ican
Giải SGK Toán 9
Bài 5: Bài tập ôn cuối năm

Bài tập ôn cuối năm

Giải bài tập sách giáo khoa ôn tập cuối năm toán học 9, toán 9 hình học lý thuyết trọng tâm giúp học sinh nắm vững kiến thức chính xác nhất

Ican

ÔN TẬP CUỐI NĂM

A. LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM

I. Đại số

1. Điều kiện để căn thức có nghĩa

\[ \sqrt{A} \] có nghĩa khi \[ A\ge 0 \] 

2. Các công thức biến đổi căn thức.

+ \[ \sqrt{{{A}^{2}}}=\left| A \right| \] 

+ \[ \sqrt{AB}=\sqrt{A}.\sqrt{B} \] 

+ \[ \sqrt{\frac{A}{B}}=\frac{\sqrt{A}}{\sqrt{B}}\left( B\ne 0 \right) \] 

+ \[ \frac{A}{\sqrt{C}-\sqrt{D}}=\frac{A\left( \sqrt{C}+\sqrt{D} \right)}{C-D} \] 

+ \[ \frac{A}{\sqrt{C}+\sqrt{D}}=\frac{A\left( \sqrt{C}-\sqrt{D} \right)}{C-D} \] 

3. Hàm số 

+ Hàm số đồng biến trên R khi a > 0.

+ Hàm số nghịch biến trên R khi a < 0.

- Đồ thị:

Đồ thị là một đường thẳng đi qua điểm A(0;b); B( \[ -\frac{b}{a} \] ;0).

4. Hàm số

\[y=a{{x}^{2}}\]

- Tính chất

+ Nếu a > 0 hàm số nghịch biến khi x < 0 và đồng biến khi x > 0.

+ Nếu a < 0 hàm số đồng biến khi x < 0 và nghịch biến khi x > 0.

- Đồ thị:

Đồ thị là một đường cong Parabol đi qua gốc toạ độ O(0;0).

+ Nếu a > 0 thì đồ thị nằm phía trên trục hoành.

+ Nếu a < 0 thì đồ thị nằm phía dưới trục hoành.

5. Vị trí tương đối của hai đường thẳng

\[d:y=ax+b\]

\[d':y=a'x+b'\]

(d) và (d') cắt nhau ⇔ a ≠a'

(d) // (d') ⇔ a = a' và b ≠b'

(d) ≡ (d') ⇔ a = a' và b = b'

6. Vị trí tương đối của đường thẳng và đường cong.

Xét đường thẳng

\[\left( d \right):y=ax+b\]

\[\left( P \right):y=a{{x}^{2}}\]

(d) và (P) cắt nhau tại hai điểm

(d) tiếp xúc với (P) tại một điểm

(d) và (P) không có điểm chung

7. Phương trình bậc hai.

Xét phương trình bậc hai

\[\text{a}{{\text{x}}^{2}}+bx+c=0\]

Công thức nghiệm \[ \Delta ={{b}^{2}}-4ac \] 

- Nếu \[ \Delta >0 \] phương trình có hai nghiệm phân biệt: \[ {{x}_{1}}=\frac{-b+\sqrt{\Delta }}{2a};{{x}_{2}}=\frac{-b-\sqrt{\Delta }}{2a} \] 

- Nếu \[ \Delta =0 \] phương trình có nghiệm kép : \[ {{x}_{1}}={{x}_{2}}=\frac{-b}{2a} \] 

- Nếu \[ \Delta <0 \] phương trình vô nghiệm.

Công thức nghiệm thu gọn: \[ \Delta =b{{'}^{2}}-ac \] 

- Nếu \[ \Delta '>0 \] Phương trình có 2 nghiệm phân biệt: \[ {{x}_{1}}=\frac{-b'+\sqrt{\Delta '}}{a};{{x}_{2}}=\frac{-b'-\sqrt{\Delta '}}{a} \] 

- Nếu \[ \Delta =0 \] phương trình có nghiệm kép: \[ {{x}_{1}}={{x}_{2}}=\frac{-b'}{a} \] 

- Nếu \[ \Delta <0 \] : Phương trình vô nghiệm.

8. Hệ thức Viet và ứng dụng.

- Hệ thức Viet:

Nếu \[ {{x}_{1}},{{x}_{2}} \] là nghiệm của phương trình bậc hai \[ a{{x}^{2}}+bx+c=0 \] thì \(\left\{ \begin{align}  & {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=-\frac{b}{a} \\  & {{x}_{1}}.{{x}_{2}}=\frac{c}{a} \\ \end{align} \right. \)

- Một số ứng dụng:

+ Tìm hai số u và v biết u + v = S; u.v = P ta giải phương trình: 

(Điều kiện S2- 4P ≥ 0)

+ Nhẩm nghiệm của phương trình bậc hai 

Nếu a + b + c = 0 thì phương trình có hai nghiệm \[ {{x}_{1}}=1;{{x}_{2}}=\frac{c}{a} \] 

Nếu a - b + c = 0 thì phương trình có hai nghiệm: \[ {{x}_{1}}=-1;{{x}_{2}}=-\frac{c}{a} \] 

9. Giải bài toán bằng cách lập phương trình, hệ phương trình

Bước 1: Lập phương trình hoặc hệ phương trình

Bước 2: Giải phương trình hoặc hệ phương trình

Bước 3: Kiểm tra các nghiệm của phương trình hoặc hệ phương trình nghiệm nào thích hợp với bài toán và kết luận

II. Hình học

1. Hệ thức về cạnh và đường cao

Tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH, ta có:

\[ {{a}^{2}}={{b}^{2}}+{{c}^{2}} \] 

\[ {{b}^{2}}=a\cdot {{b}^{\prime }};{{c}^{2}}=a\cdot {{c}^{\prime }} \] 

\[ {{h}^{2}}={{b}^{\prime }}\cdot {{c}^{\prime }} \] 

\[ a\cdot h=b\cdot c \] 

\[ \frac{1}{{{h}^{2}}}=\frac{1}{{{b}^{2}}}+\frac{1}{{{c}^{2}}} \] 

2. Tỉ số lượng giác của góc nhọn.

+ Tỉ số giữa cạnh đối và cạnh huyền được gọi là sin của góc α, kí hiệu là sinα.

+ Tỉ số giữa cạnh kề và cạnh huyền được gọi là côsin của góc α, kí hiệu là cosα.

+ Tỉ số giữa cạnh đối và cạnh kề được gọi là tang của góc α, kí hiệu là tanα.

+ Tỉ số giữa cạnh kề và cạnh đối được gọi là côtang của góc α, kí hiệu là cotα.

Hay sinα = AB/BC; cosα = AC/BC; tanα = AB/AC; cotα = AC/AB.

Tính chất:

+ Nếu α là một góc nhọn thì 0 < sinα < 1; 0 < cosα < 1; tanα > 0; cotα > 0.

Ta có: sin2α + cos2α = 1; \[\tan \alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha };\cot \alpha =\frac{\cos \alpha }{\sin \alpha }\] ;tanα.cotα = 1

+ Với hai góc nhọn α, β mà α + β = 90°.

Ta có: sinα = cosβ; cosα = sinβ; tanα = cotβ; cotα = tanβ.

Nếu hai góc nhọn α và β có sinα = sinβ hoặc cosα = cosβ thì α = β.

3. Hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông.

Trong một tam giác vuông, mỗi cạnh góc vuông bằng:

+ Cạnh huyền nhân với sin góc đối hay nhân với côsin góc kề.

