\frac{-1+\sqrt{121}}{2.6}=\frac{5}{6}; \] \[ x_{2}^{{}}=\frac{-b-\sqrt{\Delta }}{2a}=\frac{-1-\sqrt{121}}{2.6}=-1. \]
Vậy tập nghiệm của phương trình là \[ S=\left\{ -1;\frac{5}{6} \right\}. \]
d) \[ 3{{x}^{2}}+5x+2=0 \]
Hệ số \[ a=3,b=5,c=2. \]
Ta có: \[ \Delta ={{b}^{2}}-4ac={{5}^{2}}-4.3.2=1>0. \]
Khi đó, phương trình có hai nghiệm phân biệt:
\[ x_{1}^{{}}=\frac{-b+\sqrt{\Delta }}{2a}=\frac{-5+\sqrt{1}}{2.3}=-\frac{2}{3}; \] \[ x_{2}^{{}}=\frac{-b-\sqrt{\Delta }}{2a}=\frac{-5-\sqrt{1}}{2.3}=-1. \]
Vậy tập nghiệm của phương trình là \[ S=\left\{ -1;-\frac{2}{3} \right\}. \]
e) \[ {{y}^{2}}-8y+16=0 \]
Hệ số \[ a=1,b=-8,c=16. \]
Ta có: \[ \Delta ={{b}^{2}}-4ac={{\left( -8 \right)}^{2}}-4.1.16=0. \]
Khi đó, phương trình có một nghiệm duy nhất:
\[ x_{1}^{{}}=x_{2}^{{}}=\frac{-b}{2a}=\frac{-\left( -8 \right)}{2.1}=4; \]
Vậy tập nghiệm của phương trình là \[ S=\left\{ 4 \right\}. \]
f) \[ 16{{x}^{2}}+24x+9=0 \]
Hệ số \[ a=16,b=24,c=9. \]
Ta có: \[ \Delta ={{b}^{2}}-4ac={{24}^{2}}-4.16.9=0. \]
Khi đó, phương trình có một nghiệm duy nhất:
\[ x_{1}^{{}}=x_{2}^{{}}=\frac{-b}{2a}=\frac{-24}{2.16}=-\frac{3}{4}; \]
Vậy tập nghiệm của phương trình là \[ S=\left\{ -\frac{3}{4} \right\}. \]
Gợi ý Giải bài tập sách giáo khoa công thức nghiệm của phương trình bậc 2 toán học 9, toán 9 đại số lý thuyết trọng tâm giúp học sinh nắm vững kiến thức nhanh nhất