ÔN TẬP CHƯƠNG III
A. LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM
1. Phương trình bậc nhất hai ẩn x, y là hệ thức có dạng: ax + by = c, trong đó a, b, c là các số đã biết (trong đó a ≠ 0 hoặc b ≠ 0 ).
* Trong phương trình ax + by = c, nếu giá trị của vế trái tại x = x0 và y =y0 bằng vế phải thì cặp số (x0; y0) được gọi là một nghiệm của phương trình.
Chú ý: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy mỗi nghiệm của phương trình ax + by = c được biểu diễn bởi một điểm. Nghiệm (x0; y0) được biểu diễn bởi điểm có tọa độ (x0; y0).
2. Cho hai phương trình bậc nhất hai ẩn là ax + by = c và a'x + b'y = c'. Khi đó ta có hệ phương trình bậc nhất hai ẩn là:
\(\left( I \right)\left\{ \begin{align} & ax+by=c \\ & a'x+b'y=c' \\ \end{align} \right.\) .
+ Nếu hai phương trình có nghiệm chung là (x0; y0) thì (x0; y0) được gọi là một nghiệm của hệ phương trình (I).
+ Nếu hai phương trình không có nghiệm chung thì hệ phương trình (I) vô nghiệm.
+ Giải hệ phương trình là tìm tất cả các nghiệm của nó.
Minh họa hình học tập nghiệm của hệ phương trình bậc nhất hai ẩn
Cho hai phương trình bậc nhất hai ẩn là ax + by = c và a'x + b'y = c'. Khi đó ta có hệ phương trình bậc nhất hai ẩn là: \((I) \left\{\begin{array}{l}a x+b y=c \\ a^{\prime} x+b^{\prime} y=c^{\prime}\end{array}\right.\)
Gọi (d) và (d') là đồ thị hàm số của 2 hàm số rút ra từ 2 phương trình bậc nhất hai ẩn của (I).
Đối với hệ phương trình (I), ta có:
Nếu (d) cắt (d') thì hệ (I) có một nghiệm duy nhất.
Nếu (d) song song với (d') thì hệ (I) vô nghiệm.
Nếu (d) trùng với (d') thì hệ (I) có vô số nghiệm.
3. Quy tắc thế dùng để biến đổi một hệ phương trình thành hệ phương trình tương đương. Quy tắc thế gồm hai bước sau:
+ Bước 1: Từ một phương trình của hệ đã cho (coi là phương trình thứ nhất), ta biểu diễn một ẩn theo ẩn kia rồi thế vào phương trình thứ hai để được một phương trình mới (chỉ còn một ẩn).
+ Bước 2: Dùng phương trình mới để thay thế cho phương trình thứ hai trong hệ (và giữ nguyên phương trình thứ nhất).
4. Quy tắc cộng đại số gồm hai bước:
+ Bước 1: Cộng hay trừ từng vế hai phương trình của hệ phương trình đã cho để được một phương trình mới.
+ Bước 2: Dùng phương trình mới ấy thay thế cho một trong hai phương trình của hệ (và giữ nguyên phương trình kia).
5. Các bước giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình:
+ Bước 1: Lập hệ phương trình:
* Chọn hai ẩn và đặt điều kiện thích hợp cho chúng.
* Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo các ẩn và các đại lượng đã biết.
* Lập hai phương trình biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng.
+ Bước 2: Giải hệ hai phương trình nói trên.
+ Bước 3: Trả lời: kiểm tra xem trong các nghiệm của hệ phương trình, nghiệm nào thích hợp với bài toán và kết luận .
B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP
I. Phương pháp giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn
2. Cách giải hệ phương trình bằng phương pháp thế
Bước 1: Từ một phương trình của hệ đã cho (coi là phương trình thức nhất), ta biểu diễn một ẩn theo ẩn kia rồi thế vào phương trình thứ hai để được một phương trình mới (chỉ còn một ẩn).
Bước 2: Dùng phương trình mới ấy để thay thế cho phương trình thức hai trong hệ (phương trình thứ nhất cũng thường được thay thế bởi hệ thức biểu diễn một ẩn theo ẩn kia có được ở bước 1).
Bước 3: Giải phương trình một ẩn vừa có, rồi suy ra nghiệm của hệ đã cho.
Bước 4: Kết luận.