+ Cạnh góc vuông kia nhân với tan của góc đối hay nhân với cotg của góc kề.

b = a.sinB = a.cosC; c = a.sinC = a.cosB; b = c.tgB = c.cotgC; c = b.tgC = b.cotgC.

1. Định nghĩa về đường tròn

Đường tròn tâm O bán kính R > 0 là hình gồm các điểm cách điểm O một khoảng R kí hiệu là (O; R) hay (O).

Nếu A nằm trên đường tròn (O; R) thì OA = R.

Nếu A nằm trong đường tròn (O; R) thì OA < R.

Nếu A nằm ngoài đườg tròn (O; R) thì OA > R.

2. Quan hệ vuông góc giữa đường kính và dây

+ Trong một đường tròn, đường kính vuông góc với một dây thì đi qua trung điểm của dây ấy.

+ Trong một đường tròn, đường kính đi qua trung điểm của một dây không đi qua tâm thì vuông góc với dây ấy.

3. Liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm đến dây

+ Trong một đường tròn:

⋅ Hai dây bằng nhau thì cách đều tâm.

⋅ Hai dây cách đều tâm thì bằng nhau.

+ Trong hai dây của một đường tròn:

⋅ Dây nào lớn hơn thì dây đó gần tâm hơn.

⋅ Dây nào gần tâm hơn thì dây đó lớn hơn.

4. Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn

Cho đường tròn (O; R) và đường thẳng Δ. Đặt d = d(O, Δ).

Vị trí tương đối của đường thẳng và đường trònSố điểm chungHệ thức giữa d và R
Đường thẳng và đường tròn cắt nhau2d < R
Đường thẳng và đường tròn tiếp xúc nhau1d = R
Đường thẳng và đường tròn không giao nhau0d > R

5. Dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến của đường tròn

+ Nếu một đường thẳng là tiếp tuyến của một đường tròn thì nó vuông góc với bán kính đi qua tiếp điểm.

+ Nếu một đường thẳng đi qua một điểm của đường tròn và vuông góc với bán kính đi qua điểm đó thì đường thẳng ấy là tiếp tuyến của đường tròn.

6. Tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau

Nếu hai tiếp tuyến của một đường tròn cắt nhau tại một điểm thì:

+ Điểm đó cách đều hai tiếp điểm.

+ Tia kẻ từ điểm đó đi qua tâm là tia phân giác của góc tạo bởi hai tiếp tuyến.

+ Tia kẻ từ tâm đi qua điểm đó là tia phân giác của góc tạo bởi hai bán kính đi qua các tiếp điểm.

7. Đường tròn nội tiếp tam giác

+ Đường tròn tiếp xúc với ba cạnh của một tam giác được gọi là đường tròn nội tiếp tam giác, còn tam giác được gọi là ngoại tiếp đường tròn.

+ Tâm của đường tròn nội tiếp tam giác là giao điểm của các đường phân giác các góc trong tam giác.

8. Đường tròn bàng tiếp tam giác

+ Đường tròn tiếp xúc với một cạnh của một tam giác và tiếp xúc với các phần kéo dài của hai cạnh kia được gọi là đường tròn bàng tiếp tam giác.

+ Với một tam giác, có ba đường tròn bàng tiếp.

+ Tâm của đường tròn bàng tiếp tam giác trong góc A là giao điểm của hai đường phân giác các góc ngoài tại B và C, hoặc là giao điểm của đường phân giác góc A và đường phân giác ngoài tại B (hoặc C).

9. Tính chất đường nối tâm

+ Đường nối tâm của hai đường tròn là trục đối xứng của hình gồm cả hai đường tròn đó.

+ Nếu hai đường tròn cắt nhau thi hai giao điểm đối xứng với nhau qua đường nối tâm.

+ Nếu hai đường tròn tiếp xúc nhau thì tiếp điểm nằm trên đường nối tâm.

10. Vị trí tương đối của hai đường tròn

Cho hai đường tròn (O; R) và (O'; r). Đặt OO' = d.

VTTĐ của hai đường trònSố điểm chungHệ thức giữa d với R và r
Hai đường tròn cắt nhau2R - r < d < R + r

Hai đường tròn tiếp xúc nhau:

- Thiếp xúc ngoài

- Tiếp xúc trong

1

d = R + r

d = R - r

Hai đường tròn không giao nhau:

- Ở ngoài nhau

- (O) đựng (O')

0

d > R + r

d < R - r

11. Tiếp tuyến chung của hai đường tròn

+ Tiếp tuyến chung của hai đường tròn là đường thẳng tiếp xúc với cả hai đường tròn đó.

+ Tiếp tuyến chung ngoài là tiếp tuyến chung không cắt đoạn nối tâm.

+ Tiếp tuyến chung trong là tiếp tuyến chung cắt đoạn nối tâm.

12. Góc ở tâm

Góc có đỉnh trùng với tâm của đường tròn được gọi là góc ở tâm.

+ Hai cạnh của góc ở tâm cắt đường tròn tại hai điểm, do đó chia đường tròn thành hai cung.

⋅ Với các góc α ( 0 < α < 180°) thì cung nằm bên trong góc được gọi là cung nhỏ.

⋅ Cung nằm bên ngoài góc được gọi là cung lớn.

13. Số đo góc.

+ Số đo của cung nhỏ bằng số đo góc ở tâm chắn cung đó.

+ Số đo của cung lớn bằng hiệu giữa 360° và số đo cung nhỏ (có chung hai mút với cung lớn).

+ Số đo của nửa đường tròn bằng 180°

+ Kí hiệu số đo của cung AB là sđ \[ \overset\frown{AB} \] .

14. Liện hệ giữa cung và dây

a) Định lí 1

Với hai cung nhỏ trong một đường tròn hay trong hai đường tròn bằng nhau:

+ Hai cung bằng nhau căng hai dây bằng nhau.

+ Hai dây bằng nhau căng hai cung bằng nhau.

b) Định lí 2

Với hai cung nhỏ trong một đường tròn hay trong hai đường tròn bằng nhau:

+ Cung lớn hơn căng dây lớn hơn.

+ Dây lớn hơn căng cung lớn hơn.

c) Mở rộng

+ Trong một đường tròn, hai cung bị chắn giữa hai dây song song thì bằng nhau.

+ Trong một đường tròn, đường kính đi qua điểm chính giữa của một cung thì đi qua trung điểm của dây căng cung ấy.

+ Trong một đường tròn, đường kính đi qua trung điểm của một dây (không đi qua tâm) thì đi qua điểm chính giữa của cung bị căng bởi dây ấy.

+ Trong một đường tròn, đường kính đi qua điểm chính giữa của một cung thì vuông góc với dây căng cung ấy và ngược lại.

15. Góc nội tiếp

a) Định nghĩa

+ Góc nội tiếp là góc có đỉnh nằm trên đường tròn và hai cạnh chứa hai dây cung của đường tròn đó.

+ Cung nằm bên trong góc được gọi là cung bị chắn.

b) Định lý.

Trong một đường tròn, số đo của góc nội tiếp bằng nửa số đo của cung bị chắn.

+ Ta có thể viết: \[ \widehat{BAC}=\frac{1}{2}sd\overset\frown{BC} \] 

c) Hệ quả.

Trong một đường tròn:

+ Các góc nội tiếp bằng nhau chắn các cung bằng nhau.

+ Các góc nội tiếp cùng chắn một cung hoặc chắn các cung bằng nhau thì bằng nhau.

+ Góc nội tiếp (nhỏ hơn hoặc bằng 90°) có số đo bằng nửa số đo của góc ở tâm cùng chắn một cung.

+ Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn là góc vuông.

16. Góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung

a) Định nghĩa

+ Góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung là góc có đỉnh nằm trên đường tròn, một cạnh là một tia tiếp tuyến còn cạnh kia chứa dây cung của đường tròn.

+ Cung nằm bên trong là cung bị chắn.

b) Định lý.

Số đo của góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung bằng nửa số đo của cung bị chắn.

17. Góc có đỉnh ở bên trong đường tròn

+ Góc có đỉnh nằm bên trong đường tròn được gọi là góc có đỉnh ở bên trong đường tròn.

+ Hình vẽ: Góc \[ \widehat{BEC} \] là góc có đỉnh nằm ở bên trong đường tròn chắn hai cung là \[ \overset\frown{BnC},\overset\frown{AmD}. \] 

+ Số đo của góc có đỉnh ở bên trong đường tròn bằng nửa tổng số đo hai cung bị chắn.

Hay \[ \widehat{BEC}=\frac{sd\overset\frown{BnC}+sd\overset\frown{AmB}}{2} \] 

18. Góc có đỉnh ở bên ngoài đường tròn

+ Góc có đỉnh ở bên ngoài đường tròn là góc có đỉnh nằm ngoài đường tròn và các cạnh đều có điểm chung với đường tròn.

+ Hai cung bị chắn là hai cung nằm bên trong góc, hình vẽ trên: Góc \[ \widehat{BEC} \] là góc có đỉnh nằm ở bên ngoài đường tròn chắn hai cung là \[ \overset\frown{BnC},\overset\frown{AmD}. \] 

+ Số đo của góc có đỉnh ở bên trong đường tròn bằng nửa tổng số đo hai cung bị chắn.

Hay \[ \widehat{BEC}=\frac{sd\overset\frown{BnC}-sd\overset\frown{AmB}}{2} \] .

19. Tứ giác nội tiếp

a) Định nghĩa

Một tứ giác có bốn đỉnh nằm tên một đường tròn được gọi là tứ giác nội tiếp đường tròn (gọi tắt là tứ giác nội tiếp)

b) Định lý.

+ Trong một tứ giác nội tiếp, tổng số đo hai góc đối diện bằng 180°.

+ Nếu một tứ giác có tổng số đo hai góc đối diện bằng 180° thì tứ giác đó nội tiếp được đường tròn.

c) Dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp

+ Tứ giác có tổng hai góc đối bằng 180°.

+ Tứ giác có góc ngoài tại một đỉnh bằng góc trong của đỉnh đối diện.

+ Tứ giác có bốn đỉnh cách đều một điểm (mà ta có thể xác định được). Điểm đó là tâm của đường tròn ngoại tiếp tứ giác đó.

+ Tứ giác có hai đỉnh kề nhau cùng nhìn một cạnh chứa hai đỉnh còn lại dưới một góc α.

+ Chú ý: Để chứng minh một tứ giác là tứ giác nội tiếp ta có thể chứng minh tứ giác đó là một trong các hình sau: Hìn chữ nhật, hình vuông, hình thang cân.

20. Đường tròn ngoại tiếp, đường tròn nội tiếp

a) Định nghĩa

+ Đường tròn đi qua tất cả các đỉnh của một đa giác được gọi là đường tròn ngoại tiếp đa giác và đa giác được gọi là đa giác nội tiếp đường tròn.

+ Đường tròn tiếp xúc với tất cả các cạnh của một đa giác được gọi là đường tròn nội tiếp đa giác và đa giác được gọi là đa giác ngoại tiếp đường tròn.

b) Định lý

+ Bất kì đa giác đều nào cũng có một và chỉ một đường tròn ngoại tiếp, có một và chỉ một đường tròn nội tiếp.

+ Tâm của hai đường tròn này trùng nhau và được gọi là tâm của đa giác đều.

+ Tâm này là giao điểm hai đường trung trực của hai cạnh hoặc là hai đường phân giác của hai góc.

21. Độ dài đường tròn

“ Độ dài đường tròn” hay còn được gọi là “ chu vi đường tròn” được kí hiệu là C.

Ta có: C = 2πR hoặc C = πd

Trong đó: C là độ dài đường tròn.

R là bán kính đường tròn.

d là đường kính của đường tròn

22. Độ dài của cung tròn

Độ dài cung tròn n° là I = \[ \frac{\pi Rn}{180} \] .

Trong đó: l là độ dài cung tròn n°.

R là bán kính đường tròn.

n là số đo độ của góc ở tâm.

23. Diện tích hình tròn

Công thức diện tích hình tròn là: \[ S=\pi {{R}^{2}}=\pi \frac{{{d}^{2}}}{4}. \] 

Trong đó: S là diện tích của đường tròn.

R là bán kính đường tròn.

d là đường kính của đường tròn

24. Diện tích của hình quạt tròn

Công thức diện tích hình quạt tròn là: \[ S=\frac{\pi {{R}^{2}}n}{360}=\frac{l.R}{2}. \] 

Trong đó: S là diện tích của hình quạt tròn.

R là bán kính đường tròn.

l là độ dài cung tròn n°.

25. Hình trụ.

Cho hình trụ có bán kính đáy R và chiều cao h.

+ Diện tích xung quanh: Sxq = 2πRh

+ Diện tích toàn phần: Stp = 2πRh + 2πR2

+ Thể tích: V = πR2h

26. Hình nón – Hình nón cụt

a) Hình nón

Đặt AC = l; l là đường sinh

Cho hình nón có bán kính đáy R và đường sinh l, chiều cao h.

+ Diện tích xung quanh: Sxq = πRl

+ Diện tích toàn phần: Stp = πRl + πR2

+ Thể tích: \[ V=\frac{1}{3}\pi {{R}^{2}}h \] 

b) Hình nón cụt

Cho hình nón cụt có các bán kính đáy R và r, chiều cao h, đường sinh l.

+ Diện tích xung qaunh: Sxq = π(R + r)l

+ Thể tích: \[ V=\frac{1}{3}\pi h\left( {{R}^{2}}+Rr+{{r}^{2}} \right) \] 

27. Hình cầu

Cho hình cầu bán kính R.

+ Diện tích mặt cầu: S = 4πR2

+ Thể tích hình cầu: \[ V=\frac{4}{3}\pi {{R}^{3}} \] 

B. GIẢI BÀI TẬP SGK

Phần đại số

Bài 1 (trang 131 SGK Toán 9 Tập 2):

C

Bài 2 (trang 131 SGK Toán 9 Tập 2):

Lời giải

\[ M=\sqrt{3-2\sqrt{2}}-\sqrt{6+4\sqrt{2}}~ \] 

\[ =\sqrt{2-2\cdot \sqrt{2}\cdot 1+1}-\sqrt{4+2\cdot 2\cdot \sqrt{2}+2} \] 

\[ =\sqrt{{{(\sqrt{2}-1)}^{2}}}-\sqrt{{{(2+\sqrt{2})}^{2}}} \] 

\[ =\sqrt{2}-1-(2+\sqrt{2})=-3 \] 

\[ \text{N}=\sqrt{2+\sqrt{3}}+\sqrt{2-\sqrt{3}} \] 

\[ \Rightarrow \text{N}.\sqrt{2}=\sqrt{2}\cdot (\sqrt{2+\sqrt{3}}+\sqrt{2-\sqrt{3}}) \] 

\[ =\sqrt{4+2\cdot \sqrt{3}}+\sqrt{4-2\sqrt{3}} \] 

\[ =\sqrt{3+2\sqrt{3}+1}+\sqrt{3-2\sqrt{3}+1} \] 

\[ =\sqrt{{{(\sqrt{3}+1)}^{2}}}+\sqrt{{{(\sqrt{3}-1)}^{2}}} \] 

\[ =\sqrt{3}+1+\sqrt{3}-1=2\sqrt{3} \] 

\[ \Rightarrow N=\sqrt{6} \] .

