ÔN TẬP CHƯƠNG 2. HÀM SỐ BẬC NHẤT
I. LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM
1. Hàm số
+ Nếu đại lượng \(y\) phụ thuộc vào đại lượng \(x\) sao cho với mỗi giá trị của \(x\) ta luôn xác định được chỉ một giá trị tương ứng của \(y\) thì \(y\) được gọi là hàm số của \(x\) và \(x\) được gọi là biến số.
+ Hàm số thường được cho bằng bảng hoặc bằng công thức.
+ Tập hợp tất cả các điểm biểu diễn các tập giá trị tương ứng \(\left( {x;{\rm{ }}f\left( x \right)} \right)\; \)trên mặt phẳng tọa độ \(Oxy\) được gọi là đồ thị của hàm số.
+ Tính đồng biến và nghịch biến của hàm số:
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) xác định với mọi giá trị với bất kì thuộc \(D:\)
+) Nếu \({x_1} < {x_2}\) mà \(f({x_1}) < f({x_2})\) thì hàm số đồng biến trên \(D.\)
+) Nếu \({x_1} < {x_2}\) mà \(f({x_1}) > f({x_2})\) thì hàm số nghịch biến trên \(D.\)
2. Hàm số bậc nhất
+ Hàm số bậc nhất là hàm số được cho bởi công thức \(y{\rm{ }} = {\rm{ }}ax{\rm{ }} + {\rm{ }}b\) trong đó \(a,b\) là các số cho trước và \(a \ne 0\).
+ Hàm số bậc nhất xác định với mọi giá trị và:
- Đồng biến trên \(\mathbb{R}\) khi \(a > 0. \)
- Nghịch biến trên \(\mathbb{R}\) khi \(a < 0.\)
+ Đồ thị của hàm số bậc nhất \(y = ax + b{\rm{ }}(a \ne 0)\) là một đường thẳng và \(a\) là hệ số góc của đường thẳng.
+ Cho hai đường thẳng \(y = {a_1}x + {b_1}({a_1} \ne 0);y = {a_2}x + {b_2}({a_2} \ne 0)\):
Ta có
+) \({d_1};{d_2}\) song song \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a_1} = {a_2}\\{b_1} \ne {b_2}\end{array} \right.\).
+) \({d_1};{d_2}\) trùng nhau \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a_1} = {a_2}\\{b_1} = {b_2}\end{array} \right.\).
+) \({d_1};{d_2}\) cắt nhau \( \Leftrightarrow {a_1} \ne {a_2}\).
+) \({d_1};{d_2}\) vuông góc với nhau \( \Leftrightarrow {a_1}.{a_2} = - 1\).
II. PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP
Dạng 1: Nhận dạng hàm số bậc nhất
Phương pháp:
Hàm số bậc nhất là hàm số có dạng \[ y=ax+b(a\ne 0) \]
Dạng 2: Tìm m để hàm số đồng biến, nghịch biến
Phương pháp:
Ta có hàm số bậc nhất \[ y=ax+b(a\ne 0) \]
+ Đồng biến trên R khi a > 0
+ Nghịch biến trên R khi a < 0
Dạng 3: Vẽ và nhận dạng đồ thị hàm số
Phương pháp: Các em dựa vào đặc điểm và cách vẽ đã nêu ở phần Lý thuyết trọng tâm
Dạng 4: Tìm tọa độ giao điểm của hai đường thẳng
Phương pháp:
Bước 1. Xét phương trình hoành độ giao điểm của hai đường thẳng đó để tìm hoành độ giao điểm.
Bước 2. Thay hoành độ giao điểm vừa tìm được vào một trong hai phương trình đường thẳng ta tìm được tung độ giao điểm.
Dạng 5: Xác định hệ số a,b để đồ thị hàm số bậc nhất cắt trục Ox, Oy hay đi qua một điểm nào đó.
Phương pháp:
Ta sử dụng kiến thức: Đồ thị hàm số y = ax + b (a ≠ 0) đi qua điểm \[ M({{x}_{0}};{{y}_{0}}) \] khi và chỉ khi \[{{y}_{0}}=a{{x}_{0}}+b\] .
