Căn thức bậc hai và hằng đẳng thức

BÀI 2: CĂN THỨC BẬC HAI VÀ HẰNG ĐẲNG THỨC

I. LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM

\(\sqrt {{A^2}}  = \left| A \right| = \left\{ \begin{array}{l}\,\,\,\,A\,\,\,\,\,{\rm{khi}}\,\,\,A \ge 0\\ - A\,\,\,\,\,\,{\rm{khi}}\,\,\,A < 0\end{array} \right.\)

II. PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP

Dạng 1: Tính giá trị của biểu thức chứa căn bậc hai

Phương pháp:

Sử dụng hằng đẳng thức \(\sqrt {{A^2}}  = \left| A \right| = \left\{ \begin{array}{l}\,\,\,\,A\,\,\,\,\,{\rm{khi}}\,\,\,A \ge 0\\ - A\,\,\,\,\,\,{\rm{khi}}\,\,\,A < 0\end{array} \right.\)

Dạng 2: Rút gọn biểu thức chứa căn bậc hai

Phương pháp:

- Đưa các biểu thức dưới dấu căn về hằng đẳng thức (thông thường là \({\left( {a + b} \right)^2} = {a^2} + 2ab + {b^2}\), \({\left( {a - b} \right)^2} = {a^2} - 2ab + {b^2}\))

- Sử dụng hằng đẳng thức \(\sqrt {{A^2}}  = \left| A \right| = \left\{ \begin{array}{l}\,\,\,\,A\,\,\,\,\,{\rm{khi}}\,\,\,A \ge 0\\ - A\,\,\,\,\,\,{\rm{khi}}\,\,\,A < 0\end{array} \right.\)

Dạng 3: Tìm điều kiện để biểu thức chứa căn bậc hai có nghĩa

Phương pháp:

Sử dụng kiến thức biểu thức \(\sqrt A \) có nghĩa khi và chỉ khi \(A \ge 0.\)

Dạng 4: Giải phương trình chứa căn bậc hai

Phương pháp:

Ta chú ý một số phép biến đổi tương đương liên quan đến căn thức bậc hai sau đây:

\(\sqrt A  = B \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}B \ge 0\\A = {B^2}\end{array} \right.\) ; \(\sqrt {{A^2}}  = B \Leftrightarrow \left| A \right| = B\)

\(\sqrt A  = \sqrt B  \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}A \ge 0\left( { \vee B \ge 0} \right)\\A = B\end{array} \right.\) ; \(\sqrt {{A^2}}  = \sqrt {{B^2}}  \Leftrightarrow \left| A \right| = \left| B \right| \Leftrightarrow A =  \pm B\)

III. GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA

Bài 6 (trang 10 SGK Toán 9 Tập 1):

Lời giải:

1. Điều kiện xác định của \[\sqrt{\frac{\text{a}}{\text{3}}}\] là:

\[\frac{\text{a}}{\text{3}}\]\[\ge \] 0 \[\Rightarrow \] a \[\ge \]0

b) Điều kiện -5a ≥ 0 => a ≤ 0

c) Điều kiện 4 – a ≥ 0 => -a ≥ -4 = > a ≤ 4

d) Điều kiện 3a + 7 ≥ 0 => 3a ≥ -7

=> a ≥ -7/3

Bài 7 (trang 10 SGK Toán 9 Tập 1):

Lời giải:

Bài 8 (trang 10 SGK Toán 9 Tập 1):

Lời giải:

a) \[\sqrt{{{\text{(2-}\sqrt{3}\text{)}}^{2}}}\]= |2-\[\sqrt{3}\]| = 2 - \[\sqrt{3}\]

(vì 2 - \[\sqrt{3}\]> 0 do 2 = \[\sqrt{4}\] mà \[\sqrt{4}\] > \[\sqrt{3}\])

1. \[\sqrt{{{\text{(3-}\sqrt{11}\text{)}}^{2}}}\]= |3-\[\sqrt{11}\]| = \[\sqrt{11}\]-3

(vì \[\sqrt{11}\]- 3 > 0 do 3 = \[\sqrt{9}\] mà \[\sqrt{11}\] > \[\sqrt{9}\])

1. 2\[\sqrt{{{a}^{2}}}\] = 2|a| = 2a với a ≥ 0
2. \[3\sqrt{{{\text{(a-2)}}^{2}}}\] = 3|a-2| = 3(2-a)