3. Cách giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số cực hay
Bước 1: Nhân hai vế của mỗi phương trình với một số thích hợp( nếu cần) sao cho các hệ số của một ẩn nào đó( ẩn x hay y) trong hai phương trình của hệ bằng nhau hoặc đối nhau.
Bước 2: Cộng hay trừ từng vế hai phương trình của hệ phương trình đã cho để được một phương trình mới
Bước 3: Dùng phương trình mới ấy thay thế cho một trong hai phương trình của hệ (và giữ nguyên phương trình kia)
Bước 4: Giải phương trình một ẩn vừa thu được rồi suy ra nghiệm của hệ đã cho.
Bước 5: Kết luận
4. Cách giải hệ phương trình bằng phương pháp đặt ẩn phụ
Bước 1: Đặt điều kiện của phương trình.
Bước 2: Đặt ẩn phụ, điều kiện của ẩn phụ. Đưa hệ ban đầu về hệ mới.
Bước 3: Giải hệ mới tìm ẩn phụ.
Bước 4: Thay giá trị vào ẩn phụ tìm x và y.
Bước 5: Kết luận.
II. Cách giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình cực hay, có lời giải
1. Phương pháp giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình
Bước 1: Lập hệ phương trình:
Đặt ẩn và tìm điều kiện của ẩn (nếu có).
Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo ẩn và các đại lượng đã biết.
Lập hệ phương trình biểu diễn tương quan giữa các đại lượng.
Bước 2: Giải hệ phương trình.
Bước 3: So sánh với điều kiện và kết luận.
2. Cách giải bài toán năng suất công việc
Phương pháp giải:
Bước 1: Lập hệ phương trình:
Đặt ẩn và tìm điều kiện của ẩn (nếu có).
Biểu diễn cácđại lượng chưa biết theo ẩn và các đại lượng đã biết.
Lập hệ phương trình biểu diễn tương quan giữa các đại lượng.
Bước 2: Giải hệ phương trình.
Bước 3: So sánh với điều kiện và kết luận.
3. Cách giải bài toán cấu tạo số
Bước 1: Lập hệ phương trình:
Đặt ẩn và tìm điều kiện của ẩn (nếu có).
Biểu diễn cácđại lượng chưa biết theo ẩn và các đại lượng đã biết.
Lập hệ phương trình biểu diễn tương quan giữa các đại lượng.
Bước 2: Giải hệ phương trình.
Bước 3: So sánh với điều kiện và kết luận.
4. Cách giải bài thực tế
Bước 1: Lập hệ phương trình:
Đặt ẩn và tìm điều kiện của ẩn (nếu có).
Biểu diễn cácđại lượng chưa biết theo ẩn và các đại lượng đã biết.
Lập hệ phương trình biểu diễn tương quan giữa các đại lượng.
Bước 2: Giải hệ phương trình.
Bước 3: So sánh với điều kiện và kết luận.
5. Cách giải bài toán chuyển động
C. GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA
Bài 40 (trang 27 SGK Toán 9 Tập 2):
a) \(\left\{\begin{array}{l}2 x+5 y=2 \\ \frac{2}{5} x+y=1\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}2 x+5 y=2 \\ 2 x+5 y=5\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}0 x+0 y=3 \\ 2 x+5 y=5\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}0=3 \\ 2 x+5 y=5\end{array}\right.\right.\right.\right.\) (Vô lý)
b) \(\left\{\begin{array}{l}0,2 x+0,1 y=0,3 \\ 3 x+y=5\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}2 x+y=3 \\ 3 x+y=5\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}x=2 \\ 3 x+y=5\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}x=2 \\ 3.2+y=5\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}x=2 \\ y=-1\end{array}\right.\right.\right.\right.\right.\)
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất là \[ \left( 2;-1 \right). \]
c) \(\left\{\begin{array}{l}\frac{3}{2} x-y=\frac{1}{2} \\ 3 x-2 y=1\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}3 x-2 y=1 \\ 3 x-2 y=1\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}0 x-0 y=0 \\ 3 x-2 y=1\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}0=0 \\ 3 x-2 y=1\end{array}\right.\right.\right.\right.\);
Vậy hệ phương trình đã cho có vô số nghiệm.
