BÀI 2: TỈ SỐ LƯỢNG GIÁC CỦA GÓC NHỌN
I. LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM
1. Định nghĩa
+ Tỉ số giữa cạnh đối và cạnh huyền được gọi là sin của góc α, kí hiệu là sinα.
+ Tỉ số giữa cạnh kề và cạnh huyền được gọi là côsin của góc α, kí hiệu là cosα.
+ Tỉ số giữa cạnh đối và cạnh kề được gọi là tang của góc α, kí hiệu là tanα.
+ Tỉ số giữa cạnh kề và cạnh đối được gọi là côtang của góc α, kí hiệu là cotα.
Hay sinα = AB/BC; cosα = AC/BC; tanα = AB/AC; cotα = AC/AB.
Nhận xét: Nếu α là một góc nhọn thì 0 < sinα < 1; 0 < cosα < 1; tanα > 0; cotα > 0
2. Tỉ số lượng giác của hai góc phụ nhau
Với hai góc α, β mà α + β = 90°,
Ta có: sinα = cosβ; cosα = sinβ; tanα = cotβ; cotα = tanβ.
Nếu hai góc nhọn α và β có sinα = sinβ hoặc cosα = cosβ thì α = β.
3. Một số góc đặc biệt
Với một số góc đặc biệt ta có:
\(\begin{array}{*{35}{l}}\sin {{30}^{{}^\circ }}=\cos {{60}^{{}^\circ }}=\frac{1}{2};\sin {{45}^{{}^\circ }}=\cos {{45}^{{}^\circ }}=\frac{\sqrt{2}}{2} \\ \cos {{30}^{{}^\circ }}=\sin {{60}^{{}^\circ }}=\frac{\sqrt{3}}{2};\cot {{60}^{{}^\circ }}=\tan {{30}^{{}^\circ }}=\frac{1}{\sqrt{3}} \\ \tan {{45}^{{}^\circ }}=\cot {{45}^{{}^\circ }}=1;\cot {{30}^{{}^\circ }}=\tan {{60}^{{}^\circ }}=\sqrt{3} \\ \end{array} \)
II. PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP
Dạng 1: Tính tỉ số lượng giác của góc nhọn, tính cạnh, tính góc
Phương pháp:
Sử dụng các tỉ số lượng giác của góc nhọn, định lý Py-ta-go, hệ thức lượng trong tam giác vuông để tính toán các yếu tố cần thiết.
Dạng 2: So sánh các tỉ số lượng giác giữa các góc
Phương pháp:
Bước 1 : Đưa các tỉ số lượng giác về cùng loại (sử dụng tính chất "Nếu hai góc phụ nhau thì sin góc này bằng côsin góc kia, tang góc này bằng côtang góc kia")
Bước 2: Với góc nhọn $$ \alpha ;\beta $$ ta có:
$$ \sin \alpha <\sin \beta \Leftrightarrow \alpha <\beta ;\cos \alpha <\cos \beta \Leftrightarrow \alpha >\beta $$
$$ \tan \alpha <\tan \beta \Leftrightarrow \alpha <\beta ;\cot \alpha <\cot \beta \Leftrightarrow \alpha >\beta $$
Dạng 3: Rút gọn, tính giá trị biểu thức lượng giác
Phương pháp:
Ta thường sử dụng các kiến thức
+ Nếu là một góc nhọn bất kỳ thì
\(\begin{array}{*{35}{l}} 0<\sin \alpha <1;0<\cos \alpha <1,\tan \alpha >0;\cot \alpha >0,{{\sin }^{2}}\alpha +{{\cos }^{2}}\alpha =1;\tan \alpha \cdot \cot \alpha =1 \\ \tan \alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha };\cot \alpha =\frac{\cos \alpha }{\sin \alpha } \\ 1+{{\tan }^{2}}\alpha =\frac{1}{{{\cos }^{2}}\alpha };1+{{\cot }^{2}}\alpha =\frac{1}{{{\sin }^{2}}\alpha } \\ \end{array} \)
+ Nếu hai góc phụ nhau thì sin góc này bằng côsin góc kia, tang góc này bằng côtang góc kia.
III. GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA
Bài 10 (trang 76 SGK Toán 9 Tập 1):
ΔABC vuông tại A có góc C = 34o.