Bài 3 (trang 132 SGK Toán 9 Tập 2):

D

Bài 4 (trang 132 SGK Toán 9 Tập 2):

D

Bài 5 (trang 132 SGK Toán 9 Tập 2):

Lời giải

Điều kiện: x > 0, x ≠ 1.

Ta có: \[ \left( \frac{2+\sqrt{x}}{x+2\sqrt{x}+1}-\frac{\sqrt{x}-2}{x-1} \right)\cdot \frac{x\sqrt{x}+x-\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}} \] 

\[ =\left( \frac{2+\sqrt{x}}{x+2\sqrt{x}+1}-\frac{\sqrt{x}-2}{x-1} \right)\cdot \frac{x(\sqrt{x}+1)-(\sqrt{x}+1)}{\sqrt{x}} \] 

\[ =\frac{2+\sqrt{x}}{\left[ \sqrt{x}+1{{)}^{2}}-\frac{\sqrt{x}-2}{(\sqrt{x}+1)(\sqrt{x}-1)} \right]\cdot \frac{(x-1)\cdot (\sqrt{x}+1)}{\sqrt{x}}} \] 

 

\[ =\frac{(2+\sqrt{x})(\sqrt{x}-1)-(\sqrt{x}-2)\cdot (\sqrt{x}+1)}{{{(\sqrt{x}+1)}^{2}}\cdot (\sqrt{x}-1)}\cdot \frac{(\sqrt{x}-1){{(\sqrt{x}+1)}^{2}}}{\sqrt{x}} \] 

\[ =\frac{(2+\sqrt{x})(\sqrt{x}-1)-(\sqrt{x}-2)(\sqrt{x}+1)}{\sqrt{x}} \] 

\[ =\frac{2\sqrt{x}+x-\sqrt{x}-2-(x-2\sqrt{x}+\sqrt{x}-2)}{\sqrt{x}}=\frac{2\sqrt{x}}{\sqrt{x}}=2 \] .

Bài 6 (trang 132 SGK Toán 9 Tập 2):

Lời giải

a) Đồ thị hàm số y = ax + b đi qua A(1; 3) và B(-1; -1)

\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}}  3=a\cdot 1+b  \\    -1=a\cdot (-1)+b  \\ \end{array}\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}}    a+b=3  \\    -a+b=-1  \\ \end{array} \right. \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}}    a+b=3  \\    2b=2  \\ \end{array}\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}}    a+b=3  \\    b=1  \\ \end{array}\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}}    a=2  \\    b=1  \\ \end{array} \right. \right. \right.\)

Vậy a = 2; b = 1; hàm số y = 2x + 1.

b) y = ax + b song song với y = x + 5

⇒ a = 1.

Đồ thị hàm số đi qua C(1; 2) ⇔ 2 = a.1 + b ⇔ a + b = 2 ⇒ b = 1.

Vậy a = 1; b = 1.

Bài 7 (trang 132 SGK Toán 9 Tập 2):

Lời giải

a) Để d1 trùng d2 \(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}}   \text{m}+1=2  \\    \text{n}=5  \\ \end{array}\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}}    \text{m}=1  \\    \text{n}=5  \\ \end{array} \right. \right. \)

Vậy m = 1, n = 5

b) Để d1 cắt d2 thì: m + 1 ≠ 2 ⇒ m ≠ 1

c) Để d1 song song d2 \(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}} \text{m}+1=2  \\    \text{n}\ne 5  \\ \end{array}\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}}    \text{m}=1  \\    \text{n}\ne 5  \\ \end{array} \right. \right. \)

Vậy m = 1, n ≠ 5.

Bài 8 (trang 132 SGK Toán 9 Tập 2):

Lời giải

Giả sử đường thẳng (k + 1)x – 2y = 1 đi qua điểm cố định M(x0; y0)

 

\[ \Leftrightarrow (\text{k}+1)\cdot {{\text{x}}_{0}}-2{{\text{y}}_{0}}=1\quad \forall \text{k} \] 

\[ \Leftrightarrow \text{k}\cdot {{\text{x}}_{0}}+{{\text{x}}_{0}}-2{{\text{y}}_{0}}-1=0\quad \forall \text{k} \] 

\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}} {{\text{x}}_{0}}=0  \\    {{\text{x}}_{0}}-2{{\text{y}}_{0}}-1=0  \\ \end{array} \right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}} {{\text{x}}_{0}}=0  \\    {{\text{y}}_{0}}=\frac{-1}{2}  \\ \end{array} \right.\)

Vậy điểm cố định mà đường thẳng (k + 1)x – 2y = 1 đi qua là \[ M\left( 0;-\frac{1}{2} \right) \] .

Bài 9 (trang 133 SGK Toán 9 Tập 2):

Lời giải

a) \(\text{I}):\left\{ \begin{array}{*{35}{l}} 2\text{x}+3\cdot |\text{y}|=13  \\    3\text{x}-\text{y}=3  \\ \end{array} \right.\)

TH1: \[\text{y}>0\]

Hệ (1) trở thành \(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}}2x+3y=13  \\    3x-y=3  \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}}    2\text{x}+3\text{y}=13  \\    9\text{x}-3\text{y}=9  \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}}    11\text{x}=22  \\    3\text{x}-\text{y}=3  \\ \end{array}\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}}    \text{x}=2  \\    \text{y}=3  \\ \end{array} \right. \right. \) ( thỏa mãn).

TH2: \[\text{y}0\]

Hệ (1) trở thành \(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}}2x-3y=13  \\    3x-y=3  \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}}    2\text{x}-3\text{y}=13  \\    9\text{x}-3\text{y}=9  \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}}    \text{7x}=-4  \\    3\text{x}-\text{y}=3  \\ \end{array}\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}}    \text{x}=\frac{-4}{7}  \\    \text{y}=\frac{-33}{7}  \\ \end{array} \right. \right.\) ( thỏa mãn).

Vậy hệ phương trình có hai nghiệm phân biệt \[ \left( 2;3 \right),\left( \frac{-4}{7};\frac{-33}{7} \right). \] 

b) \((\text{II}):\left\{ \begin{array}{*{35}{l}} 3\sqrt{\text{x}}-2\sqrt{\text{y}}=-2  \\    2\sqrt{\text{x}}+\sqrt{\text{y}}=1  \\ \end{array} \right.\)

Đặt \[ u=\sqrt{x};v=\sqrt{y}(u,v\ge 0) \] . Khi đó hệ phương trình đã cho trở thành:

\(\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}  3\text{u}-2\text{v}=-2  \\    2\text{u}+\text{v}=1  \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}}    3\text{u}-2\text{v}=-2  \\    4\text{u}+2\text{v}=2  \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}}    7\text{u}=0  \\    2\text{u}+\text{v}=1  \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}}    \text{u}=0  \\    \text{v}=1  \\ \end{array}(\text{t}/\text{m}) \right.\)

\(\Rightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}}\sqrt{\text{x}}=0  \\    \sqrt{\text{y}}=1  \\ \end{array}\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}}    \text{x}=0  \\    \text{y}=1  \\ \end{array} \right. \right.\) .

Vậy hệ phương trình có một nghiệm \[ \left( 0;1 \right) \] .