Bài 41 (trang 27 SGK Toán 9 Tập 2):
\(\left\{\begin{array}{l}x \sqrt{5}-(1+\sqrt{3}) y=1 \\ (1-\sqrt{3}) x+y \sqrt{5}=1\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}x \sqrt{5}-(1+\sqrt{3}) y=1 \\ y=\frac{1-(1-\sqrt{3}) x}{\sqrt{5}}\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}x \sqrt{5}-(1+\sqrt{3}) \cdot \frac{1-(1-\sqrt{3}) x}{\sqrt{5}}=1 \\ y=\frac{1-(1-\sqrt{3}) x}{\sqrt{5}}\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}x \sqrt{5}-\frac{1+\sqrt{3}}{\sqrt{5}}-\frac{2}{\sqrt{5}} x=1 \\ y=\frac{1-(1-\sqrt{3}) x}{\sqrt{5}}\end{array}\right.\right.\right.\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}\frac{3}{\sqrt{5}} x=\frac{1+\sqrt{3}}{\sqrt{5}} \\ y=\frac{1-(1-\sqrt{3}) x}{\sqrt{5}}\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}x=\frac{1+\sqrt{3}+\sqrt{5}}{3} \\ y=\frac{1-(1-\sqrt{3}) x}{\sqrt{5}}\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}x=\frac{1+\sqrt{3}+\sqrt{5}}{3} \\ y=\frac{5-\sqrt{5}+\sqrt{15}}{3 \sqrt{5}}\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}x=\frac{1+\sqrt{3}+\sqrt{5}}{3} \\ y=\frac{-1+\sqrt{3}+\sqrt{5}}{3}\end{array}\right.\right.\right.\right.\)
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất \[ \left( \frac{1+\sqrt{3}+\sqrt{5}}{3};\frac{-1+\sqrt{3}+\sqrt{5}}{3} \right) \] .
b) \((I) \left\{\begin{array}{l}\frac{2 x}{x+1}+\frac{y}{y+1}=\sqrt{2} \\ \frac{x}{x+1}+\frac{3 y}{y+1}=-1\end{array}\right.\)
Đặt \[ a=\frac{2x}{x+1};b=\frac{y}{y+1} \] , ta có :
\(\left\{\begin{array}{l}2 a+b=\sqrt{2} \\ a+3 b=-1\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}6 a+3 b=3 \sqrt{2} \\ a+3 b=-1\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}5 a=3 \sqrt{2}+1 \\ a+3 b=-1\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}a=\frac{3 \sqrt{2}+1}{5} \\ a+3 b=-1\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}a=\frac{3 \sqrt{2}+1}{5} \\ b=\frac{-3 \sqrt{2}-1}{15}\end{array}\right.\right.\right.\right.\right.\)
\(\Rightarrow\left\{\begin{array}{l}\frac{2 x}{x+1}=\frac{3 \sqrt{2}+1}{5} \\ \frac{y}{y+1}=\frac{-3 \sqrt{2}-1}{15}\end{array}\right.\)
Bài 42 (trang 27 SGK Toán 9 Tập 2):
Hệ phương trình \( \left( I \right)\left\{ \begin{align} & 2x-y=m \\ & 4x-{{m}^{2}}y=2\sqrt{2} \\ \end{align} \right.\) ;
a) Thay \[ m=-\sqrt{2} \] vào hệ phương trình \[ \left( I \right), \] ta được:
\((I) \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}2 x-y=-\sqrt{2} \\ 4 x-2 y=2 \sqrt{2}\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}4 x-2 y=-2 \sqrt{2} \\ 4 x-2 y=2 \sqrt{2}\end{array}\right.\right.\)
Vậy hệ phương trình vô nghiệm.
b) Thay \[ m=\sqrt{2} \] vào hệ phương trình \[ \left( I \right), \] ta được:
\((I) \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}2 x-y=\sqrt{2} \\ 4 x-2 y=2 \sqrt{2}\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}4 x-2 y=2 \sqrt{2} \\ 4 x-2 y=2 \sqrt{2}\end{array}\right.\right.\)
Vậy hệ phương trình có vô số nghiệm.
c) Thay \[ m=1 \] vào hệ phương trình \[ \left( I \right), \] ta được:
\((I) \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}2 x-y=1 \\ 4 x-y=2 \sqrt{2}\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}4 x-2 y=1 \\ 4 x-y=2 \sqrt{2}\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}4 x-2 y=1 \\ y=2 \sqrt{2}-1\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}x=\frac{4 \sqrt{2}-1}{4} \\ y=2 \sqrt{2}-1\end{array}\right.\right.\right.\right.\)
Vậy hệ phương trình có một nghiệm duy nhất \[ \left( \frac{4\sqrt{2}-1}{4};2\sqrt{2}-1 \right) \] .
