ican
Giải SGK Toán 9
Bài 2: Căn thức bậc hai và hằng đẳng thức

Căn thức bậc hai và hằng đẳng thức

Toán 9 Bài 2. Căn thức bậc hai và hằng đẳng thức: Lý thuyết trọng tâm, giải bài tập sách giáo khoa Bài 2. Căn thức bậc hai và hằng đẳng thức: giúp học sinh nắm vững kiến thức ngắn gọn

Ican

BÀI 2: CĂN THỨC BẬC HAI VÀ HẰNG ĐẲNG THỨC

I. LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM

\(\sqrt {{A^2}}  = \left| A \right| = \left\{ \begin{array}{l}\,\,\,\,A\,\,\,\,\,{\rm{khi}}\,\,\,A \ge 0\\ - A\,\,\,\,\,\,{\rm{khi}}\,\,\,A < 0\end{array} \right.\)

II. PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP

 

Dạng 1: Tính giá trị của biểu thức chứa căn bậc hai

Phương pháp:

Sử dụng hằng đẳng thức \(\sqrt {{A^2}}  = \left| A \right| = \left\{ \begin{array}{l}\,\,\,\,A\,\,\,\,\,{\rm{khi}}\,\,\,A \ge 0\\ - A\,\,\,\,\,\,{\rm{khi}}\,\,\,A < 0\end{array} \right.\)

Dạng 2: Rút gọn biểu thức chứa căn bậc hai

Phương pháp:

- Đưa các biểu thức dưới dấu căn về hằng đẳng thức (thông thường là \({\left( {a + b} \right)^2} = {a^2} + 2ab + {b^2}\), \({\left( {a - b} \right)^2} = {a^2} - 2ab + {b^2}\))

- Sử dụng hằng đẳng thức \(\sqrt {{A^2}}  = \left| A \right| = \left\{ \begin{array}{l}\,\,\,\,A\,\,\,\,\,{\rm{khi}}\,\,\,A \ge 0\\ - A\,\,\,\,\,\,{\rm{khi}}\,\,\,A < 0\end{array} \right.\)

Dạng 3: Tìm điều kiện để biểu thức chứa căn bậc hai có nghĩa

Phương pháp:

Sử dụng kiến thức biểu thức \(\sqrt A \) có nghĩa khi và chỉ khi \(A \ge 0.\)

Dạng 4: Giải phương trình chứa căn bậc hai

Phương pháp:

Ta chú ý một số phép biến đổi tương đương liên quan đến căn thức bậc hai sau đây:

\(\sqrt A  = B \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}B \ge 0\\A = {B^2}\end{array} \right.\) ; \(\sqrt {{A^2}}  = B \Leftrightarrow \left| A \right| = B\)

\(\sqrt A  = \sqrt B  \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}A \ge 0\left( { \vee B \ge 0} \right)\\A = B\end{array} \right.\) ; \(\sqrt {{A^2}}  = \sqrt {{B^2}}  \Leftrightarrow \left| A \right| = \left| B \right| \Leftrightarrow A =  \pm B\)

III. GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA

Bài 6 (trang 10 SGK Toán 9 Tập 1):

Lời giải:

  1. Điều kiện xác định của \[\sqrt{\frac{\text{a}}{\text{3}}}\] là:

\[\frac{\text{a}}{\text{3}}\]\[\ge \] 0 \[\Rightarrow \] a \[\ge \]0

b) Điều kiện -5a ≥ 0 => a ≤ 0

c) Điều kiện 4 – a ≥ 0 => -a ≥ -4 = > a ≤ 4

d) Điều kiện 3a + 7 ≥ 0 => 3a ≥ -7

=> a ≥ -7/3

Bài 7 (trang 10 SGK Toán 9 Tập 1):

Lời giải:

  1. \[\sqrt{{{\text{(0,1)}}^{2}}}\] = |0,1| = 0,1
  1. \[\sqrt{{{\text{(-0,3)}}^{2}}}\] = |-0,3| = 0,3
  1. -\[\sqrt{{{\text{(-1,3)}}^{2}}}\] = -|1,3| = -1,3
  1. -0,4\[\sqrt{{{\text{(-0,4)}}^{2}}}\] = -0,4|0,4| = -0,4.0,4 = -0,16

 

Bài 8 (trang 10 SGK Toán 9 Tập 1):

Lời giải:

a) \[\sqrt{{{\text{(2-}\sqrt{3}\text{)}}^{2}}}\]= |2-\[\sqrt{3}\]| = 2 - \[\sqrt{3}\]

(vì 2 - \[\sqrt{3}\]> 0 do 2 = \[\sqrt{4}\] mà \[\sqrt{4}\] > \[\sqrt{3}\])

  1. \[\sqrt{{{\text{(3-}\sqrt{11}\text{)}}^{2}}}\]= |3-\[\sqrt{11}\]| = \[\sqrt{11}\]-3