Bài 10 (trang 133 SGK Toán 9 Tập 2):

Lời giải

a) Điều kiện \[ x\ge 1;\text{y}\ge 1 \] 

Đặt \[ \sqrt{x-1}=u;\sqrt{y-1}=v\quad (u,v\ge 0) \] 

Hệ phương trình trở thành:

\(\left\{ \begin{array}{*{35}{l}} 2\text{u}-\text{v}=1  \\    \text{u}+\text{v}=2  \\ \end{array}\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}}    3\text{u}=3  \\    \text{u}+\text{v}=2  \\ \end{array} \right. \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}}    \text{u}=1  \\    \text{v}=1  \\ \end{array}(\text{t}/\text{m}) \right.\) .

\[ +\text{u}=1\Rightarrow \sqrt{\text{x}-1}=1\Rightarrow \text{x}-1=1\Rightarrow \text{x}=2 \] 

\[ +\text{v}=1\Rightarrow \sqrt{\text{y}-1}=1\Rightarrow \text{y}-1=1\Rightarrow \text{y}=2 \] 

Vậy hệ phương trình có nghiệm (2; 2).

b) Đặt (x – 1)2 = u, u ≥ 0.

Hệ phương trình trở thành:

\(\left\{ \begin{array}{*{35}{l}} \text{u}-2\text{y}=2  \\    3\text{u}+3\text{y}=1  \\ \end{array}\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}}    3u-6y=6  \\    3u+3y=1  \\ \end{array} \right. \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}}    -9\text{y}=5  \\    \text{u}-2\text{y}=2  \\ \end{array}\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}}    \text{y}=\frac{-5}{9}  \\    \text{u}=\frac{8}{9}  \\ \end{array} \right. \right.\)

\[ +\text{u}=\frac{8}{9}\Rightarrow {{(\text{x}-1)}^{2}}=\frac{8}{9} \] 

\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{*{35}{l}}   x-1=\frac{2\sqrt{2}}{3}  \\    x-1=\frac{-2\sqrt{2}}{3}  \\ \end{array}\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{*{35}{l}}    x=\frac{2\sqrt{2}+3}{3}  \\    x=\frac{-2\sqrt{2}+3}{3}  \\ \end{array} \right. \right. \)

Vậy hệ phương trình có hai nghiệm \[ \left( \frac{2\sqrt{2}+3}{3};\frac{-5}{9} \right);\left( \frac{-2\sqrt{2}+3}{3};\frac{-5}{9} \right) \] .

Bài 11 (trang 133 SGK Toán 9 Tập 2):

Lời giải

Gọi số sách ở giá thứ nhất là x ( cuốn)

Số sách ở giá thứ hai là y (cuốn), (x, y∈ N*; x> 50, x< 450, y< 450)

Hai giá sách có tất cả 450 cuốn nên x+ y = 450 (1)

Khi chuyển 50 cuốn từ giá thứ nhất sang giá thứ hai thì số sách ở giá thứ nhất khi đó là x- 50 và số sách ở giá thứ hai là y+ 50

Theo đầu bài ta có:

\[ y+50=\frac{4}{5}(x-50)\Leftrightarrow 5(y+50)=4(x-50)\Leftrightarrow 5y+250=4x-200\Leftrightarrow 4x-5y=450 \] (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình

\(\left\{ \begin{matrix} x+y=450  \\    4x-5y=450  \\ \end{matrix}\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}    4x+4y=1800  \\    4x-5y=450  \\ \end{matrix} \right. \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}    9y=1350  \\    x+y=450  \\ \end{matrix}\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}}    y=150  \\    x=300  \\ \end{array} \right. \right. \)

Vậy số sách ở giá thứ nhất là 300 quyển, giá thứ hai là 150 quyển.

Bài 12 (trang 133 SGK Toán 9 Tập 2):

Lời giải

Gọi vận tốc lúc lên dốc và vận tốc lúc xuống dốc theo thứ tự là x, y (km/h) (x, y > 0)

* Lúc đi từ A đến B: Đoạn lên dốc dài 4km và đoạn xuống dốc dài 5km

* Lúc đi từ B đến A: Đoạn lên dốc dài 5 km và đoạn xuống dốc dài 4 km

Thời gian đi lên dốc là \[ \frac{4}{x} \] ( h) , thời gian xuống dốc là: \[ \frac{5}{\text{y}} \] (h)

Theo đầu bài thời gian đi A đến B là 40 phút = \[ \frac{2}{3} \] h nên: \[ \frac{4}{x}+\frac{5}{y}=\frac{2}{3} \] (1).

* Lúc đi từ B đến A qua C: Đoạn lên dốc dài 5 km và đoạn xuống dốc dài 4 km

Thời gian đi lên dốc là \[ \frac{5}{x} \] ( h) , thời gian xuống dốc là: \[ \frac{4}{\text{y}} \] (h)

Theo đầu bài thời gian đi A đến B là 41 phút = \[ \frac{41}{60} \] h nên: \[ \frac{5}{x}+\frac{4}{y}=\frac{41}{60} \] (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: \(\left\{ \begin{align}  & \frac{4}{x}+\frac{5}{y}=\frac{2}{3} \\  & \frac{5}{x}+\frac{4}{y}=\frac{41}{60} \\ \end{align} \right.\) ;

Đặt \[ X=\frac{1}{x};Y=\frac{1}{y} \] hệ phương trình trên trở thành:

\(\left\{\begin{array}{l}4 X+5 Y=\frac{2}{3} \\ 5 X+4 Y=\frac{41}{60}\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}16 X+20 Y=\frac{8}{3} \\ 25 X+20 Y=\frac{41}{12}\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}9 X=\frac{3}{4} \\ 4 X+5 Y=\frac{2}{3}\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}X=\frac{1}{12} \\ Y=\frac{1}{15}\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}x=12 \\ y=15\end{array} .\right.\right.\right.\right.\right.\)

Vậy vậy tốc độ lúc lên dốc là 12km/h, vận tốc lúc xuống dốc là 15km/h.

Bài 13 (trang 133 SGK Toán 9 Tập 2):

Lời giải

Đồ thị hàm số đi qua A(-2; 1) ⇒ 1 = a.(-2)2 ⇒ \[ a=\frac{1}{4} \] 

Vậy hàm số: \[ y=\frac{1}{4}{{x}^{2}} \] 

x-4-2024
\[ y=\frac{1}{4}{{x}^{2}} \] 41014

Đồ thị hàm số:

Bài 14 (trang 133 SGK Toán 9 Tập 2):

B

Bài 15 (trang 133 SGK Toán 9 Tập 2):

C

Bài 16 (trang 133 SGK Toán 9 Tập 2):

Lời giải

\[ 2{{x}^{3}}-{{x}^{2}}+3x+6=0 \] 

\[ \Leftrightarrow 2{{x}^{3}}+2{{x}^{2}}-3{{x}^{2}}-3x+6x+6=0 \] 

\[ \Leftrightarrow 2{{x}^{2}}(x+1)-3x(x+1)+6(x+1)=0 \] 

\[ \Leftrightarrow (x+1)\left( 2{{x}^{2}}-3x+6 \right)=0 \] 

\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}} x+1=0\text{            }\left( 1 \right)  \\    2{{x}^{2}}-3x+6=0\left( 2 \right)  \\ \end{array} \right. \) .

Giải (1) x+1=0 được x=-1

Giải (2) \[ 2{{x}^{2}}-3x+6=0 \] 

=> phương trình vô nghiệm.