(vì a < 2 nên 2 – a > 0)

Bài 9 (trang 11 SGK Toán 9 Tập 1):

Lời giải:

1. \[\sqrt{{{x}^{2}}}\] = 7 ⇔ |x| = 7

⇔ x1 = 7 và x2 = -7

1. \[\sqrt{{{x}^{2}}}\] = |-8| ⇔ \[\sqrt{{{x}^{2}}}\] = 8

⇔ |x| = 8 ⇔ x1 = 8 và x2 = -8

1. \[\sqrt{4{{x}^{2}}}\] = 6 ⇔ \[\sqrt{{{(2x)}^{2}}}\] = 6 ⇔ |2x| = 6

⇔ |x| = 3 ⇔ x1 = 3 và x2 = -3

1. \[\sqrt{9{{x}^{2}}}\] = 12 ⇔ \[\sqrt{{{(3x)}^{2}}}\] = 12

⇔ |3x| = 12 ⇔ |x| = 4

⇔ x1 = 4 và x2 = -4

Bài 11 (trang 11 SGK Toán 9 Tập 1):

Lời giải:

1. \[\sqrt{16}.\sqrt{25}+\sqrt{196}:\sqrt{49}\] = \[\sqrt{{{4}^{2}}}.\sqrt{{{5}^{2}}}+\sqrt{{{14}^{2}}}:\sqrt{{{7}^{2}}}\]

= 4.5 + 14:7 = 20 + 2 = 22

1. 36: \[\sqrt{{{2.3}^{2}}.18}-\sqrt{169}\] = 36: \[\sqrt{{{3}^{2}}.36}-\sqrt{{{13}^{2}}}=\sqrt{{{3}^{2}}{{.6}^{2}}}-13\]

= 36 : 18 – 13 = - 11

1. \[\sqrt{\sqrt{81}}=\sqrt{\sqrt{{{9}^{2}}}}=\sqrt{9}=\sqrt{{{3}^{2}}}=3\]
2. \[\sqrt{{{3}^{2}}+{{4}^{2}}}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=\sqrt{{{5}^{2}}}=5\]

Bài 12 (trang 11 SGK Toán 9 Tập 1)

Lời giải:

1. Ta có \[\sqrt{2x+7}\] có nghĩa khi 2x+7≥ 0

2x + 7 ≥ 0 ⇔ 2x ≥ -7

\[\Leftrightarrow \]x ≥\[\frac{\text{-7}}{2}\]

Vậy \[\sqrt{2x+7}\] có nghĩa khi x ≥\[\frac{\text{-7}}{2}\]

1. \[\sqrt{-3x\text{ }+\text{ }4}\] có nghĩa khi -3x + 4 ≥ 0

-3x + 4 ≥ 0⇔ -3x ≥ -4

\[\Leftrightarrow \]x \[\le \frac{4}{3}\]

1. \[\sqrt{\frac{\text{1}}{\text{-1+x}}}\]có nghĩa khi \[\frac{\text{1}}{\text{-1+x}}\] > 0

\[\frac{\text{1}}{\text{-1+x}}\] > 0 \[\Leftrightarrow \]-1+x > 0 \[\Leftrightarrow \] x >1

1. \[\sqrt{1+{{x}^{2}}}\]có nghĩa khi \[1+{{x}^{2}}\ge 0\]

Mà \[1+{{x}^{2}}\ge 0\]với mọi x (Vì \[{{x}^{2}}\]≥0 nên \[1+{{x}^{2}}>0\] )

Bài 13 (trang 11 SGK Toán 9 Tập 1)

Lời giải:

a) 2\[\sqrt{{{a}^{2}}}\] - 5a = 2|a| - 5a

= -2a - 5a = -7a (do a < 0 nên |a| = -a)

b) \[\sqrt{25{{a}^{2}}}\] + 3a = 5|a| + 3a = 5a + 3a = 8a

(do a ≥ 0 nên |a| = a)

c) \[\sqrt{9{{a}^{4}}}\]+ 3a2 = \[\sqrt{{{(3{{a}^{2}})}^{2}}}\] + \[3{{a}^{2}}\]

= |\[3{{a}^{2}}\]| + \[3{{a}^{2}}\] = \[3{{a}^{2}}\] + \[3{{a}^{2}}\] = \[3{{a}^{2}}\]

