ĐỘ DÀI ĐƯỜNG TRÒN, CUNG TRÒN
A. LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM
1. Công thức tính độ dài đường tròn
“ Độ dài đường tròn” hay còn được gọi là “ chu vi đường tròn” được kí hiệu là C.
Ta có: C = 2πR hoặc C = πd
Trong đó: C là độ dài đường tròn.
R là bán kính đường tròn.
d là đường kính của đường tròn
2. Công thức tính độ dài cung tròn
Độ dài cung tròn n° là \[ l=\frac{\pi Rn}{180} \] .
Trong đó: l là độ dài cung tròn n°.
R là bán kính đường tròn.
n là số đo độ của góc ở tâm.
B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP
Dạng 1: Tính độ dài đường tròn, cung tròn
Phương pháp:
Sử dụng các công thức tính chu vi đường tròn và độ dài cung tròn.
Dạng 2: Bài toán tổng hợp
Phương pháp:
Sử dụng linh hoạt các kiến thức đã học để tính góc ở tâm, bán kinh đường tròn. Từ đó tính được độ dài đường tròn và độ dài cung tròn.
C. GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA
Bài 65 (trang 94 SGK Toán 9 Tập 2):
Lời giải
Bán kính R của đường tròn | 10 | 5 | 3 | 1,5 | 3,2 | 4 |
Đường kính d của đường tròn | 20 | 10 | 6 | 3 | 6,4 | 8 |
Độ dài C của đường tròn | 62,8 | 31,4 | 18,84 | 9,42 | 20 | 25,12 |
Bài 66 (trang 95 SGK Toán 9 Tập 2):
Lời giải
a) Độ dài cung 60º của đường tròn bán kính 2dm là :
\[ l=\frac{\pi .2.60}{180}=\frac{2\pi }{3}\approx 2,1dm=21cm \]
b) Chu vi vành xe đạp có đường kính 650mm là :
C = π.d = 650π ≈ 2042 mm.
Bài 67 (trang 95 SGK Toán 9 Tập 2):
Lời giải
Áp dụng công thức: l= πRn/180.
Bán kính R của đường tròn | 10cm | 40,8cm | 21cm | 6,2cm | 21,1cm |
Số đo no của cung tròn | 90o | 50o | 57o | 41o | 25o |
Độ dài l của cung tròn | 15,7cm | 35,6cm | 20,8cm | 4,4cm | 9,2cm |
Bài 68 (trang 95 SGK Toán 9 Tập 2):
Lời giải
Gọi C1, C2, C3 lần lượt là độ dài của các nửa đường tròn đường kính AC, AB, BC, ta có:
\[ {{C}_{1}}=\frac{1}{2}\pi AC;{{C}_{2}}=\frac{1}{2}\pi AB;{{C}_{3}}=\frac{1}{2}\pi BC \] .
Nhận thấy \[ {{C}_{2}}+{{C}_{3}}=\frac{1}{2}\pi AB+\frac{1}{2}\pi BC=\frac{1}{2}\pi \left( AB+BC \right)=\frac{1}{2}\pi AC={{C}_{1}} \] .
Vậy độ dài của nửa đường tròn đường kính AC bằng tổng các độ dài của hai nửa đường tròn đường kính AB và BC.
Bài 69 (trang 95 SGK Toán 9 Tập 2):
Lời giải
ds = 1,672m = 167,2cm; dt = 88cm.
Chu vi bánh xe trước: CT = π.dt
Chu vi bánh xe sau: CS = π.ds.
Gọi số vòng bánh xe trước lăn được khi bánh xe sau lăn được 10 vòng là x (vòng).
Quãng đường bánh xe sau và bánh xe trước đi được luôn bằng nhau nên ta có :
CT.x = CS.10
\[ \Rightarrow x=\frac{{{C}_{s}}.10}{{{C}_{T}}}=\frac{\pi .{{d}_{s}}.10}{\pi .{{d}_{T}}}=\frac{{{d}_{s}}.10}{{{d}_{T}}}=\frac{167,2.10}{88}=19 \] (vòng).
Vậy khi bánh xe sau lăn được 10 vòng thì bánh xe trước lăn được 19 vòng.
Bài 70 (trang 95 SGK Toán 9 Tập 2):
Lời giải
- Hình 52:
Phần gạch chéo là đường tròn đường kính d = 4cm
⇒ Chu vi của hình là: C = π.d = 4π ≈ 12,57 (cm)
- Hình 53:
Chu vi gồm nửa đường tròn C; cung tròn C1 và cung tròn C2.
+ C là nửa đường tròn đường kính d = 4cm
⇒ C = π.d/2 = 2π (cm)
+ C1 và C2 là \[ \frac{1}{4} \] đường tròn bán kính R = 2cm
\[ \Rightarrow {{C}_{1}}={{C}_{2}}=\frac{1}{4}.2\pi .R=\frac{1}{4}2\pi .2=\pi \] (cm)
Vậy chu vi phần gạch chéo bằng:
C + C1 + C2 = 2π + π + π = 4π ≈ 12,57 (cm)
- Hình 54:
Chu vi cần tính là 4 cung tròn C1 ; C2; C3; C4.
C1 ; C2; C3; C4 đều là \[ \frac{1}{4} \] đường tròn bán kính R = 2cm.