Vậy phương trình đã cho có một nghiệm x = -1.

b) x.(x+1). ( x+ 4). (x+ 5) = 12

⇔ [ x. (x + 5)]. [(x+1). (x+ 4)] = 12

⇔ ( x2 + 5x).(x2 + 4x + x + 4) – 12=0

⇔ (x2 + 5x).(x2+ 5x + 4) -12 = 0 (*)

Đặt t= x2 + 5x + 2

=> x2 + 5x = t – 2 và x2 + 5x+ 4 = t+ 2

Khi đó phương trình (*) trở thành:

( t – 2). (t+ 2) - 12 = 0

⇔ t2 – 4 – 12 = 0

⇔ t2 – 16 = 0

⇔ t2 = 16 ⇔ t= ±4

+ Với t = 4 ta có: x2 + 5x + 2 = 4

⇔ x2 +5x – 2 = 0 (**)

Có a= 1, b = 5, c = - 2 và ∆ = 52 – 4.1.(-2) = 33 > 0

Nên (**) có 2 nghiệm phân biệt là: \[ {{x}_{1}}=\frac{-5+\sqrt{33}}{2},{{x}_{2}}=\frac{-5-\sqrt{33}}{2} \] .

* Với t = - 4 ta có: x2 + 5x + 2= - 4

⇔ x2 + 5x + 6 = 0 (***)

Có a= 1, b = 5, c= 6 và ∆ = 52 – 4.1.6 = 1 > 0

Phương trình (***) có 2 nghiệm là: \[ {{x}_{1}}=\frac{-5+\sqrt{1}}{2}=-2,{{x}_{2}}=\frac{-5-\sqrt{1}}{2}=-3 \] .

Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là: \[ \text{S}=\left\{ \frac{-5\pm \sqrt{33}}{2};-2;-3 \right\} \] .

Bài 17 (trang 133 SGK Toán 9 Tập 2):

Lời giải

Gọi số ghế băng lúc đầu là x ( ghế băng), ( x∈N*, x> 2)

Số học sinh ngồi trên mỗi ghế là \[ \frac{40}{x} \] ( học sinh ) .

Khi bớt đi 2 ghế băng thì còn lại x- 2 ( ghế băng ) và khi đó, mỗi ghế có \[ \frac{40}{x-2} \] học sinh ngồi.

Theo giả thiết, nếu ta bớt đi 2 ghế băng thì mỗi ghế còn lại phải xếp thêm 1 học sinh nên ta có phương trình:

\[ \frac{40}{x-2}-1=\frac{40}{x} \] 

⇔ 40 x – x(x -2) = 40 (x- 2)

⇔ 40x – x2 + 2x = 40x – 80

⇔ - x2 + 2x + 80 = 0

Có a = -1, b= 2; c = 80 và ∆ = 22 – 4.(-1). 80 = 324

Nên phương trình trên có 2 nghiệm là: x1 = -8 ( loại) và x2 =10 ( thỏa mãn)

Vậy lúc đầu có 10 ghế băng.

Bài 18 (trang 133 SGK Toán 9 Tập 2):

Lời giải

Gọi số đo độ dài hai cạnh góc vuông của tam giác vuông đó là x(cm), y (cm)

( 0 < y < x < 10)

Hai cạnh góc vuông có độ dài hơn kém nhau 2cm nên ta được x – y = 2 , (1).

Theo định lý Pytago ta có: x2 + y2 = 102 = 100 (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: \(\left\{ \begin{matrix}  x-y=2\text{         }(1)  \\    {{x}^{2}}+{{y}^{2}}=100\text{ }\left( 2 \right)  \\ \end{matrix} \right.\)

Từ (1) suy ra: x= y+ 2 thay vào (2) ta được:

( y + 2)2 + y2 = 100

⇔ y2+ 4y + 4 + y2 = 100

⇔ 2y2 + 4y – 96 = 0 hay y2 + 2y – 48 = 0

Giải ra ta được: y1 = 6; y2 = -8 < 0 ( loại)

Với y= 6 suy ra x = 8.

Vậy độ dài các cạnh góc vuông của tam giác vuông là 6cm và 8cm.

Phần hình học

Bài 1 (trang 134 SGK Toán 9 Tập 2):

Lời giải

Gọi độ dài một cạnh của hình chữ nhật là x (x > 0, cm)

Nửa chu vi hình chữ nhật là: 20 : 2 = 10 (cm)

Độ dài cạnh còn lại của hình chữ nhật là : 10 – x (cm).

Theo định lý Pytago ta có:

AC2 = x2 + (10 – x)2

= x2 + 100 – 20x + x2

= 2x2 – 20x + 100

= 2(x2 – 10x + 25) + 50

= 2.(x – 5)2 + 50 ≥ 50.

⇒ AC ≥ 5√2

Dấu "=" xảy ra khi (x – 5)2 = 0 ⇔ x = 5.

Vậy đường chéo AC nhỏ nhất là 5√2cm khi ABCD là hình vuông cạnh bằng 5cm.

Bài 2 (trang 134 SGK Toán 9 Tập 2):

Chọn đáp án B.

Bài 3 (trang 134 SGK Toán 9 Tập 2):

Lời giải

Gọi G là trọng tâm \[ \Delta ABC \] \[ \Rightarrow BG=\frac{2}{3}BN \] .

Xét \[ \Delta BCN \] vuông tại C, đường cao CG có: \[ B{{C}^{2}}=BG.BN \] 

Hay \[ B{{C}^{2}}=\frac{2}{3}BN.BN\Leftrightarrow B{{C}^{2}}=\frac{2}{3}B{{N}^{2}}\Leftrightarrow {{a}^{2}}=\frac{2}{3}B{{N}^{2}} \] 

\[ \Rightarrow B{{N}^{2}}=\frac{3}{2}{{a}^{2}}\Leftrightarrow BN=\frac{a\sqrt{3}}{\sqrt{2}}. \] 

Bài 4 (trang 134 SGK Toán 9 Tập 2):

D

Bài 5 (trang 134 SGK Toán 9 Tập 2):

Lời giải

Đặt AH = x (x > 0),

Xét \[ \Delta ABC \] vuông tại C, \[ CH\bot AB \] 

Ta có: \[ A{{C}^{2}}=AH.AB \] ( hệ thức lượng trong tam giác vuông)

\[ \Leftrightarrow {{15}^{2}}=x\left( x+6 \right) \] 

\[ \Leftrightarrow {{x}^{2}}+16x-225=0 \] 

\(\Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & {{x}_{1}}=9\left( TM \right) \\  & {{x}_{2}}=-25\left( L \right) \\ \end{align} \right.\)

Suy ra AH = 9.

Ta lại có: \[ A{{C}^{2}}=A{{H}^{2}}+C{{H}^{2}}\Rightarrow CH=\sqrt{A{{C}^{2}}-A{{H}^{2}}}=\sqrt{{{15}^{2}}-{{9}^{2}}}=12 \] .

Diện tích tam giác \[ \Delta ABC \] là:

\[ S=\frac{1}{2}AB.CH=\frac{1}{2}\left( AH+HB \right).CH=\frac{1}{2}.\left( 9+16 \right).12=150 \] .

Bài 6 (trang 134 SGK Toán 9 Tập 2):

B

Bài 7 (trang 134 SGK Toán 9 Tập 2):

Lời giải

a) Xét \[ \Delta \text{ABC} \] đều:

\[ \Rightarrow \widehat{\text{B}}=\widehat{\text{C}}={{60}^{{}^\circ }} \] 

Xét \[ \Delta \text{BDO : }\widehat{\text{B}}+\widehat{{{\text{D}}_{1}}}+\widehat{\text{BOD}}={{180}^{{}^\circ }} \] 

\[ \Rightarrow \widehat{{{D}_{1}}}={{180}^{{}^\circ }}-\widehat{\text{B}}-\widehat{\text{BOD}} \] 

\[ ={{180}^{{}^\circ }}-{{60}^{{}^\circ }}-\widehat{\text{BOD}} \] 

\[ ={{120}^{{}^\circ }}-\widehat{\text{BOD}}(1) \] 

Ta lại có:

\[ \widehat{\text{BOD}}+\widehat{\text{DOE}}+\widehat{\text{EOC}}=\widehat{\text{BOC}}={{180}^{{}^\circ }} \] 

\[ \Rightarrow \widehat{\text{EOC}}={{180}^{{}^\circ }}-\widehat{\text{DOE}}-\widehat{\text{BOD}} \] 

\[ ={{180}^{{}^\circ }}-{{60}^{{}^\circ }}-\widehat{\text{BOD}} \] 

\[ ={{120}^{{}^\circ }}-\widehat{\text{BOD}} \] (2)

Từ (1) và (2) suy ra \[ \widehat{{{D}_{1}}}=\widehat{EOC} \] .

