BÀI 4: LIÊN HỆ GIỮA PHÉP CHIA VÀ PHÉP KHAI PHƯƠNG
I. LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM
Định lý
Với số a không âm và số b dương , ta có x \[ \sqrt{\frac{A}{B}}=\frac{\sqrt{A}}{\sqrt{B}} \] .
Với biểu thức không âm và biểu thức dương ta có
II. PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP
Dạng 1: Thực hiện phép tính
Phương pháp:
Áp dụng công thức khai phương một thương
Với biểu thức A không âm và biểu thức B dương ta có \[ \sqrt{\frac{A}{B}}=\frac{\sqrt{A}}{\sqrt{B}} \]
Dạng 2: Rút gọn biểu thức
Phương pháp:
-Áp dụng công thức khai phương một thương
Với biểu thức A không âm và biểu thức B dương ta có \[ \sqrt{\frac{A}{B}}=\frac{\sqrt{A}}{\sqrt{B}} \]
-Áp dụng hằng đẳng thức \[ {{(\sqrt{A})}^{2}}=\sqrt{{{A}^{2}}}=A \] .
Dạng 3: Giải phương trình
Phương pháp:
Sử dụng công thức khai phương một thương để đưa phương trình đã cho về các dạng quen thuộc
\(\sqrt{A}=B\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}} B\ge 0 \\ A={{B}^{2}} \\ \end{array} \right. \)
\(\sqrt{A}=\sqrt{B}\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}} B\ge 0\text{ (hay }A\ge 0) \\ A=B \\ \end{array} \right. \)
III. GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA
Bài 28 (trang 18 SGK Toán 9 Tập 1):
Tính:
Lời giải:
\(\begin{array}{*{35}{l}} \text{ a) }\sqrt{\frac{289}{225}}=\frac{\sqrt{289}}{\sqrt{225}}=\frac{\sqrt{{{17}^{2}}}}{\sqrt{{{15}^{2}}}}=\frac{17}{15}=1\frac{2}{15} \\ \text{ b) }\sqrt{2\frac{14}{25}}=\sqrt{\frac{64}{25}}=\frac{\sqrt{64}}{\sqrt{25}}=\frac{\sqrt{{{8}^{2}}}}{\sqrt{{{5}^{2}}}}=\frac{8}{5}=1\frac{3}{5} \\ \text{ c) }\sqrt{\frac{0,25}{9}}=\sqrt{\frac{25}{900}}=\frac{\sqrt{25}}{\sqrt{900}}=\frac{5}{30}=\frac{1}{6} \\ \text{ d) }\sqrt{\frac{8,1}{1,6}}=\sqrt{\frac{81}{16}}=\frac{\sqrt{81}}{\sqrt{16}}=\frac{9}{4} \\ \end{array}\)
Bài 29 (trang 19 SGK Toán 9 Tập 1):
Lời giải:
\(\begin{array}{*{35}{l}} \text{ a) }\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{18}}=\sqrt{\frac{2}{18}}=\sqrt{\frac{1}{9}}=\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{9}}=\frac{1}{3} \\ \text{ b) }\frac{\sqrt{15}}{\sqrt{735}}=\sqrt{\frac{15}{735}}=\sqrt{\frac{1}{49}}=\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{49}}=\frac{1}{7} \\ \text{ c) }\frac{\sqrt{12500}}{\sqrt{500}}=\sqrt{\frac{12500}{500}}=\sqrt{25}=5 \\ \text{ d) }\frac{\sqrt{{{6}^{5}}}}{\sqrt{{{2}^{3}}\cdot {{3}^{5}}}}=\sqrt{\frac{{{6}^{5}}}{{{2}^{3}}\cdot {{3}^{5}}}}=\sqrt{\frac{{{(2.3)}^{5}}}{{{2}^{3}}\cdot {{3}^{5}}}}=\sqrt{\frac{{{2}^{5}}\cdot {{3}^{5}}}{{{2}^{3}}\cdot {{3}^{5}}}}=\sqrt{{{2}^{2}}}=2 \\ \end{array}\)
Bài 30 (trang 19 SGK Toán 9 Tập 1):
Lời giải:
\[\text{ a) }\frac{\text{y}}{\text{x}}\cdot \sqrt{\frac{{{\text{x}}^{2}}}{{{\text{y}}^{4}}}}=\frac{\text{y}}{\text{x}}\cdot \sqrt{\frac{{{\text{x}}^{2}}}{{{\text{y}}^{4}}}}=\frac{\text{y}}{\text{x}}\cdot \frac{|\text{x}|}{\left| {{\text{y}}^{2}} \right|}=\frac{\text{y}}{\text{x}}\cdot \frac{\text{x}}{{{\text{y}}^{2}}}=\frac{1}{\text{y}}\]
(Vì x > 0 nên |x| = x; y2 > 0 với mọi y ≠ 0)
\[\text{ b) }2{{\text{y}}^{2}}\cdot \sqrt{\frac{{{\text{x}}^{4}}}{4{{\text{y}}^{2}}}}=2{{\text{y}}^{2}}\cdot \frac{{{\text{x}}^{2}}}{|2\text{y}|}=2{{\text{y}}^{2}}\cdot \frac{{{\text{x}}^{2}}}{-2\text{y}}=-{{\text{x}}^{2}}\text{y}\]
(Vì x2 ≥ 0 với mọi x; và vì y < 0 nên |2y| = – 2y)
\[\text{ c) }5\times y\cdot \sqrt{\frac{25{{\text{x}}^{2}}}{{{\text{y}}^{6}}}}=5\times \text{y}\cdot \frac{|5\text{x}|}{\mid {{\text{y}}^{3}}}=5\times \text{y}\cdot \frac{-5\text{x}}{{{\text{y}}^{3}}}=-\frac{25{{\text{x}}^{2}}}{{{\text{y}}^{2}}}\]
(Vì x < 0 nên |5x| = – 5x; y > 0 nên |y3| = y3)
\(\begin{array}{*{35}{l}} \text{ d) }0,2{{\text{x}}^{3}}\cdot {{\text{y}}^{3}}\cdot \sqrt{\frac{16}{{{\text{x}}^{4}}{{\text{y}}^{8}}}}=0,2{{\text{x}}^{3}}{{\text{y}}^{3}}\cdot \frac{\sqrt{16}}{\sqrt{{{\text{x}}^{4}}\cdot {{\text{y}}^{8}}}} \\ =0,2\cdot {{\text{x}}^{3}}{{\text{y}}^{3}}\cdot \frac{4}{\mid {{\text{x}}^{2}}{{\text{y}}^{4}}}=\frac{0,8\text{x}}{\text{y}} \\ \end{array}\)
(Vì x2y4 = (xy2)2 > 0 với mọi x ≠ 0, y ≠ 0)
Bài 31 (trang 19 SGK Toán 9 Tập 1):
Lời giải:
\(\begin{aligned} &\text { a) } \sqrt{25-16}=\sqrt{9}=\sqrt{3^{2}}=3\\ &\sqrt{25}-\sqrt{16}=\sqrt{5^{2}}-\sqrt{4^{2}}=5-4=1 \end{aligned}\)
Vì 3 > 1 nên
\[\text{ }\sqrt{25-16}>\sqrt{25}-\sqrt{16}\]
b) Với a>b>0 để chứng minh \[\sqrt{a}-\sqrt{b}<\sqrt{a-b}\]
ta qui về so sánh \[\sqrt{a}\] với \[\sqrt{a-b}\]+ \[\sqrt{b}\]