Dạng 6: Tính đồng quy của ba đường thẳng
Phương pháp:
Để xét tính đồng quy của ba đường thẳng cho trước, ta thực hiện các bước sau
Bước 1. Tìm tọa độ giao điểm của hai đường thẳng trong ba đường thẳng đã cho.
Bước 2. Kiểm tra xem nếu giao điểm vừa tìm được thuộc đường thằng còn lại thì kết luận ba đường thẳng đó đồng quy.
Dạng 7: Chỉ ra vị trí tương đối của hai đường thẳng cho trước. Tìm tham số để các đường thẳng thỏa mãn vị trí tương đối cho trước.
Cho 2 đường thẳng y = ax + b (a ≠ 0) và y = a'x + b' (a' ≠ 0)
+) d // d’ khi và chỉ khi a = a’ và b ≠ b’.
+) d cắt d’ khi và chỉ khi a ≠ a’.
+) d trùng d’ khi và chỉ khi a = a’ và b = b’.
Dạng 8: Viết phương trình đường thẳng
Phương pháp:
Sử dụng vị trí tương đối của hai đường thẳng để xác định hệ số.
Dạng 9: Tìm điểm cố định mà đường thẳng luôn đi qua với mọi tham số
Phương pháp:
Gọi M(x;y) là điểm cần tìm khi đó tọa độ điểm M thỏa mãn phương trình đường thẳng d..
Đưa phương trình đường thẳng d về phương trình bậc nhất ẩn m.
Từ đó để phương trình bậc nhất ax+b=0luôn đúng thì a=b=0
Giải điều kiện ta tìm được x,y.
Khi đó M(x;y)là điểm cố định cần tìm.
Dạng 10: Tính góc tạo bởi tia Ox và đường thẳng d.
Phương pháp:
Gọi \[ \alpha \] là góc tạo bởi tia Ox và d.
+ Nếu \[ \alpha <{{90}^{o}} \] thì a > 0 và \[ a=\tan \alpha \] .
+ Nếu \[ \alpha >{{90}^{o}} \] thì a < 0 và \[ a=-\tan ({{180}^{o}}-\alpha ) \]
Dạng 11: Viết phương trình đường thẳng hoặc tìm tham số m khi biết hệ số góc
Phương pháp:
Gọi phương trình đường thẳng cần tìm là y = ax + b (a ≠ 0)..
Dựa vào lý thuyết về hệ số góc để tìm a. Từ đó, sử dụng dữ kiện còn lại của đề bài để tìm b.
III. GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA
Bài 32 (trang 61 SGK Toán 9 Tập 1):
Lời giải:
a) Hàm số y = (m – 1)x + 3 là hàm số bậc nhất đối với x khi m – 1 ≠ 0 hay m ≠ 1 (*)
Hàm số đồng biến khi m – 1 > 0 hay m > 1.
Kết hợp với điều kiện (*) ta được với m > 1 thì hàm số đồng biến.
b) Hàm số y = (5 – k)x + 1 là hàm số bậc nhất đối với x khi 5 – k ≠ 0 hay k ≠ 5 (**).
Hàm số nghịch biến khi 5 – k < 0 hay k > 5.
Kết hợp với điều kiện (**) ta được với k > 5 thì hàm số nghịch biến.
Bài 33 (trang 61 SGK Toán 9 Tập 1):
Lời giải:
Đồ thị hai hàm số y = 2x + (3 + m) và y = 3x + (5 – m) cắt nhau tại một điểm trên trục tung nên ta thay hoành độ x = 0 vào hàm số y = 2x + (3 + m) ta được tung độ: y = 3 + m
hàm số y = 3x + (5 – m) ta được tung độ: y = 5 – m
Vì cùng là tung độ của giao điểm nên:
3 + m = 5 – m => m = 1
Vậy khi m = 1 thì hai đường thẳng đã cho cắt nhau tại một điểm trên trục tung.
Bài 34 (trang 61 SGK Toán 9 Tập 1):
Lời giải:
Theo đề bài ta có b ≠ b' (vì 2 ≠ 1)
Nên hai đường thẳng y = (a – 1)x + 2 và y = (3 – a)x + 1 song song với nhau khi và chỉ khi:
a – 1 = 3 – a
=> a = 2 (thỏa mãn a ≠ 1 và a ≠ 3)
Vậy với a = 2 thì hai đường thẳng song song với nhau.