Khi đó:
$$ \sin {{34}^{{}^\circ }}=\sin \text{C}=\frac{\text{AB}}{\text{CB}};\cos {{34}^{{}^\circ }}=\cos \text{C}=\frac{\text{AC}}{\text{CB}} $$
$$ \tan {{34}^{{}^\circ }}=\tan \text{C}=\frac{\text{AB}}{\text{AC}};\cot {{34}^{{}^\circ }}=\cot \text{C}=\frac{\text{AC}}{\text{AB}} $$
Bài 11 (trang 76 SGK Toán 9 Tập 1):
Lời giải:
Ta có: AC = 0,9m = 9dm; BC = 1,2m = 12dm
Theo định lí Pitago, ta có:
$$ \text{AB}=\sqrt{\text{A}{{\text{C}}^{2}}+\text{B}{{\text{C}}^{2}}}=\sqrt{{{9}^{2}}+{{12}^{2}}}=15(\text{dm}) $$
$$ \sin B=\frac{AC}{AB}=\frac{9}{15}=\frac{3}{5};\cos B=\frac{BC}{AB}=\frac{12}{15}=\frac{4}{5} $$
$$ \tan B=\frac{AC}{BC}=\frac{9}{12}=\frac{3}{4};\cot B=\frac{BC}{AC}=\frac{12}{9}=\frac{4}{3} $$
Vì A và B là hai góc phụ nhau nên suy ra:
$$ \sin \text{A}=\cos \text{B}=\frac{4}{5};\cos \text{A}=\sin \text{B}=\frac{3}{5} $$
$$ \text{tanA}=\operatorname{cotg}\text{B}=\frac{4}{3};\cot \text{A}=\tan \text{B}=\frac{3}{4} $$
Bài 12 (trang 76 SGK Toán 9 Tập 1):
Lời giải:
(Áp dụng tính chất lượng giác của hai góc phụ nhau.)
$$ {{60}^{{}^\circ }}+{{30}^{{}^\circ }}={{90}^{{}^\circ }}=>\sin {{60}^{{}^\circ }}=\cos {{30}^{{}^\circ }} $$
$$ {{75}^{{}^\circ }}+{{15}^{{}^\circ }}={{90}^{{}^\circ }}=>\cos {{75}^{{}^\circ }}=\sin {{15}^{{}^\circ }} $$
$$ {{52}^{o}}{{30}^{\prime }}+37{}^\circ {{30}^{\prime }}={{90}^{{}^\circ }}=>\sin {{52}^{o}}{{30}^{\prime }}=\cos {{37}^{{}^\circ }}{{30}^{\prime }} $$
$$ {{82}^{{}^\circ }}+{{8}^{{}^\circ }}={{90}^{{}^\circ }}=>\cot {{82}^{{}^\circ }}=\tan 8 $$
$$ {{80}^{{}^\circ }}+{{10}^{{}^\circ }}={{90}^{{}^\circ }}=>\tan {{80}^{{}^\circ }}=\cot {{10}^{{}^\circ }} $$
Bài 13 (trang 77 SGK Toán 9 Tập 1):
a)
Vẽ góc vuông xOy. Trên tia Ox, lấy điểm A sao cho OA = 2cm. Lấy A làm tâm, vẽ cung tròn bán kính 3cm sao cho cung tròn này cắt tia Oy tại B. Khi đó ∠OBA = α.
Thật vậy:
\[\sin \alpha =\sin OBA=\frac{\text{OA}}{\text{AB}}=\frac{2}{3}\]
b)
Vẽ góc vuông xOy. Trên tia Ox lấy điểm P sao cho OP = 3cm. Lấy P làm tâm, vẽ cung tròn bán kính 5cm sao cho cung này cắt tia Oy tại Q. Khi đó ∠OPQ = α.
Thật vậy:
$$ \cos \alpha =\cos \text{OPQ}=\frac{\text{OP}}{\text{OQ}}=\frac{3}{5}=0,6 $$
c)
Vẽ góc vuông xOy. Trên tia Ox lấy điểm A sao cho OA = 4(cm). Trên tia Oy lấy điểm B sao cho OB = 3cm. Khi đó ∠OAB = α.