Áp dụng kết quả bài 26, với hai số (a-b) và b ta sẽ được \[\sqrt{a-b}\]+ \[\sqrt{b}\]> \[\sqrt{a-b+b}\] hay
\[\sqrt{a-b}\]+ \[\sqrt{b}\]> \[\sqrt{a}\]
Vậy \[\sqrt{a}-\sqrt{b}<\sqrt{a-b}\]
Bài 32 (trang 19 SGK Toán 9 Tập 1):
Lời giải:
\(\begin{align} & a)\,\,\sqrt{1}\frac{9}{16}\cdot 5\frac{4}{9}\cdot 0,01=\sqrt{\frac{25}{16}}\cdot \frac{49}{9}\cdot \frac{1}{100} \\ & =\sqrt{\frac{25}{16}}\sqrt{\frac{49}{9}}\sqrt{\frac{1}{100}} \\ & =\frac{5.7}{4.3.10} \\ & =\frac{7}{24} \\ \end{align}\)
\(\begin{align} & b)\,\,\sqrt{1,44.1,21-1,44.0,4}=\sqrt{1,44(1,21-0,4)} \\ & =\sqrt{1,44.0,81}=\sqrt{\frac{144}{100}\cdot \frac{81}{100}} \\ & =\frac{\sqrt{144}}{\sqrt{100}}\cdot \frac{\sqrt{81}}{\sqrt{100}}= \\ & \frac{12}{10}\cdot \frac{9}{10}=\frac{108}{100} \\ & =1,08 \\ \end{align}\)
\(\begin{align} & c)\,\,\sqrt{\frac{{{165}^{2}}-{{124}^{2}}}{164}}=\sqrt{\frac{(165-124)(165+124)}{164}} \\ & =\sqrt{\frac{41.289}{164}}=\sqrt{\frac{289}{4}} \\ & =\frac{\sqrt{289}}{\sqrt{4}}=\sqrt{\frac{{{17}^{2}}}{{{2}^{2}}}}=\frac{17}{2} \\ \end{align} \)
\(\begin{align} & d)\,\,\sqrt{\frac{{{149}^{2}}-{{76}^{2}}}{{{457}^{2}}-{{384}^{2}}}}=\sqrt{\frac{(149-76)(149+76)}{(457-384)(457+384)}} \\ & =\sqrt{\frac{73.255}{73.841}}=\sqrt{\frac{255}{841}}= \\ & \frac{\sqrt{255}}{\sqrt{841}}=\frac{\sqrt{{{15}^{2}}}}{\sqrt{{{29}^{2}}}}=\frac{15}{29} \\ \end{align}\)
Bài 33 (trang 19 SGK Toán 9 Tập 1):
Lời giải:
a)
\(\begin{array}{*{35}{l}} \sqrt{2}\cdot x-\sqrt{50}=0 \\ \Leftrightarrow \sqrt{2}x=\sqrt{50} \\ \Leftrightarrow x=\frac{\sqrt{50}}{\sqrt{2}} \\ \Leftrightarrow x=\sqrt{\frac{50}{2}} \\ \Leftrightarrow x=\sqrt{25} \\ \Leftrightarrow x=\sqrt{{{5}^{2}}} \\ \Leftrightarrow x=5 \\ \end{array}\)
Vậy x=5
b)
\(\begin{array}{*{35}{l}} \sqrt{3}x+\sqrt{3}=\sqrt{12}+\sqrt{27} \\ \Leftrightarrow \sqrt{3}x=\sqrt{12}+\sqrt{27}-\sqrt{3} \\ \Leftrightarrow \sqrt{3}x=\sqrt{4.3}+\sqrt{9.3}-\sqrt{3} \\ \Leftrightarrow \sqrt{3}x=2\sqrt{3}+3\sqrt{3}-\sqrt{3} \\ \Leftrightarrow \sqrt{3}x=(2+3-1)\sqrt{3} \\ \Leftrightarrow \sqrt{3}x=4\sqrt{3} \\ \Leftrightarrow x=4\sqrt{3}:\sqrt{3} \\ \Leftrightarrow x=4 \\ \end{array}\)
c)