Bài 35 (trang 61 SGK Toán 9 Tập 1):
Lời giải:
Hai đường thẳng y = kx + (m – 2) và y = (5 – k)x + (4 – m) trùng nhau khi và chỉ khi:
k = 5 – k (1) và m – 2 = 4 – m (2)
Từ (1) suy ra k = 2,5 (thỏa mãn điều kiện k ≠ 0 và k ≠ 5)
Từ (2) suy ra m = 3
Vậy với k = 2,5 và m = 3 thì hai đường thẳng trùng nhau.
Bài 36 (trang 61 SGK Toán 9 Tập 1):
Lời giải:
Hàm số y = ( k + 1)x + 3 có các hệ số a = k + 1, b = 3
Hàm số y = (3 – 2k)x + 1 có các hệ số a' = 3 - 2k, b' = 1
Hai hàm số là hàm số bậc nhất nên a và a' khác 0, tức là:
\[ \text{k}+1\ne 0;3-2\text{k}\ne 0\,\,hay\,\,\text{k}\ne -1;\text{k}\ne \frac{3}{2}(*) \]
a) Theo đề bài ta có b ≠ b' (vì 3 ≠ 1)
Nên hai đường thẳng y = (k + 1)x + 3 và y = (3 – 2k)x + 1 song song với nhau khi a = a'
tức là: k + 1 = 3 – 2k \[ \Rightarrow \text{k}=\frac{2}{3} \] (tmđk (*))
b) Hai đường thẳng y = (k + 1)x + 3 và y = (3 – 2k)x + 1 là hàm số bậc nhất nên a ≠ 0 và a' ≠ 0. Hai đường thẳng này cắt nhau khi a ≠ a' tức là:
\( \left\{ \begin{array}{*{35}{l}} k+1\ne 0 \\ 3-2k\ne 0 \\ k+1\ne 3-2k \\ \end{array}\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}} k\ne -1 \\ 2k\ne 3 \\ 3k\ne 2 \\ \end{array}\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}} k\ne -1 \\ k\ne \frac{3}{2} \\ k\ne \frac{2}{3} \\ \end{array} \right. \right. \right. \)
Vậy với \[ k\ne -1;k\ne \frac{3}{2};k\ne \frac{2}{3} \] thì đồ thị của hai hàm số trên là hai đường thẳng cắt nhau.
c) Do b ≠ b' (vì 3 ≠ 1) nên hai đường thẳng không thể trùng nhau với mọi giá trị k.
Bài 37 (trang 61, 62 SGK Toán 9 Tập 1):
Lời giải:
a) - Vẽ đồ thị hàm số y = 0,5x + 2 (1)
Cho x = 0 => y = 2 được D(0; 2)
Cho y = 0 => 0 = 0,5.x + 2 => x = -4 được A(-4; 0)
Nối A, D ta được đồ thị của (1).
- Vẽ đồ thị hàm số y = 5 – 2x (2)
Cho x = 0 => y = 5 được E(0; 5)
Cho y = 0 =>0 = 5 – 2x => x = 2,5 được B(2,5; 0)
Nối B, E ta được đồ thị của (2).
b) Ở câu a) ta tính được tọa độ của hai điểm A và B là A(-4 ; 0) và B (2,5 ; 0)
Hoành độ giao điểm C của hai đồ thị (1) và (2) là nghiệm của phương trình:
0,5 x + 2 = 5 - 2x
⇔ 0,5x + 2x = 5 – 2
⇔ 2,5.x = 3 ⇔ x = 1,2
⇒ y = 0,5.1,2 + 2 = 2, 6
Vậy tọa độ điểm C(1,2; 2,6).
c) AB = AO + OB = |-4| + |2,5| = 6,5 (cm)
Gọi H là hình chiếu của C trên Ox, ta có H( 1,2; 0)
Ta có: AH = AO + OH = 4 + 1,2 = 5,2
BH = BO – OH = 2,5 – 1,2 = 1,3
CH = 2,6
\[\text{AC}=\sqrt{\text{A}{{\text{H}}^{2}}+\text{C}{{\text{H}}^{2}}}=\sqrt{5,{{2}^{2}}+2,{{6}^{2}}}=\sqrt{33,8}\approx 5,81(~\text{cm})\]
\[\text{BC}=\sqrt{\text{B}{{\text{H}}^{2}}+\text{C}{{\text{H}}^{2}}}=\sqrt{1,{{3}^{2}}+2,{{6}^{2}}}=\sqrt{8,45}\approx 2,91(~\text{cm})\]
d) Gọi α là góc hợp bởi đường thẳng y = 0,5x + 2 với tia Ox.