(vì \[\sqrt{11}\]- 3 > 0 do 3 = \[\sqrt{9}\] mà \[\sqrt{11}\] > \[\sqrt{9}\])

  1. 2\[\sqrt{{{a}^{2}}}\] = 2|a| = 2a với a ≥ 0
  2. \[3\sqrt{{{\text{(a-2)}}^{2}}}\] = 3|a-2| = 3(2-a)

(vì a < 2 nên 2 – a > 0)

Bài 9 (trang 11 SGK Toán 9 Tập 1):

Lời giải:

  1. \[\sqrt{{{x}^{2}}}\] = 7 ⇔ |x| = 7

⇔ x1 = 7 và x2 = -7

  1. \[\sqrt{{{x}^{2}}}\] = |-8| ⇔ \[\sqrt{{{x}^{2}}}\] = 8

⇔ |x| = 8 ⇔ x1 = 8 và x2 = -8

  1. \[\sqrt{4{{x}^{2}}}\] = 6 ⇔ \[\sqrt{{{(2x)}^{2}}}\] = 6 ⇔ |2x| = 6

⇔ |x| = 3 ⇔ x1 = 3 và x2 = -3

  1. \[\sqrt{9{{x}^{2}}}\] = 12 ⇔ \[\sqrt{{{(3x)}^{2}}}\] = 12

⇔ |3x| = 12 ⇔ |x| = 4

⇔ x1 = 4 và x2 = -4

 

Bài 11 (trang 11 SGK Toán 9 Tập 1):

Lời giải:

  1. \[\sqrt{16}.\sqrt{25}+\sqrt{196}:\sqrt{49}\] = \[\sqrt{{{4}^{2}}}.\sqrt{{{5}^{2}}}+\sqrt{{{14}^{2}}}:\sqrt{{{7}^{2}}}\]

= 4.5 + 14:7 = 20 + 2 = 22

  1. 36: \[\sqrt{{{2.3}^{2}}.18}-\sqrt{169}\] = 36: \[\sqrt{{{3}^{2}}.36}-\sqrt{{{13}^{2}}}=\sqrt{{{3}^{2}}{{.6}^{2}}}-13\]

= 36 : 18 – 13 = - 11

  1. \[\sqrt{\sqrt{81}}=\sqrt{\sqrt{{{9}^{2}}}}=\sqrt{9}=\sqrt{{{3}^{2}}}=3\]
  2. \[\sqrt{{{3}^{2}}+{{4}^{2}}}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=\sqrt{{{5}^{2}}}=5\]

Bài 12 (trang 11 SGK Toán 9 Tập 1)

 

Lời giải:

 

  1. Ta có \[\sqrt{2x+7}\] có nghĩa khi 2x+7≥ 0

2x + 7 ≥ 0 ⇔ 2x ≥ -7

\[\Leftrightarrow \]x ≥\[\frac{\text{-7}}{2}\]

Vậy \[\sqrt{2x+7}\] có nghĩa khi x ≥\[\frac{\text{-7}}{2}\]

 

  1. \[\sqrt{-3x\text{ }+\text{ }4}\] có nghĩa khi -3x + 4 ≥ 0

-3x + 4 ≥ 0⇔ -3x ≥ -4

\[\Leftrightarrow \]x \[\le \frac{4}{3}\]

  1. \[\sqrt{\frac{\text{1}}{\text{-1+x}}}\]có nghĩa khi \[\frac{\text{1}}{\text{-1+x}}\] > 0

\[\frac{\text{1}}{\text{-1+x}}\] > 0 \[\Leftrightarrow \]-1+x > 0 \[\Leftrightarrow \] x >1

  1. \[\sqrt{1+{{x}^{2}}}\]có nghĩa khi \[1+{{x}^{2}}\ge 0\]

Mà \[1+{{x}^{2}}\ge 0\]với mọi x (Vì \[{{x}^{2}}\]≥0 nên \[1+{{x}^{2}}>0\] )

 

Bài 13 (trang 11 SGK Toán 9 Tập 1)

Lời giải:

a) 2\[\sqrt{{{a}^{2}}}\] - 5a = 2|a| - 5a

= -2a - 5a = -7a (do a < 0 nên |a| = -a)

b) \[\sqrt{25{{a}^{2}}}\] + 3a = 5|a| + 3a = 5a + 3a = 8a

(do a ≥ 0 nên |a| = a)

c) \[\sqrt{9{{a}^{4}}}\]+ 3a2 = \[\sqrt{{{(3{{a}^{2}})}^{2}}}\] + \[3{{a}^{2}}\]

= |\[3{{a}^{2}}\]| + \[3{{a}^{2}}\] = \[3{{a}^{2}}\] + \[3{{a}^{2}}\] = \[3{{a}^{2}}\]