\(\begin{array}{*{35}{l}} \sqrt{3}{{x}^{2}}-\sqrt{12}=0 \\ \Leftrightarrow \sqrt{3}{{x}^{2}}=\sqrt{12} \\ \Leftrightarrow \sqrt{3}{{x}^{2}}=\sqrt{4.3} \\ \Leftrightarrow \sqrt{3}{{x}^{2}}=\sqrt{4}\cdot \sqrt{3} \\ \Leftrightarrow {{x}^{2}}=\sqrt{4} \\ \Leftrightarrow {{x}^{2}}=\sqrt{{{2}^{2}}} \\ \Leftrightarrow {{x}^{2}}=2 \\ \Leftrightarrow \sqrt{{{x}^{2}}}=\sqrt{2} \\ \Leftrightarrow |x|=\sqrt{2} \\ \Leftrightarrow x=\pm \sqrt{2} \\ \text{ } \\ \end{array}\)
d)
\(\begin{array}{*{35}{l}} \frac{{{x}^{2}}}{\sqrt{5}}-\sqrt{20}=0 \\ \Leftrightarrow \frac{{{x}^{2}}}{\sqrt{5}}=\sqrt{20} \\ \Leftrightarrow {{x}^{2}}=\sqrt{20}\cdot \sqrt{5} \\ \Leftrightarrow {{x}^{2}}=\sqrt{20.5} \\ \Leftrightarrow {{x}^{2}}=\sqrt{100} \\ \Leftrightarrow {{x}^{2}}=\sqrt{{{10}^{2}}} \\ \Leftrightarrow {{x}^{2}}=10 \\ \Leftrightarrow \sqrt{{{x}^{2}}}=\sqrt{10} \\ \Leftrightarrow |x|=\sqrt{10} \\ \Leftrightarrow x=\pm \sqrt{10} \\ \end{array}\)
Bài 34 (trang 19 SGK Toán 9 Tập 1):
Lời giải:
\(\begin{array}{*{35}{l}} \text{ a) }a{{b}^{2}}\sqrt{\frac{3}{{{a}^{2}}{{b}^{4}}}}=a{{b}^{2}}\cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{{{a}^{2}}{{b}^{4}}}}=a{{b}^{2}}\cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{{{a}^{2}}}\cdot \sqrt{{{\left( {{b}^{2}} \right)}^{2}}}} \\ =a{{b}^{2}}\cdot \frac{\sqrt{3}}{|a|\cdot {{b}^{2}}\mid }=a{{b}^{2}}\cdot \frac{\sqrt{3}}{-a{{b}^{2}}}=-\sqrt{3} \\ \end{array}\)
(vì a < 0 nên |a| = -a, b2 > 0 với mọi b ≠ 0 nên | b2| = b2 )
\(\begin{array}{*{35}{l}} \text{ b) }\sqrt{\frac{27{{(a-3)}^{2}}}{48}}=\sqrt{\frac{9{{(a-3)}^{2}}}{16}}=\frac{\sqrt{9}\cdot \sqrt{{{(a-3)}^{2}}}}{\sqrt{16}} \\ \quad =\frac{3\cdot |a-3|}{4}=\frac{3(a-3)}{4} \\ \end{array}\)
(vì a > 3 nên |a - 3| = a - 3)
\(\begin{array}{*{35}{l}} \text{ c) }\sqrt{\frac{9+12a+4{{a}^{2}}}{{{b}^{2}}}}=\frac{{{\sqrt{3}}^{2}}+2\cdot 3\cdot 2a+{{(2a)}^{2}}}{\sqrt{{{b}^{2}}}} \\ =\frac{\sqrt{{{(3+2a)}^{2}}}}{\sqrt{{{b}^{2}}}}=\frac{|3+2a|}{|b|} \\ \end{array}\)
Vì b < 0 nên |b| = -b
Vì a ≥ -1,5 nên 3 + 2a ≥ 0. Do đó: |3 + 2a| = 3 + 2a
Vậy:
\[\frac{|3+2a|}{|b|}=\frac{3+2a}{-b}=-\frac{2a+3}{b}\]
\(\begin{array}{*{35}{l}}\text{ d) }(a-b)\sqrt{\frac{ab}{{{(a-b)}^{2}}}}=(a-b)\frac{\sqrt{ab}}{\sqrt{{{(a-b)}^{2}}}} \\ =(a-b)\frac{\sqrt{ab}}{|a-b|}=(a-b)\frac{\sqrt{ab}}{-(a-b)}=-\sqrt{ab} \\ \end{array}\)
