GÓC Ở TÂM. SỐ ĐO CUNG
A. LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM
a. Góc ở tâm
- Góc có đỉnh trùng với tâm đường tròn được gọi là góc ở tâm.
Ví dụ: \(\widehat {AOB}\) là góc ở tâm (hình \(1\) ).
- Nếu \({0^0} < \alpha < {180^0}\) thì cung nằm bên trong góc được gọi là cung nhỏ, cung nằm bên ngoài góc được gọi là cung lớn.
- Nếu \(\alpha = {180^0}\) thì mỗi cung là một nửa đường tròn.
- Cung nằm bên trong góc được gọi là cung bị chắn. Góc bẹt chắn nửa đường tròn.
b. Số đo cung
- Số đo của cung nhỏ bằng số đo của góc ở tâm chắn cung đó.
Ví dụ: \(\widehat {AOB} = \) số đo cung \(AB\) (góc ở tâm chắn cung \(AB\)) (hình 1)
- Số đo của cung lớn bằng hiệu giữa \({360^0}\) và số đo của cung nhỏ (có chung \(2\) mút với cung lớn).
- Số đo của nửa đường tròn bằng \({180^0}\) . Cả đường tròn có số đo \({360^0}.\) Cung không có số đo \({0^0}\) (cung có \(2\) mút trùng nhau).
c. So sánh hai cung
Trong một đường tròn hay hai đường tròn bằng nhau:
- Hai cung được gọi là bằng nhau nếu chúng có số đo bằng nhau.
- Trong hai cung, cung nào có số đo lớn hơn được gọi là cung lớn hơn.
d. Định lý
Nếu \(C\) là một điểm nằm trên cung \(AB\) thì
sđ \(\overparen{AB}= \) sđ \(\overparen{AC} +\) sđ \(\overparen{CB}\).
B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP
Tính số đo của góc ở tâm, tính số đo của cung bị chắn. So sánh các cung.
Phương pháp:
Ta sử dụng các kiến thức sau:
- Số đo cung nhỏ bằng số đo của góc ở tâm chắn cung đó
- Số đo của cung lớn bằng hiệu giữa \({360^0}\) và số đo của cung nhỏ (có chung hai đầu mút với cung lớn).
- Số đo của nửa đường tròn bằng \({180^0}.\) Cung cả đường tròn có số đo \({360^0}.\)
- Sử dụng tỉ số lượng giác của một góc nhọn để tính góc.
- Sử dụng quan hệ đường kính và dây cung
C. GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA
Bài 1.(trang 68 SGK Toán 9 tập 2)
a) Đồng hồ chỉ 3 giờ
Kim giờ và kim phút tạo thành một góc ở tâm có số đo \[90{}^\circ .\]
b) Đồng hồ chỉ 5 giờ
Kim giờ và kim phút tạo thành một góc ở tâm có số đo \[150{}^\circ .\]
c) Đồng hồ chỉ 6 giờ
Kim giờ và kim phút tạo thành một góc ở tâm có số đo \[180{}^\circ .\]
d) Đồng hồ chỉ 12 giờ
Kim giờ và kim phút tạo thành một góc ở tâm có số đo \[0{}^\circ .\]
e) Đồng hồ chỉ 20 giờ
Kim giờ và kim phút tạo thành một góc ở tâm có số đo \[60{}^\circ .\]
Bài 2.(trang 69 SGK Toán 9 tập 2)
Ta có: \[\widehat{xOs}=\widehat{yOt}=40{}^\circ \] (hai góc đối đỉnh)
Hai góc \[\widehat{xOt};\widehat{yOt}\] là hai góc kề bù nên ta có: \[\widehat{xOt}+\widehat{yOt}=180{}^\circ \]
Ta có: \[\widehat{xOy}=\widehat{sOt}=180{}^\circ \]
\[\widehat{xOt}=\widehat{yOt}=180{}^\circ -40{}^\circ =140{}^\circ \] (hai góc đối đỉnh).