Xét \[ \Delta \text{BOD} \] và \[ \Delta \text{CEO} \] ,có:

\[ \widehat{\text{B}}=\widehat{\text{C}}={{60}^{{}^\circ }} \] 

\[ \widehat{{{\text{D}}_{1}}}=\widehat{\text{EOC}}(\text{cmt}) \] 

\[ \Rightarrow \Delta \text{BOD}\sim\Delta \text{CEO} \] ( g – g )

\[ \Rightarrow \frac{\text{BO}}{\text{CE}}=\frac{\text{BD}}{\text{CO}}\Rightarrow \text{BD}.\text{CE}=\text{BO}\cdot \text{CO}=\frac{B{{C}^{2}}}{4} \] (không đổi).

b) Ta có \[ \Delta \text{BOD}\sim\Delta \text{CEO} \] (cmt)

\[ \Rightarrow \frac{\text{OD}}{\text{EO}}=\frac{\text{BD}}{\text{CO}} \] 

Mà \[ CO=BO\Rightarrow \frac{OD}{EO}=\frac{BD}{BO} \] 

Xét \[ \Delta \text{BOD} \] và \[ \Delta \text{OED} \] , ta có:

\[ \widehat{\text{B}}=\widehat{\text{O}}\left( ={{60}^{{}^\circ }} \right) \] 

\[ \frac{\text{BD}}{\text{BO}}=\frac{\text{OD}}{\text{OE}} \] 

\[ \Rightarrow \Delta \text{BOD}\sim\Delta \text{OED} \] ( c – g – c ).

\[ \Rightarrow \widehat{BDO}=\widehat{ODE} \] 

\[ \Rightarrow  \] DO là phân giác của \[ \widehat{BDE} \] .

c) Gọi đường tròn tâm O tiếp xúc với AB có bán kính R.

Gọi H, K là chân đường vuông góc hạ từ O đến DE và AB.

⇒ R = OK.

O ∈ đường phân giác của \[ \widehat{BDE} \] 

⇒ OH = OK.

⇒ OH = R

⇒ DE tiếp xúc với (O; R) (đpcm).

Bài 8 (trang 134 SGK Toán 9 Tập 2):

Lời giải

(O; R) và (O’; R’) tiếp xúc ngoài với nhau

⇒ OO’ = R + r.

O’A ⊥ BP, OB ⊥ BP ⇒ O’A // OB

⇒ \[\Delta PAO~\sim ~\Delta PBO\]

\[ \Rightarrow \frac{{{\text{O}}^{\prime }}\text{A}}{\text{OB}}=\frac{{{\text{O}}^{\prime }}\text{P}}{\text{OP}}=\frac{\text{AP}}{\text{BP}}=\frac{4}{8}=\frac{1}{2} \] 

⇒ OB = 2.O'A hay R = 2.r

và OP = 2.O’P ⇒ O’P = OO’ = R + r = 3.r

ΔO’AP vuông tại A nên: O’P2 = O’A2 + AP2

⇔ (3r)2 = r2 + 42 ⇔ 8r2 = 16 ⇔ r2 = 2

Diện tích hình tròn (O’; r) là: S = π.r2 = 2π (cm2).

Bài 9 (trang 135 SGK Toán 9 Tập 2):

Chọn D

Bài 10 (trang 135 SGK Toán 9 Tập 2):

Chọn C

Bài 11 (trang 135 SGK Toán 9 Tập 2):

Lời giải

\[ \widehat{BPD} \] là góc có đỉnh P nằm ngoài đường tròn

\[ \Rightarrow \widehat{\text{BPD}}=\frac{1}{2}.(\text{sd}\overset\frown{BD}-\text{sd}\overset\frown{AC}) \] 

\[ \widehat{AQC} \] là góc nội tiếp chắn \[ \overset\frown{AC} \] 

\[ \Rightarrow \widehat{\text{AQC}}=\frac{1}{2}\cdot \text{sd}\overset\frown{\text{AC}} \] 

\[ \Rightarrow \widehat{\text{BPD}}+\widehat{\text{AQC}}=\frac{1}{2}\cdot (\text{sd}\overset\frown{\text{BD}}-\text{sd}\overset\frown{\text{AC}})+\frac{1}{2}\cdot \text{sd}\overset\frown{\text{AC}}=\frac{1}{2}\cdot \text{sd}\overset\frown{\text{BD}}=\frac{1}{2}\cdot (\text{sd}\overset\frown{\text{BQ}}+\text{sd}\overset\frown{\text{BQ}})=\frac{1}{2}\cdot \left( {{42}^{0}}+{{38}^{{}^\circ }} \right)={{40}^{{}^\circ }} \] 

Bài 13 (trang 135 SGK Toán 9 Tập 2:

Lời giải

Ta có: \[ \widehat{BAC} \] là góc nội tiếp chắn cung \[ \overset\frown{BC} \] 

\[ \Rightarrow \widehat{BAC}=\frac{1}{2}sd\overset\frown{BC}=60{}^\circ  \] .

\[ \Rightarrow \widehat{DAC}=120{}^\circ  \] 

Xét \[ \Delta ADC \] có AD = AC

\[ \Rightarrow \Delta ADC \] cân tại A

\[ \Rightarrow \widehat{D}=\frac{180{}^\circ -\widehat{CAD}}{2}=\frac{180{}^\circ -120{}^\circ }{2}=30{}^\circ  \] 

Hay \[ \widehat{BDC}=30{}^\circ  \] không đổi.

⇒ D nằm trên cung chứa góc 300 dựng trên đoạn BC.

+ Khi A ≡ C thì D ≡ C, khi A ≡ B thì D ≡ E (BE là tiếp tuyến của đường tròn (O) tại B).

Vậy khi A di chuyển trên cung lớn BC thì D di chuyển trên cung CE thuộc cung chứa góc 30º dựng trên BC.

Bài 14 (trang 135 SGK Toán 9 Tập 2):

Lời giải

Phân tích:

Giả sử dựng được ΔABC thỏa mãn điều kiện.

Gọi O là tâm đường tròn nội tiếp tam giác.

\[ \Rightarrow \widehat{\text{BOC}}={{180}^{{}^\circ }}-(\widehat{\text{OBC}}+\widehat{\text{OCB}}) \] 

\[ ={{180}^{{}^\circ }}-\frac{1}{2}\cdot (\widehat{\text{ABC}}+\widehat{\text{ACB}}) \] 

\[ ={{180}^{{}^\circ }}-\frac{1}{2}\cdot \left( {{180}^{{}^\circ }}-\widehat{\text{A}} \right) \] 

\[ ={{180}^{{}^\circ }}-\frac{1}{2}\cdot \left( {{180}^{{}^\circ }}-{{60}^{{}^\circ }} \right)={{120}^{{}^\circ }} \] .

⇒ O thuộc cung m chứa góc 120º dựng trên đoạn BC.