Bài 43 (trang 27 SGK Toán 9 Tập 2):
Gọi vận tốc của người xuất phát từ \[ A \] là \[x\left( x>0 \right)\] (km/h);
Và vận tốc của người xuất phát từ \[ B \] là \[y\left( x>y>0 \right)\] (km/h).
Hai người gặp nhau ở một địa điểm cách \[ B \] : \[ 3,6-2=1,6 \] (km).
Thời gian người đi từ \[ A \] đến chỗ gặp nhau là: \[ \frac{2}{x} \] (h);
Thời gian người đi từ \[ B \] đến chỗ gặp nhau là: \[ \frac{1,6}{y} \] (h);
Vì hai người xuất phát cùng lúc nên ta có phương trình: \[ \frac{2}{x}=\frac{1,6}{y}\left( 1 \right) \] .
Hai người gặp nhau tại một điểm chính giữa quãng đường là \[ 3,6:2=1,8 \] (km)
Thời gian người đi từ \[ A \] đến chỗ gặp nhau là: \[ \frac{1,8}{x} \] (h);
Thời gian người đi từ \[ B \] đến chỗ gặp nhau là: \[ \frac{1,8}{y} \] (h);
Đổi 6 phút = \[ \frac{1}{10} \] giờ ;
Vì người từ \[ B \] xuất phát trước người từ \[ A \] \[ \frac{1}{10} \] giờ nên ta có phương trình: \[ \frac{1,8}{y}-\frac{1,8}{x}=\frac{1}{10}\left( 2 \right) \] .
Từ \[ \left( 1 \right),\left( 2 \right) \] ta có hệ phương trình: \((I) \left\{\begin{array}{l}\frac{2}{x}=\frac{1,6}{y} \\ \frac{1,8}{y}-\frac{1,8}{x}=\frac{1}{10}\end{array}\right.\)
Đặt \[ a=\frac{1}{x},b=\frac{1}{y}. \] Khi đó
\(\left\{\begin{array}{l}2 a=1,6 b \\ 1,8 b-1,8 a=\frac{1}{10}\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}5 a-4 b=0 \\ 18 b-18 a=1\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}45 a-36 b=0 \\ 36 b-36 a=2\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}a=\frac{2}{9} \\ 36 b-36 a=2\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}a=\frac{2}{9} \\ 36 b-36 \cdot \frac{2}{9}=2\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}a=\frac{2}{9} \\ b=\frac{5}{18}\end{array}\right.\right.\right.\right.\right.\right.\)
\(\Rightarrow\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{x}=\frac{2}{9} \\ \frac{1}{y}=\frac{5}{18}\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}x=\frac{9}{2} \\ y=\frac{18}{5}\end{array}\right.\right.\)
Vậy người đi từ vận tốc của người xuất phát từ \[ A \] và \[ B \] lần lượt là \[ \frac{9}{2} \] và \[ \frac{18}{5}. \]
Bài 44 (trang 27 SGK Toán 9 Tập 2):
Gọi số gam kẽm và số gam đồng trong vật đó lần lượt là \[ x,y\left( 0
Vật đó có khối lượng 124g: \[ x+y=124\left( 1 \right); \]
Cứ 89 g đồng có thể tích là 10 \[ c{{m}^{3}} \] , như vậy thể tích của đồng trong vật là : \[ \frac{10x}{89}\left( c{{m}^{3}} \right); \]
Cứ 7 g kẽm có thể tích là 1 \[ c{{m}^{3}} \] , như vậy thể tích của kẽm trong vật là: \[ \frac{y}{7}\left( c{{m}^{3}} \right); \]
Vật đó có thể tích 15 \[ c{{m}^{3}} \] là hợp kim của đồng và kẽm: \[ \frac{10x}{89}+\frac{y}{7}=15\left( 2 \right); \]
Từ \[ \left( 1 \right),\left( 2 \right) \] ta có hệ phương trình:
\(\left\{\begin{array}{l}x+y=124 \\ \frac{10 x}{89}+\frac{y}{7}=15\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}x+y=124 \\ 70 x+89 y=9345\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}70 x+70 y=8680 \\ 70 x+89 y=9345\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}70 x+70 y=8680 \\ y=35\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}x=89 \\ y=35\end{array}\right.\right.\right.\right.\right.\)
Vậy số gam kẽm và số gam đồng trong vật đó lần lượt là \[ 89,35\left( g \right). \]
Bài 45 (trang 27 SGK Toán 9 Tập 2):
Gọi thời gian làm một mình của đội I và II lần lượt là \[ x,y\left( x,y>12 \right) \] (công việc/ngày).