Bài 3.(trang 69 SGK Toán 9 tập 2)
Hình 5:
Ta có sđ \[\overset\frown{AmB}\] = sđ \[\widehat{AOB}\] = \[{{100}^{\circ }}\] ;
Ta có sđ \[\overset\frown{AmB}\] = \[360{}^\circ -100{}^\circ =160{}^\circ \] ;
Hình 6:
Ta có sđ \[\overset\frown{AmB}\] = sđ \[\widehat{AOB}\] = \[{{100}^{\circ }}\] ;
Ta có sđ \[\overset\frown{AmB}\] = \[360{}^\circ -100{}^\circ =160{}^\circ \] ;
Bài 4.(trang 69 SGK Toán 9 tập 2)
Xét \[\Delta AOB\] vuông tại \[O,\] ta có:
\[OA=AT\Rightarrow \Delta OAT\] vuông cân tại \[O,\]
\[\Rightarrow \widehat{AOT}=\widehat{ATO}=45{}^\circ .\]
Sđ \[\overset\frown{AB}\] nhỏ = \[\widehat{AOB}=\widehat{AOT}=45{}^\circ .\]
Khi đó, sđ \[\overset\frown{AB}\] lớn = \[360{}^\circ -45{}^\circ =315{}^\circ .\]
Vậy số đo góc ở tâm \[\widehat{AOB}=45{}^\circ \] và số đo cung lớn \[\overset\frown{AB}\] là \[315{}^\circ .\]
Bài 5.(trang 69 SGK Toán 9 tập 2)
a) Xét tứ giác \[OAMB\] , có:
\(\begin{align} & \widehat{OAB}+\widehat{OBA}+\widehat{AMB}+\widehat{AOB}=360{}^\circ \\ & 90{}^\circ \text{ }+\text{ }90{}^\circ \text{ }+\text{ }35{}^\circ \text{ }+\widehat{AOB}=360{}^\circ \\ & \text{ }\widehat{AOB}=145{}^\circ . \\ \end{align}\)
b) Sđ \[\overset\frown{AB}\] nhỏ = \[\widehat{AOB}=145{}^\circ .\]
Sđ \[\overset\frown{AB}\] nhỏ = \[360{}^\circ -145{}^\circ =215{}^\circ .\]
Bài 6.(trang 69 SGK Toán 9 tập 2)
a) Góc ở tâm tạo bởi \[OA,OB\] và \[OC\] là \[\widehat{AOB},\text{ }\widehat{BOC,}\widehat{\text{ }AOC}.\]
Ta có :
\[OA=OB=OC\] ( Do \[O\] là tâm đường tròn ngoại tiếp \[\Delta ABC\] )
\[AB=AC=BC\] ( \[\Delta ABC\] đều)
\[\Rightarrow \Delta AOB=\Delta AOC=\Delta BOC\left( c-c-c \right).\]
\[\Rightarrow \widehat{AOB}=\widehat{AOC}=\widehat{BOC}\] (các góc tương ứng)
Mà \(\begin{align} & \widehat{AOB}+\widehat{AOC}+\widehat{BOC}=360{}^\circ \\ & \Rightarrow \widehat{AOB}=\widehat{AOC}=\widehat{BOC}=120{}^\circ . \\ \end{align}\)
b) Các điểm \[A,B,C\] chia đường tròn tâm \[O\] thành các cung nhỏ \[\overset\frown{AB},\overset\frown{BC},\overset\frown{AC}\] có số đo lần lượt bằng số đo các góc \[\widehat{AOB},\text{ }\widehat{BOC,}\widehat{\text{ }AOC}.\]
Suy ra sđ \[\overset\frown{AB}\] = sđ \[\overset\frown{BC}\] = sđ \[\overset\frown{AC}\] = \[120{}^\circ .\]
Từ đó ta có:
Sđ \[\overset\frown{ACB}=360{}^\circ -120{}^\circ =240{}^\circ \]
Sđ \[\overset\frown{BAC}=360{}^\circ -120{}^\circ =240{}^\circ \]
Sđ \[\overset\frown{ABC}=360{}^\circ -120{}^\circ =240{}^\circ .\]
Bài 7.(trang 69+70 SGK Toán 9 tập 2)
a) Ta có: sđ \[\overset\frown{AM}=\widehat{AOM}\] và sđ \[\overset\frown{QD}=\widehat{QOD};\]
Mà \[\widehat{AOM}=\widehat{QOD}\]
\[\Rightarrow \] sđ \[\overset\frown{AM}\] = sđ \[\overset\frown{QD}.\]
Ta có: sđ \[\overset\frown{BN}=\widehat{BON}\] và sđ \[\overset\frown{PC}=\widehat{POC};\]
Mà \[\widehat{BON}=\widehat{POC}\]
\[\Rightarrow \] sđ \[\overset\frown{BN}\] = sđ \[\overset\frown{PC}.\]
b) Xét đường tròn tâm \[O\] , bán kính \[OB\]:
Ta có: \[\overset\frown{BP}=\overset\frown{NC};\] \[\overset\frown{BN}=\overset\frown{PC}.\]
Xét đường tròn tâm \[O\] bán kính \[OA:\]
Ta có: \[\overset\frown{AQ}=\overset\frown{MD};\] \[\overset\frown{AM}=\overset\frown{QD}.\]
c) Hai cung lớn bằng nhau: \[\overset\frown{BNCP}=\overset\frown{CPBN}.\]
Bài 8.(trang 70 SGK Toán 9 tập 2)
a) Khẳng định đúng,
b) Khẳng định sai, vì phải trong cùng một cung
c) Khẳng định sai, vì phải trong cùng một cung
d) Khẳng định đúng,
Bài 9.(trang 70 SGK Toán 9 tập 2)
Trường hợp 1 . Điểm C nằm trên cung lớn AB.
Do điểm C nằm trên cung lớn AB nên tia OA nằm giữa hai tia OB và OC.
Do \[\widehat{AOB}>\widehat{AOC}\] nên tia OA nằm giữa hai tia OB và OC hay A nằm trên cung BC.
Suy ra: \[\widehat{BOC}=\widehat{BOA}+\widehat{AOC}\] = 1000+ 450 = 1450
Khi đó, số đo cung nhỏ BC là 1450 ( bằng góc ở tâm \[\widehat{BOC}\] )
Số đo cung lớn BC là: 3600 - 1450 = 2150
* Trường hợp 2: Điểm C nằm trên cung nhỏ AB
Vì điểm C nằm trên cung nhỏ AB nên OC nằm giữa OA và OB
\[\Rightarrow \widehat{AOB}=\widehat{AOC}+\widehat{BOC}\]
\[\Rightarrow \widehat{BOC}=\widehat{AOB}-\widehat{AOC}\] = 1000- 450 = 550
Khi đó, số đo cung nhỏ BC là 550
Số đo cung lớn BC là: 3600- 550 = 3050
.
Gợi ý Giải bài tập sách giáo khoa góc ở tâm và số đo cung toán học 9, toán 9 hình học lý thuyết trọng tâm giúp học sinh nắm vững kiến thức chính xác nhất