DIỆN TÍCH HÌNH TRÒN VÀ HÌNH QUẠT TRÒN
A. LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM
1. Công thức tính diện tích hình tròn
Công thức diện tích hình tròn là: \[ S=\pi {{R}^{2}}=\pi \frac{{{d}^{2}}}{4} \] .
Trong đó: S là diện tích của đường tròn.
R là bán kính đường tròn.
d là đường kính của đường tròn
2. Công thức tính điện tích hình quạt tròn
Công thức diện tích hình quạt tròn là: \[ S=\frac{\pi {{R}^{2}}n}{360}=\frac{IR}{2} \] .
Trong đó: S là diện tích của hình quạt tròn.
R là bán kính đường tròn.
l là độ dài cung tròn n°.
B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP
Dạng 1: Tính diện tích hình tròn, diện tích hình quạt tròn và các đại lượng liên quan
Phương pháp:
Áp dụng các công thức tính diện tích hình tròn \[ S=\pi {{R}^{2}} \] và diện tích hình quạt tròn bán kính R, cung n∘
\[ S=\frac{\pi {{R}^{2}}n}{360} \] hay \[ S=\frac{l.\text{R}}{2} \] (với l là độ dài cung n∘ của hình quạt tròn)
Dạng 2 : Bài toán tổng hợp
Phương pháp :
Sử dụng linh hoạt các kiến thức đã học để tính góc ở tâm, bán kinh đường tròn. Từ đó tính được diện tích hình tròn và diện tích hình quạt tròn.
C. GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA
Bài 77 (trang 98 SGK Toán 9 Tập 2):
Lời giải
Hình tròn nội tiếp hình vuông có cạnh 4cm thì có R = 2cm.
Vậy diện tích hình tròn là: π22 = 4π(cm2).
Bài 78 (trang 98 SGK Toán 9 Tập 2):
Lời giải
+ Chu vi hình tròn là 12m
Do đó bán kính tròn là: \[ R=\frac{C}{2\pi }=\frac{12}{2\pi }=\frac{6}{\pi } \] (m)
+ Diện tích hình tròn là: \[ S=\pi {{R}^{2}}=\pi {{\left( \frac{6}{\pi } \right)}^{2}}=\frac{36}{\pi }\approx 11,5\left( {{m}^{2}} \right) \] .
Bài 79 (trang 98 SGK Toán 9 Tập 2):
Lời giải
Diện tích hình quạt là: \[ {{S}_{q}}=\frac{\pi {{6}^{2}}.36}{360}=\frac{18\pi }{5}\approx 11,3\left( c{{m}^{2}} \right) \] .
Bài 80 (trang 98 SGK Toán 9 Tập 2):
Hình 60
Lời giải
Theo cách buộc thứ nhất thì diện tích cỏ dành cho mỗi con dê là bằng nhau.
Mỗi diện tích là \[ \frac{1}{4} \] hình tròn bán kính 20m: \[ \frac{1}{4}.\pi {{.20}^{2}}=100\pi \left( {{m}^{2}} \right) \]
Cả hai diện tích là: \[ 200\pi \left( {{m}^{2}} \right) \] (1)
Theo cách buộc thứ hai
Thì diện tích cỏ dành cho con dê ở A là: \[ \frac{1}{4}.\pi {{.30}^{2}}=225\pi \left( {{m}^{2}} \right) \]
Thì diện tích cỏ dành cho con dê ở B là: \[ \frac{1}{4}.\pi {{.10}^{2}}=25\pi \left( {{m}^{2}} \right) \]
Diện tích cỏ dành cho cả hai con dê là: \[ 225+25=250\pi \left( {{m}^{2}} \right) \] (2)
So sánh (1) với (2) ta thấy với cách buộc thứ hai thì diện tích cỏ mà hai con dê có thể ăn được là lớn hơn.
Bài 81 (trang 99 SGK Toán 9 Tập 2):
Hình 61
Lời giải
Gọi bán kính ban đầu là R
Khi đó diện tích hình tròn ban đầu là: \[ S=\pi {{R}^{2}} \] .
a) Bán kính tăng gấp đôi: 2R
Khi đó diện tích hình tròn mới là: \[ S=\pi {{\left( 2R \right)}^{2}}=4\pi {{R}^{2}} \] .
Vậy diện tích hình tròn mới tăng gấp 4 lần.
b) Bán kính tăng gấp ba lần: 3R
Khi đó diện tích hình tròn mới là: \[ S=\pi {{\left( 3R \right)}^{2}}=9\pi {{R}^{2}} \] .