(vì a < b < 0 và b < 0 nên |a - b| = -(a - b), ab > 0)
Bài 35 (trang 20 SGK Toán 9 Tập 1):
Lời giải:
\[\text{ a) }\sqrt{{{(x-3)}^{2}}}=9\Leftrightarrow |x-3|=9\]
- Với x ≥ 3 thì |x - 3| = x - 3 nên ta được:
x - 3 = 9 ⇔ x = 12
- Với x < 3 thì |x - 3| = 3 - x nên ta được:
3 - x = 9 ⇔ x = -6
Vậy phương trình có hai nghiệm: x = 12; x = -6
\(\begin{array}{*{35}{l}} \text{ b) }\sqrt{4{{x}^{2}}+4x+1}=6\Leftrightarrow \sqrt{{{(2x+1)}^{2}}}=6 \\ \Leftrightarrow |2x+1|=6 \\ \text{ +)}\,\,x\ge -\frac{1}{2}\text{ th }\!\!\grave{\mathrm{i}}\!\!\text{ }2x+1=6\Leftrightarrow 2x=5\Leftrightarrow x=\frac{5}{2} \\ \text{ }\,\text{+)}\,\,x<-\frac{1}{2}\text{ th }\!\!\grave{\mathrm{i}}\!\!\text{ }-(2x+1)=6\Leftrightarrow -2x=7\Leftrightarrow x=-\frac{7}{2} \\ \end{array}\)
Bài 36 (trang 20 SGK Toán 9 Tập 1):
Lời giải:
a) Đúng, vì \[\sqrt{0,0001}\] = \[\sqrt{0,{{01}^{2}}}\] = 0,01
b) Sai, vì vế phải không có nghĩa.
(Lưu ý: \[\sqrt{A}\] có nghĩa khi A ≥ 0)
c) Đúng, vì 7 = \[\sqrt{{{7}^{2}}}\] = \[\sqrt{49}\] > \[\sqrt{39}\]
6 = \[\sqrt{{{6}^{2}}}\]= \[\sqrt{36}\]< \[\sqrt{39}\]
d) Đúng, vì 4 - \[\sqrt{{{4}^{2}}}\] = \[\sqrt{16}\]- \[\sqrt{13}\]= \[\sqrt{16}\]- \[\sqrt{13}\]> 0
Do đó: (4 - \[\sqrt{13}\]).2x < \[\sqrt{3}\] (4 - \[\sqrt{13}\]) (giản ước hai vế với (4 - \[\sqrt{13}\]))
⇔ 2x < \[\sqrt{3}\]
Bài 37 (trang 20 SGK Toán 9 Tập 1):
Lời giải:
Dựa vào định lý Pitago, ta thấy mỗi cạnh của tứ giác MNPQ là đường chéo của hình chữ nhật do hai ô vuông ghép lại, nên hình đó có bốn cạnh bằng nhau và bằng
\[\sqrt{{{1}^{2}}+{{2}^{2}}}=\sqrt{5}(\text{dvdd})\]
Tứ giác MNPQ là hình thoi có bốn cạnh bằng nhau.
Mỗi đường chéo của tứ giác MNPQ là đường chéo của hình chữ nhật do ba ô vuông ghép lại, nên giác NMPQ có hai đường chéo bằng nhau và bằng
\[\sqrt{{{1}^{2}}+{{3}^{2}}}=\sqrt{10}(\text{ dvdd })\]
Hình thoi MNPQ là hình vuông có hai đường chéo bằng nhau.
Diện tích hình vuông MNPQ:
S = (\[\sqrt{5}\])2 = 5 (cm2)
Trên đây là gợi ý giải bài tập Toán 9 Bài 4. Liên hệ giữa phép chia và phép khai phương do giáo viên Ican trực tiếp biên soạn theo chương trình mới nhất. Chúc các bạn học tập vui vẻ