Thật vậy:
$$ \tan \alpha =\tan \text{OAB}=\frac{\text{OB}}{\text{OA}}=\frac{3}{4} $$
d)
Vẽ góc vuông xOy. Trên tia Ox lấy điểm C sao cho OC = 3cm. Trên tia Oy lấy D sao cho OD = 2cm. Khi đó OCD = α.
Thật vậy:
$$ \cot \alpha =\cot \text{OCD}=\frac{\text{OC}}{\text{OD}}=\frac{3}{2} $$
Bài 14 (trang 77 SGK Toán 9 Tập 1):
Lời giải:
Dựng góc nhọn ∠xOy = α tùy ý.
Trên tia Ox lấy điểm B bất kì, kẻ BA ⊥ Oy (A ∈ Oy)
Theo định nghĩa tỉ số lượng giác của góc nhọn, ta có:
$$ \sin \alpha =\frac{AB}{OB},\cos \alpha =\frac{OA}{OB};\tan \alpha =\frac{AB}{OA},\cot \alpha =\frac{OA}{AB} $$
a)
$$ \frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }=\frac{\frac{\text{AB}}{\text{OB}}}{\frac{\text{OA}}{\text{OB}}}=\frac{\text{AB}}{\text{OA}}=\tan \alpha ;\frac{\cos \alpha }{\sin \alpha }=\frac{\frac{\text{OA}}{\text{OB}}}{\frac{\text{AB}}{\text{OB}}}=\frac{\text{OA}}{\text{AB}}=\cot \alpha $$
$$ \tan \alpha \cdot \operatorname{cotg}\alpha =\frac{\text{AB}}{\text{OA}}\cdot \frac{\text{OA}}{\text{AB}}=1 $$
b)
Áp dụng định lí pitago trong tam giác vuông OAB có:
OB2 = OA2 + AB2
Từ đó ta có:
$$ {{\sin }^{2}}\alpha +{{\cos }^{2}}\alpha =\frac{\text{A}{{\text{B}}^{2}}}{\text{O}{{\text{B}}^{2}}}+\frac{\text{O}{{\text{A}}^{2}}}{\text{O}{{\text{B}}^{2}}}=\frac{\text{A}{{\text{B}}^{2}}+\text{C}{{\text{A}}^{2}}}{\text{O}{{\text{B}}^{2}}}=\frac{\text{O}{{\text{B}}^{2}}}{\text{O}{{\text{B}}^{2}}}=1 $$ (đpcm)
Bài 15 (trang 77 SGK Toán 9 Tập 1):
Lời giải:
Ta có: ∠B + ∠C = 90o nên sinC = cosB = 0,8
Từ công thức sin2C + cos2C = 1 ta suy ra:
$$ \cos \text{C }=\sqrt{1-{{\sin }^{2}}C}=>\cos \text{C }=\sqrt{1-0,{{8}^{2}}}=\sqrt{1-0,64}=\sqrt{0,36}=0,6\text{ } $$
$$ \operatorname{tanC}=\frac{\sin C}{\cos C}=\frac{0,8}{0,6}=\frac{4}{3};\cot C=\frac{\cos C}{\sin C}=\frac{0,6}{0,8}=0,75 $$
Vậy $$ \sin \text{C}=0,8;\cos \text{C}=0,6;\tan \text{C}=\frac{4}{3};\cot \text{C}=0,75 $$
Bài 16 (trang 77 SGK Toán 9 Tập 1):
Lời giải:
Giả sử ta có tam giác ABC như trên hình. Ta có:
$$ \sin B=\frac{AC}{BC}\Rightarrow AC=BC\cdot \sin B=8\cdot \sin {{60}^{{}^\circ }}=4\sqrt{3} $$
Bài 17 (trang 77 SGK Toán 9 Tập 1):
Kí hiệu như hình trên.
Ta có tam giác ABH là vuông cân (vì\[\angle B={{45}^{o}}\]) nên AH = 20.
Áp dụng định lí Pitago trong tam giác vuông AHC có:
\[{{x}^{2}}=A{{H}^{2}}+H{{C}^{2}}={{20}^{2}}+{{21}^{2}}=841\]
\[=>x=\sqrt{841}=29\]