Ta có: tgα = 0,5 => α = 26o34'
Gọi β là góc hợp bởi đường thẳng y = 5 - 2x với tia Ox
Tam giác OEB vuông tại O nên:
\[ \tan \widehat{EBO}=\frac{EO}{OB}=\frac{5}{2,5}=2\Rightarrow \widehat{EBO}\approx {{63}^{{}^\circ }}{{26}^{\prime }} \]
Hai góc \[ \widehat{EBO};\beta \] là hai góc kề bù nên \[ \beta ={{180}^{{}^\circ }}-\widehat{EBO}={{116}^{{}^\circ }}{{34}^{\prime }} \]
Bài 38 (trang 62 SGK Toán 9 Tập 1):
Lời giải:
a) – Vẽ đồ thị y = 2x (1):
Cho x= 0 ⇒ y= 0 ta được O (0, 0)
Cho x= 2 ⇒ y = 4 ta được điểm (2; 4)
- Vẽ đồ thị y = 0,5x (2):
Cho x= 0 ⇒ y = 0 ta được O (0; 0)
Cho x = 4 ⇒ y = 2 ta được điểm (4; 2)
- Vẽ đồ thị y = -x + 6 (3):
Cho x = 0 ⇒ y = 6 được điểm (0; 6)
Cho y = 0 ⇒ x = 6 được điểm (6; 0)
b) Theo đề bài A, B theo thứ tự là giao điểm của đường thẳng (3) với các đường thẳng (1) và (2), nên ta có:
Hoành độ giao điểm của A là nghiệm của phương trình:
- x + 6 = 2x ⇒ x = 2
=> y = 4 => A(2; 4)
Hoành độ giao điểm của B là nghiệm của phương trình:
- x + 6 = 0,5x ⇒ x = 4
⇒ y = 2 ⇒ B(4; 2)
c) Ta có:
\[ O{{A}^{2}}={{2}^{2}}+{{4}^{2}}=20\Rightarrow OA=\sqrt{20} \]
\[ O{{B}^{2}}={{4}^{2}}+{{2}^{2}}=20\Rightarrow OB=\sqrt{20} \]
Suy ra OA=OB. Do đó tam giác OAB cân tại O.
\[ \Rightarrow \widehat{OAB}=\widehat{OBA} \] (1)
Ta có:
\[ \tan \widehat{AOx}=\frac{4}{2}=2\Rightarrow \widehat{AOx}\approx {{63}^{{}^\circ }}{{26}^{\prime }} \]
\[ \tan \widehat{BOx}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}\Rightarrow \widehat{BOx}\approx {{26}^{0}}{{34}^{\prime }} \]
Do OB nằm giữa Ox và OA nên ta có:
\[ \widehat{BOx}+\widehat{BOA}=\widehat{AOx}\Rightarrow \widehat{BOA}=\widehat{AOx}-\widehat{BOx}={{36}^{0}}{{52}^{\prime }} \]
Xét tam giác OAB có:
\[ \widehat{AOB}+\widehat{OAB}+\widehat{ABO}={{180}^{{}^\circ }} \]
\[ \Rightarrow {{36}^{0}}{{52}^{\prime }}+2.\widehat{OAB}={{180}^{{}^\circ }}\Leftrightarrow \widehat{OAB}=\frac{{{180}^{0}}-{{36}^{0}}{{52}^{\prime }}}{2}={{71}^{0}}{{34}^{\prime }} \]
Gợi ý Giải bài tập sách giáo khoa ôn tập chương 2 toán học 9, toán 9 đại số lý thuyết trọng tâm giúp học sinh nắm vững kiến thức nhanh nhất