+ Bán kính đường tròn nội tiếp ΔABC bằng 1

⇒ O cách BC 1cm

⇒ O thuộc d // BC và cách BC 1cm.

Vậy O là giao của cung m và đường thẳng d.

+ Khi đó ta dựng được đường tròn (O; 1) nội tiếp ΔABC

⇒ A là giao của tiếp tuyến đi qua B và C của đường tròn (O; 1).

Cách dựng:

+ Dựng BC = 4cm

+ Dựng đường thẳng (d) song song với BC và cách BC một khoảng là 1 cm.

+ Dựng cung m chứa góc 120º trên đoạn BC.

+ (d) cắt cung m tại O.

+ Dựng đường tròn tâm O, bán kính 1cm.

+ Kẻ tiếp tuyến từ B và C đến (O; 1cm).

Hai tiếp tuyến cắt nhau tại A.

ΔABC là tam giác cần dựng.

Chứng minh:

+ Theo cách dựng có BC = 4cm .

+ O thuộc cung 120º dựng trên đoạn BC

\[ \Rightarrow \widehat{BOC}=120{}^\circ  \] 

+ A là giao của 2 tiếp tuyến

⇒ (O; 1cm) tiếp xúc với AB và AC

Mà khoảng cách từ O đến BC = 1cm

⇒ (O; 1cm) cũng tiếp xúc với BC

⇒ (O; 1cm) là đường tròn nội tiếp ΔABC

\[ \Rightarrow \widehat{BAC}=\frac{1}{2}\widehat{BOC}=60{}^\circ  \] 

Vậy ΔABC có BC = 4cm, \[ \widehat{BAC}=60{}^\circ  \] , đường tròn nội tiếp có bán kính 1cm thỏa mãn yêu cầu.

Biện luận:

Vì d cắt m tại hai điểm nên bài toán có hai nghiệm hình ΔABC và ΔA’BC như hình vẽ.

Bài 15 (trang 135 SGK Toán 9 Tập 2):

Lời giải

a) Ta có: \[ \widehat{BAC} \] là góc nội tiếp chắn cung \[ \overset\frown{BC} \] 

\[ \widehat{CBD} \] là góc tạo bởi tia tiếp tuyến BD và dây BC

\[ \Rightarrow \widehat{\text{BAC}}=\widehat{\text{CBD}} \] 

Xét \[ \Delta \text{ABD} \] và \[ \Delta \text{BCD} \] , có:

\[ \widehat{\text{BAC}}=\widehat{\text{CBD}} \] 

\[ \widehat{{{\text{D}}_{1}}} \] chung

\[ \Rightarrow \Delta \text{ABD}\sim\Delta \text{BCD} \] 

\[ \Rightarrow \frac{\text{BD}}{\text{CD}}=\frac{\text{AD}}{\text{BD}}\Rightarrow \text{B}{{\text{D}}^{2}}=\text{AD}.\text{CD} \] 

b) ΔABC cân tại A

⇒ AB = AC

\[ \Rightarrow \overset\frown{AB}=\overset\frown{AC} \] 

\[ \widehat{{{D}_{1}}} \] và \[ \widehat{{{E}_{1}}} \] là các góc có đỉnh ở bên ngoài đường tròn nên ta có:

\[ \widehat{{{\text{D}}_{1}}}=\frac{1}{2}\cdot (\text{sd}\widehat{\text{AB}}-\text{sd}\widehat{\text{BC}}) \] 

\[ \widehat{{{\text{E}}_{1}}}=\frac{1}{2}\cdot (\text{sd}\widehat{\text{AC}}-\text{sd}\widehat{\text{BC}}) \] 

Mà \[ \widehat{\text{AB}}=\widehat{\text{AC}} \] 

\[ \Rightarrow \widehat{{{\text{D}}_{1}}}=\widehat{{{\text{E}}_{1}}} \] 

⇒ D và E cùng nhìn BC dưới 1 góc bằng nhau

⇒ BCDE là tứ giác nội tiếp.

c. Tứ giác BCDE nội tiếp

\[\Rightarrow \widehat{\text{BED}}+\widehat{\text{BCD}}={{180}^{\circ }}\]

Mà \[\widehat{\text{BCD}}+\widehat{\text{ACB}}={{180}^{\circ }}\](hai góc kề bù)

\[\Rightarrow \widehat{\text{BED}}=\widehat{\text{ACB}}\]

Mà \[\widehat{\text{ABC}}=\widehat{\text{ACB}}\]( \[ \Delta ABC \] cân tại A)

\[\Rightarrow \widehat{\text{BED}}=\widehat{\text{ABC}}\]

⇒ BC // DE (hai góc đồng vị bằng nhau).

Bài 16 (trang 135 SGK Toán 9 Tập 2):

Lời giải

Xét hai trường hợp:

a) Đường cao hình trụ bằng 3cm, đường kính đáy trụ bằng 2cm (hình a)

⇒ bán kính đáy trụ: R = 1cm.

Sxq = 2πRh = 2π.1.3 = 6π (cm2)

V = πR2h = π.12.3 = 3π (cm3)

b) Đường cao hình trụ bằng 2cm, đường kính đáy trụ bằng 3cm

⇒ bán kính đáy trụ: R = 1,5 cm

Sxq = 2πRh = 2π.1,5.2 = 6π (cm2)

V = πR2h = π.(1,5)2.2 = 4,5π (cm3)

Bài 17 (trang 135 SGK Toán 9 Tập 2):

Lời giải

Trong tam giác vuông ABC ta có:

AB = BC.sinC = BC \[ \sin 30{}^\circ =4.\frac{1}{2}=2\left( dm \right) \] 

AC = BC.cosC = BC \[ \text{cos}30{}^\circ =4.\frac{\sqrt{3}}{2}=2\sqrt{3}\left( dm \right) \] 

Nên \[ {{S}_{xq}}=\pi Rl=\pi .2.4=8\pi \left( d{{m}^{2}} \right) \] 

\[ V=\frac{1}{3}\pi {{R}^{2}}h=\frac{1}{3}\cdot \pi {{.2}^{2}}\cdot 2\sqrt{3}=\frac{8}{3}\pi \sqrt{3}\left( d{{m}^{3}} \right) \] .

Bài 18 (trang 135 SGK Toán 9 Tập 2):

Lời giải

Diện tích mặt cầu: \[ S=4\pi {{R}^{2}} \] 

Thể tích khối cầu: \[ V=\frac{4}{3}\pi {{R}^{3}} \] 

Theo đề bài: \[ 4\pi \cdot {{\text{R}}^{2}}=\frac{4}{3}\pi \cdot {{\text{R}}^{3}}\Rightarrow \text{R}=3(~\text{m}) \] 

Vậy diện tích mặt cầu và thể tích khối cầu là: \(\mathrm{V}=\mathrm{S}=4 \pi \mathrm{R}^{2}=36 \pi\) .

Gợi ý Giải bài tập sách giáo khoa ôn tập cuối năm toán học 9, toán 9 hình học lý thuyết trọng tâm giúp học sinh nắm vững kiến thức chính xác nhất

Đánh giá (397)
ican
  • Một thương hiệu của 
    ICAN
  • ICAN
  • ICAN © 2023, All Rights Reserved.

  • Trụ sở Hồ Chí Minh: B0003 C/C Sarina, Khu đô thị Sala, Khu phố 3, Đường Hoàng Thế Thiện, Phường An Lợi Đông, TP. Thủ Đức

  • Văn phòng Hà Nội: Tòa nhà 25T2 Đường Hoàng Đạo Thúy, Phường Trung Hòa, Quận Cầu Giấy