(do \[{{a}^{2}}\] ≥ 0 với mọi a nên |\[3{{a}^{2}}\]| = \[3{{a}^{2}}\])

d) 5\[\sqrt{4{{a}^{6}}}\] - \[3{{a}^{3}}\] = 5\[\sqrt{{{(2{{a}^{3}})}^{2}}}\] - \[3{{a}^{3}}\]

= 5.\[2{{a}^{3}}\]- \[3{{a}^{3}}\]

Với a < 0 thì |\[2{{a}^{3}}\]| = –\[2{{a}^{3}}\] nên

5|\[2{{a}^{3}}\]| - \[3{{a}^{3}}\] = -10\[{{a}^{3}}\] - 3\[{{a}^{3}}\] = -13\[{{a}^{3}}\]

Bài 14 (trang 11 SGK Toán 9 Tập 1):

Lời giải:

a) x2 - 3 = x2 - (\[\sqrt{3}\])2 = (x - \[\sqrt{3}\])(x + \[\sqrt{3}\])

b) x2 - 6 = x2 - \[\sqrt{6}\])2 = (x - \[\sqrt{6}\])(x + \[\sqrt{6}\])

c) x2 + 2\[\sqrt{3}\] x + 3 = x2 + 2\[\sqrt{3}\] x + (\[\sqrt{3}\])2

= (x + \[\sqrt{3}\])2

d) x2 - 2\[\sqrt{5}\] x + 5 = x2 - 2\[\sqrt{5}\] x + (\[\sqrt{5}\])2

= \[{{(x-\sqrt{5})}^{2}}\]

Bài 15 (trang 11 SGK Toán 9 Tập 1):

Lời giải:

a) x2 – 5 = 0 ⇔ x2 = 5 ⇔ x1 = \[\sqrt{5}\]; x2 = -\[\sqrt{5}\]

Vậy phương trình có hai nghiệm x1 = \[\sqrt{5}\]; x2 = -\[\sqrt{5}\]

Cách khác:

x2 – 5 = 0 ⇔ x2 – (\[\sqrt{5}\])2 = 0

⇔ (x - \[\sqrt{5}\])(x + \[\sqrt{5}\]) = 0

hoặc x - \[\sqrt{5}\] = 0 ⇔ x = \[\sqrt{5}\]

hoặc x + \[\sqrt{5}\] = 0 ⇔ x = -\[\sqrt{5}\]

b) x2 – 2\[\sqrt{11}\]x + 11 = 0

⇔ x2 – 2\[\sqrt{11}\]x + (\[\sqrt{11}\])2 = 0

⇔ (x - \[\sqrt{11}\])2 = 0

⇔ x - \[\sqrt{11}\]= 0 ⇔ x = \[\sqrt{11}\]

Vậy phương trình có một nghiệm là x = \[\sqrt{11}\]

Bài 16 (trang 12 SGK Toán 9 Tập 1):

Giả sử con muỗi nặng m (gam), còn con voi nặng V (gam). Ta có:

m2 + V2 = V2 + m2

Cộng cả hai vế với -2Mv, ta có:

m2 – 2mV + V2 = V2 – 2mV + m2

hay (m - V)2 = (V - m)2.

Lấy căn bậc hai mỗi vế của đẳng thức trên, ta được:

\[\sqrt{{{\text{(m-V)}}^{2}}}=\sqrt{{{\text{(V-m)}}^{2}}}\]

Do đó m – V = V – m

Từ đó ta có 2m = 2V, suy ra m = V. Vậy con muỗi nặng bằng con voi (!).

Lời giải:

Sai lầm ở chỗ: sau khi lấy căn hai vế của \[{{\text{(m-V)}}^{2}}={{\text{(V-m)}}^{2}}\] ta phải được kết quả |m – V| = |V – m| chứ không thể có m – V = V – m (theo hằng đẳng thức \[\sqrt{{{A}^{2}}}\] = |A|.

Do đó, con muỗi không thể nặng bằng con voi.

Trên đây là gợi ý giải bài tập Toán 9 Bài 2. Căn thức bậc hai và hằng đẳng thức do giáo viên Ican trực tiếp biên soạn theo chương trình mới nhất. Chúc các bạn học tập vui vẻ