Một ngày đội I làm được: \[ \frac{1}{x} \] (phần công việc)
Một ngày đội II làm được: \[ \frac{1}{y} \] (phần công việc)
Một ngày hai đội làm được: \[ \frac{1}{12} \] (phần công việc)
Khi đó, ta có phương trình : \[ \frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{12}\left( 1 \right); \]
Trong 8 ngày làm chung đội I làm được: \[ \frac{8}{x} \] (phần công việc) và đội II làm được \[ \frac{8}{y} \] (phần công việc).
Đội II tăng năng suất lên gấp đôi : \[ \frac{2}{y} \] (phần công việc),
Trong 3,5 ngày tăng năng suất đội II làm được : \[ \frac{3,5.2}{y}=\frac{7}{y} \] (phần công việc)
Theo đầu bài, ta có phương trình: \[ \frac{8}{x}+\frac{8}{y}+\frac{7}{y}=1\left( 2 \right); \]
Từ \[ \left( 1 \right),\left( 2 \right) \] ta có hệ phương trình: \(I)\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{12} \\ \frac{8}{x}+\frac{8}{y}+\frac{7}{y}=1\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{12} \\ \frac{8}{x}+\frac{15}{y}=1\end{array}\right.\right.\)
Đặt \[ a=\frac{1}{x},b=\frac{1}{y}. \] Khi đó
\((I) \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}a+b=\frac{1}{12} \\ 8 a+15 b=1\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}8 a+8 b=\frac{2}{3} \\ 8 a+15 b=1\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}8 a+8 b=\frac{2}{3} \\ b=\frac{1}{21}\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}8 a+8 b=\frac{2}{3} \\ b=\frac{1}{21}\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}a=\frac{1}{28} \\ b=\frac{1}{21}\end{array}\right.\right.\right.\right.\right.\)
\(\Rightarrow\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{x}=\frac{1}{28} \\ \frac{1}{y}=\frac{1}{21}\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}x=28 \\ y=21\end{array}\right.\right.\)
Vậy thời gian làm một mình của đội I và II lần lượt là 28,21 (phần công việc).
Bài 46 (trang 27 SGK Toán 9 Tập 2):
Gọi số tấn thóc đơn vị thứ nhất và đơn vị thứ hai của năm ngoái lần lượt là \[ x,y\left( 0 (tấn).
Năm ngoái hai đơn vị sản xuất thu được 720 tấn: \[ x+y=720\left( 1 \right); \]
Năm nạy, đơn vị thứ nhất vượt mức 15% : \[ x+15%x=1,15x \] (tấn) ;
Năm nạy, đơn vị thứ hai vượt mức 12% : \[ y+12%y=1,12y \] (tấn) ;
Do đó cả hai đơn vị thu hoạch được 819 tấn thóc: \[ 1,15x+1,12y=819\left( 2 \right); \]
Từ \[ \left( 1 \right),\left( 2 \right) \] ta có hệ phương trình:
\(\left\{\begin{array}{l}x+y=720 \\ 1,15 x+1,12 y=819\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}x=720-y \\ 1,15 x+1,12 y=819\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}x=720-y \\ 1,15 \cdot(720-y)+1,12 y=819\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}x=720-y \\ y=300\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}x=420 \\ y=300\end{array}\right.\right.\right.\right.\right.\)
Vậy số tấn thóc đơn vị thứ nhất và đơn vị thứ hai của năm ngoái lần lượt là 420 và 300 (tấn).
Gợi ý Giải bài tập sách giáo khoa ôn tập chương 3 toán học 9, toán 9 đại số lý thuyết trọng tâm giúp học sinh nắm vững kiến thức chính xác nhất