⇒ \[{{C}_{1}}~=\text{ }{{C}_{2}}~=\text{ }{{C}_{3}}~=\text{ }{{C}_{4}}=\frac{1}{4}.2\pi .R=\frac{1}{4}2\pi .2=\pi \]
⇒ Chu vi phần hình gạch chéo:
C = C1 + C2 + C3 + C4 = 4π ≈ 12,57 (cm).
Bài 71 (trang 96 SGK Toán 9 Tập 2):
Lời giải
Cách vẽ:
Vẽ hình vuông ABCD có cạnh dài 1cm
Vẽ \[\frac{1}{4}\] cung tròn tâm B, bán kính 1cm, ta được cung \[ \overset\frown{AE} \] .
Vẽ \[\frac{1}{4}\] cung tròn tâm C, bán kính 2cm, ta được cung \[ \overset\frown{EF} \] .
Vẽ \[\frac{1}{4}\] cung tròn tâm D, bán kính 3cm, ta được cung \[ \overset\frown{FG} \] .
Vẽ \[\frac{1}{4}\] cung tròn tâm A, bán kính 5cm, ta được cung \[ \overset\frown{HG} \] .
Độ dài đường xoắn
\[ {{l}_{\overset\frown{AE}}}=\frac{1}{4}.2\pi .1=\frac{1}{4}.2\pi \] (cm);
\[ {{l}_{\overset\frown{EF}}}=\frac{1}{4}.2\pi .2=\frac{1}{4}.4\pi \] (cm);
\[ {{l}_{\overset\frown{FG}}}=\frac{1}{4}.2\pi .3=\frac{1}{4}.6\pi \] (cm);
\[ {{l}_{\overset\frown{GH}}}=\frac{1}{4}.2\pi .5=\frac{1}{4}.10\pi \] (cm).
Tổng độ dài các đường xoắn là: \[ {{l}_{\overset\frown{AE}}}+{{l}_{\overset\frown{EF}}}+{{l}_{\overset\frown{FG}}}+{{l}_{\overset\frown{GH}}}=\frac{1}{4}.2\pi +\frac{1}{4}.4\pi +\frac{1}{4}.6\pi +\frac{1}{4}.10\pi =\frac{1}{4}\left( 2\pi +4\pi +6\pi +10\pi \right)=\frac{11\pi }{2} \] (cm).
Bài 72 (trang 96 SGK Toán 9 Tập 2):
Lời giải
+ Bánh xe có chu vi C = 540 mm
+ Đặt \[ \widehat{AOB}=n \]
\[ \Rightarrow \overset\frown{AB} \] có độ dài: \[ l=\frac{C.n}{360}\Rightarrow n=\frac{l.360}{C}=\frac{200.360}{540}\approx 130{}^\circ 20' \] .
Bài 73 (trang 96 SGK Toán 9 Tập 2):
Lời giải
Gọi bán kính Trái Đất là R thì đường tròn lớn của Trái Đất dài:C=2πR=40000
Do đó: \[ \pi R=20000 \] km
\[ \Rightarrow R=\frac{20000}{\pi }\approx 6369 \]
Bài 74 (trang 96 SGK Toán 9 Tập 2):
Lời giải
Vĩ độ của Hà Nội là \[ 20{}^\circ 01' \] có nghĩa là cung kinh tuyến từ Hà Nội đến xích đạo có số đo là \[ \left( 20\frac{1}{6} \right){}^\circ \] .
Vậy độ dài cung kinh tuyến từ Hà Nội đến xích đạo là: \[ l=\frac{40000.20\frac{1}{6}}{360}\approx 2224 \] (km)
Bài 75 (trang 96 SGK Toán 9 Tập 2):
Lời giải
Đặt góc \[ \widehat{MOB}=\alpha \]
\[ \Rightarrow \widehat{MO'B}=2\alpha \] (góc nội tiếp và góc ở tâm của đường tròn (O’)).
Độ dài cung \[ \overset\frown{MB} \] là: \[ {{l}_{MB}}=\frac{\pi .O'M.2\alpha }{180{}^\circ }=\frac{\pi .O'M.\alpha }{90{}^\circ } \] (1)
Độ dài cung \[ \overset\frown{MA} \] là: \[ {{l}_{MA}}=\frac{\pi .OM.\alpha }{180{}^\circ }=\frac{2\pi .O'M.\alpha }{180{}^\circ }=\frac{\pi .O'M.\alpha }{90{}^\circ } \] (2)
(Vì OM=2O’M)
Từ (1) và (2) suy ra: \[ {{l}_{MA}}={{l}_{MB}} \] .
Bài 76 (trang 96 SGK Toán 9 Tập 2):
Lời giải
+ sđ \[ \overset\frown{AmB}=\widehat{AOB}=120{}^\circ \]
\[ \Rightarrow \] Độ dài cung \[ \overset\frown{AmB} \] : \[ l=\frac{\pi .R.120}{180}=R.\frac{2\pi }{3} \]
+ Độ dài đường gấp khúc AOB: \[d\text{ }=\text{ }AO+OB\text{ }=\text{ }2R\].
+ Ta có: \[ \pi >3\Rightarrow \frac{2\pi }{3}>2\Rightarrow 1>d \] .
Vậy độ dài cung AmB lớn hơn độ dài đường gấp khúc AOB.
Gợi ý Giải bài tập sách giáo khoa độ dài đường tròn cung tròn toán học 9, toán 9 hình học lý thuyết trọng tâm giúp học sinh nắm vững kiến thức chính xác nhất