(do \[{{a}^{2}}\] ≥ 0 với mọi a nên |\[3{{a}^{2}}\]| = \[3{{a}^{2}}\])

d) 5\[\sqrt{4{{a}^{6}}}\] - \[3{{a}^{3}}\] = 5\[\sqrt{{{(2{{a}^{3}})}^{2}}}\] - \[3{{a}^{3}}\]

= 5.\[2{{a}^{3}}\]- \[3{{a}^{3}}\]

Với a < 0 thì |\[2{{a}^{3}}\]| = –\[2{{a}^{3}}\] nên

5|\[2{{a}^{3}}\]| - \[3{{a}^{3}}\] = -10\[{{a}^{3}}\] - 3\[{{a}^{3}}\] = -13\[{{a}^{3}}\]

Bài 14 (trang 11 SGK Toán 9 Tập 1):

Lời giải:

a) x2 - 3 = x2 - (\[\sqrt{3}\])2 = (x - \[\sqrt{3}\])(x + \[\sqrt{3}\])

b) x2 - 6 = x2 - \[\sqrt{6}\])2 = (x - \[\sqrt{6}\])(x + \[\sqrt{6}\])

c) x2 + 2\[\sqrt{3}\] x + 3 = x2 + 2\[\sqrt{3}\] x + (\[\sqrt{3}\])2

= (x + \[\sqrt{3}\])2

d) x2 - 2\[\sqrt{5}\] x + 5 = x2 - 2\[\sqrt{5}\] x + (\[\sqrt{5}\])2

= \[{{(x-\sqrt{5})}^{2}}\]

Bài 15 (trang 11 SGK Toán 9 Tập 1):

Lời giải:

a) x2 – 5 = 0 ⇔ x2 = 5 ⇔ x1 = \[\sqrt{5}\]; x2 = -\[\sqrt{5}\]

Vậy phương trình có hai nghiệm x1 = \[\sqrt{5}\]; x2 = -\[\sqrt{5}\]

Cách khác:

x2 – 5 = 0 ⇔ x2 – (\[\sqrt{5}\])2 = 0

⇔ (x - \[\sqrt{5}\])(x + \[\sqrt{5}\]) = 0

hoặc x - \[\sqrt{5}\] = 0 ⇔ x = \[\sqrt{5}\]

hoặc x + \[\sqrt{5}\] = 0 ⇔ x = -\[\sqrt{5}\]

b) x2 – 2\[\sqrt{11}\]x + 11 = 0

⇔ x2 – 2\[\sqrt{11}\]x + (\[\sqrt{11}\])2 = 0

⇔ (x - \[\sqrt{11}\])2 = 0

⇔ x - \[\sqrt{11}\]= 0 ⇔ x = \[\sqrt{11}\]

Vậy phương trình có một nghiệm là x = \[\sqrt{11}\]

Bài 16 (trang 12 SGK Toán 9 Tập 1):

 

Giả sử con muỗi nặng m (gam), còn con voi nặng V (gam). Ta có:

m2 + V2 = V2 + m2

Cộng cả hai vế với -2Mv, ta có:

m2 – 2mV + V2 = V2 – 2mV + m2

hay (m - V)2 = (V - m)2.

Lấy căn bậc hai mỗi vế của đẳng thức trên, ta được:

\[\sqrt{{{\text{(m-V)}}^{2}}}=\sqrt{{{\text{(V-m)}}^{2}}}\]

Do đó m – V = V – m

Từ đó ta có 2m = 2V, suy ra m = V. Vậy con muỗi nặng bằng con voi (!).

Lời giải:

Sai lầm ở chỗ: sau khi lấy căn hai vế của \[{{\text{(m-V)}}^{2}}={{\text{(V-m)}}^{2}}\] ta phải được kết quả |m – V| = |V – m| chứ không thể có m – V = V – m (theo hằng đẳng thức \[\sqrt{{{A}^{2}}}\] = |A|.

Do đó, con muỗi không thể nặng bằng con voi.

 

Trên đây là gợi ý giải bài tập Toán 9 Bài 2. Căn thức bậc hai và hằng đẳng thức do giáo viên Ican trực tiếp biên soạn theo chương trình mới nhất. Chúc các bạn học tập vui vẻ

Đánh giá (421)
ican
  • Một thương hiệu của 
    ICAN
  • ICAN
  • ICAN © 2023, All Rights Reserved.

  • Trụ sở Hồ Chí Minh: B0003 C/C Sarina, Khu đô thị Sala, Khu phố 3, Đường Hoàng Thế Thiện, Phường An Lợi Đông, TP. Thủ Đức

  • Văn phòng Hà Nội: Tòa nhà 25T2 Đường Hoàng Đạo Thúy, Phường Trung Hòa, Quận Cầu Giấy