ÔN TẬP CHƯƠNG II
A. LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM
1. Định nghĩa về đường tròn
Đường tròn tâm O bán kính R > 0 là hình gồm các điểm cách điểm O một khoảng R kí hiệu là (O; R) hay (O).
Nếu A nằm trên đường tròn (O; R) thì OA = R.
Nếu A nằm trong đường tròn (O; R) thì OA < R.
Nếu A nằm ngoài đường tròn (O; R) thì OA > R.
2. Quan hệ vuông góc giữa đường kính và dây
+ Trong một đường tròn, đường kính vuông góc với một dây thì đi qua trung điểm của dây ấy.
+ Trong một đường tròn, đường kính đi qua trung điểm của một dây không đi qua tâm thì vuông góc với dây ấy.
3. Liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm đến dây
+ Trong một đường tròn:
⋅ Hai dây bằng nhau thì cách đều tâm.
⋅ Hai dây cách đều tâm thì bằng nhau.
+ Trong hai dây của một đường tròn:
⋅ Dây nào lớn hơn thì dây đó gần tâm hơn.
⋅ Dây nào gần tâm hơn thì dây đó lớn hơn.
4. Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn
Cho đường tròn (O; R) và đường thẳng Δ. Đặt d = d(O, Δ).
| Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn | Số điểm chung | Hệ thức giữa d và R |
| Đường thẳng và đường tròn cắt nhau | 2 | d < R |
| Đường thẳng và đường tròn tiếp xúc nhau | 1 | d = R |
| Đường thẳng và đường tròn không giao nhau | 0 | d > R |
5. Dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến của đường tròn
+ Nếu một đường thẳng là tiếp tuyến của một đường tròn thì nó vuông góc với bán kính đi qua tiếp điểm.
+ Nếu một đường thẳng đi qua một điểm của đường tròn và vuông góc với bán kính đi qua điểm đó thì đường thẳng ấy là tiếp tuyến của đường tròn.
6. Tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau
Nếu hai tiếp tuyến của một đường tròn cắt nhau tại một điểm thì:
+ Điểm đó cách đều hai tiếp điểm.
+ Tia kẻ từ điểm đó đi qua tâm là tia phân giác của góc tạo bởi hai tiếp tuyến.
+ Tia kẻ từ tâm đi qua điểm đó là tia phân giác của góc tạo bởi hai bán kính đi qua các tiếp điểm.
7. Đường tròn nội tiếp tam giác
+ Đường tròn tiếp xúc với ba cạnh của một tam giác được gọi là đường tròn nội tiếp tam giác, còn tam giác được gọi là ngoại tiếp đường tròn.
+ Tâm của đường tròn nội tiếp tam giác là giao điểm của các đường phân giác các góc trong tam giác.
8. Đường tròn bàng tiếp tam giác
+ Đường tròn tiếp xúc với một cạnh của một tam giác và tiếp xúc với các phần kéo dài của hai cạnh kia được gọi là đường tròn bàng tiếp tam giác.
+ Với một tam giác, có ba đường tròn bàng tiếp.
+ Tâm của đường tròn bàng tiếp tam giác trong góc A là giao điểm của hai đường phân giác các góc ngoài tại B và C, hoặc là giao điểm của đường phân giác góc A và đường phân giác ngoài tại B (hoặc C).
9. Tính chất đường nối tâm
+ Đường nối tâm của hai đường tròn là trục đối xứng của hình gồm cả hai đường tròn đó.
+ Nếu hai đường tròn cắt nhau thi hai giao điểm đối xứng với nhau qua đường nối tâm.
+ Nếu hai đường tròn tiếp xúc nhau thì tiếp điểm nằm trên đường nối tâm.
10. Vị trí tương đối của hai đường tròn
Cho hai đường tròn (O; R) và (O'; r). Đặt OO' = d.
| VTTĐ của hai đường tròn | Số điểm chung | Hệ thức giữa d với R và r |
| Hai đường tròn cắt nhau | 2 | R - r < d < R + r |
Hai đường tròn tiếp xúc nhau: - Thiếp xúc ngoài - Tiếp xúc trong | 1 | d = R + r d = R - r |
Hai đường tròn không giao nhau: - Ở ngoài nhau - (O) đựng (O') | 0 | d > R + r d < R - r |
11. Tiếp tuyến chung của hai đường tròn
+ Tiếp tuyến chung của hai đường tròn là đường thẳng tiếp xúc với cả hai đường tròn đó.
+ Tiếp tuyến chung ngoài là tiếp tuyến chung không cắt đoạn nối tâm.
+ Tiếp tuyến chung trong là tiếp tuyến chung cắt đoạn nối tâm.
B. GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA
Bài 41 (trang 128 SGK Toán 9 Tập 1):
Lời giải:
a)
IO = OB – IB => (I) tiếp xúc trong với (O).
OK = OC – KC => (K) tiếp xúc trong với (O)
IK = OH + KH => (I) tiếp xúc ngoài với (K)
b) Tứ giác AEHF có \[\widehat{A}=\widehat{E}=\widehat{F}=90{}^\circ \] nên là hình chữ nhật
c) ΔAHB vuông nên AE.AB = AH2
ΔAHC vuông nên AF.AC = AH2
Suy ra AE.AB = AF.AC
d) Gọi G là giao điểm của AH và EF
Tứ giác AEHF là hình chữ nhật => AH = EF
Ta có GE = GH \[\Rightarrow \Delta GEH\] cân tại G \[\Rightarrow \widehat{{{E}_{1}}}=\widehat{{{H}_{1}}}\]
Lại có \[\Delta IHE\] cân tại I nên \[\Rightarrow \widehat{{{E}_{2}}}=\widehat{{{H}_{2}}}\]
\[\Rightarrow \widehat{{{E}_{1}}}+\widehat{{{E}_{2}}}=\widehat{{{H}_{1}}}+\widehat{{{H}_{2}}}={{90}^{{}^\circ }}\]
Do đó EF là tiếp tuyến của đường tròn (I)
Tương tự, EF là tiếp tuyến của đường tròn (K)
e) Ta có: EF = AH ≤ OA (OA có độ dài không đổi)
Do đó EF lớn nhất khi AH = OA
<=> H trùng O hay dây AD đi qua O.
Vậy khi dây AD vuông góc với BC tại O thì EF có độ dài lớn nhất.
Bài 42 (trang 128 SGK Toán 9 Tập 1):
Lời giải:
a) MA và MB là các tiếp tuyến của (O) (gt).
Theo tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau, ta có:
MA = MB
MO là tia phân giác của góc AMB
ΔAMB cân tại M (MA = MB) mà có MO là đường phân giác nên đồng thời là đường cao
=> MO ⊥ AB hay ∠MEA = 90o
Tương tự ta có MO' là tia phân giác của góc AMC và ∠MFA = 90o
MO, MO' là tia phân giác của hai góc kề bù ∠AMB và ∠AMC nên ∠EMF = 90o
=> Tứ giác AEMF là hình chữ nhật (vì có ba góc vuông).
b) ME.MO = MA2 (hệ thức lượng trong ΔMAO vuông)
MF.MO' = MA2 (hệ thức lượng trong ΔMAO' vuông)
Suy ra ME.MO = MF.MO'
c) Đường tròn có đường kính BC có tâm M, bán kính MA.OO' vuông góc với MA tại A nên là tiếp tuyến của đường tròn (M).
d) Gọi I là trung điểm của OO', I là tâm của đường tròn có đường kính OO', IM là bán kính (vì MI là trung tuyến ứng với cạnh huyền của MOO'. IM là đường trung bình của hình thang OBCO' nên IM // OB // O'C. Do đó IM ⊥ BC.
BC vuông góc với IM tại M nên BC là tiếp tuyến của đường tròn (I).
Bài 43 (trang 128 SGK Toán 9 Tập 1):
Lời giải:
a) Kẻ OM ⊥ AD.
Theo tính chất đường kính vuông góc với một dây, ta có: MA = MC
Tương tự, kẻ O'N ⊥ AD => NA = ND.
Ta có:
\(\left. \begin{array}{*{35}{l}} OM\bot CD \\ IA\bot CD \\ {{O}^{\prime }}N\bot CD \\ \end{array} \right\}=>\text{OM}//\text{IA}//{{\text{O}}^{\prime }}\text{N}\)
Vậy tứ giác OMNO' là hình thang vuông.
Ta còn có: IO = IO' (gt) và IA // OM
Do đó IA là đường trung bình của hình thang OMNO'.
=> AM = AN hay 2AM = 2AN
Hay AC = CD (đpcm)
b) Ta có OO' là đường nối tâm của (O) và (O') nên OO' là đường trung trực của AB.
Suy ra IE ⊥ AB và EA = EB
Ta lại có IA = IK (do K là điểm đối xứng của A qua I).
Nên IE là đường trung bình của tam giác AKB.
Suy ra IE // KB
Mà IE ⊥ AB
Suy ra KB ⊥ AB (đpcm)
Trên đây là gợi ý giải bài tập Toán 9 bài Ôn tập chương II hình học do giáo viên Ican trực tiếp biên soạn theo chương trình mới nhất. Chúc bác bạn học tập vui vẻ.