Vậy diện tích hình tròn mới tăng gấp 9 lần.
c) Bán kính tăng gấp k (k>1) lần, tức là: kR
Khi đó diện tích hình tròn mới là: \[ S=\pi {{\left( kR \right)}^{2}}={{k}^{2}}\pi {{R}^{2}} \] .
Vậy diện tích hình tròn mới tăng gấp \[ {{k}^{2}} \] lần.
Bài 82 (trang 99 SGK Toán 9 Tập 2):
Lời giải
Bán kính đường tròn (R) | Độ dài đường tròn (C) | Diện tích hình tròn (S) | Số đo của cung tròn no | Diện tích quạt tròn cung no |
2,1cm | 13,2cm | 13,8cm2 | 47,5o | 1,83cm2 |
2,5cm | 15,7cm | 19,6cm2 | 229,3o | 12,5cm2 |
3,5cm | 22cm | 37,8cm2 | 99,2o | 10,6cm2 |
Bài 83 (trang 99 SGK Toán 9 Tập 2):
Hình 62
Lời giải
a) Cách vẽ
- Vẽ nửa đường tròn đường kính HI = 10cm, tâm M.
- Trên đường kính HI lấy điểm O và điểm B sao cho HO = BI = 2cm.
- Vẽ hai nửa đường tròn đường kính HO, BI nằm cùng phía với đường tròn (M).
- Vẽ nửa đường tròn đường kính OB nằm khác phía đối với đường tròn (M). Đường thẳng vuông góc với HI tại M cắt (M) tại N và cắt đường tròn đường kính OB tại A.
b)
Diện tích miền gạch sọc bằng:
S = S1 – S2 – S3 + S4
với:
+ S1 là nửa đường tròn đường kính HI
\[ \Rightarrow {{S}_{1}}=\frac{1}{2}.\pi .{{\left( \frac{HI}{2} \right)}^{2}}=12,5\pi . \]
+ S2; S3 là nửa đường tròn đường kính HO và BI.
\[ \Rightarrow {{S}_{1}}={{S}_{3}}=\frac{1}{2}.\pi .{{\left( \frac{HO}{2} \right)}^{2}}=0,5\pi . \]
+ Ta tính OB:
Ta có: HO+ OB + BI = HI
⇔ 2+ OB + 2= 10 nên OB = 6
+ S4 là nửa đường tròn đường kính OB
\[ \Rightarrow {{S}_{4}}=\frac{1}{2}.\pi .{{\left( \frac{OB}{2} \right)}^{2}}=4,5\pi . \]
Vậy \[ S={{S}_{1}}-\left( {{S}_{2}}+{{S}_{3}} \right)+{{S}_{4}}=16\pi \] (1)
c)Ta có: \[ MN=\frac{HI}{2}=5;MA=\frac{OB}{2}=3 \] .
Do đó, NA = MN+ MA= 8
Diện tích hình tròn đường kính NA bằng : π42 = 16π (cm2) (2)
so sánh (1) và (2) ta thấy hình tròn đường kính NA có cùng diện tích với hình HOABINH.
Bài 84 (trang 99 SGK Toán 9 Tập 2):
Lời giải
a) Cách vẽ
- Vẽ tam giác đều cạnh 1 cm.
Dựa vào tính chất góc ngoài của tam giác ta có:
\[ \widehat{CAD}=\widehat{DBE}=\widehat{ECF}=60{}^\circ +60{}^\circ =120{}^\circ \]
- Vẽ \[ \frac{1}{3} \] đường tròn tâm A, bán kính 1cm, ta được cung \[ \overset\frown{CD}. \]
- Vẽ \[ \frac{1}{3} \] đường tròn tâm B, bán kính 2cm, ta được cung \[ \overset\frown{DE}. \]
- Vẽ \[ \frac{1}{3} \] đường tròn tâm C, bán kính 3cm, ta được cung \[ \overset\frown{EF}. \]
b) Diện tích hình quạt CAD là: \[ \frac{1}{3}\pi {{.1}^{2}} \]
Diện tích hình quạt DBE là: \[ \frac{1}{3}\pi {{.2}^{2}} \]
Diện tích hình quạt ECF là: \[ \frac{1}{3}\pi {{.3}^{2}} \]
Diện tích hình gạch sọc \[ \frac{1}{3}\pi {{.1}^{2}}+\frac{1}{3}\pi {{.2}^{2}}+\frac{1}{3}\pi {{.3}^{2}}=\frac{1}{3}\pi \left( {{1}^{2}}+{{2}^{2}}+{{3}^{2}} \right)=\frac{14}{3}\pi =14,65\left( \text{c}{{\text{m}}^{2}} \right) \] .
Bài 85 (trang 100 SGK Toán 9 Tập 2):
Hình 64
Lời giải
Tam giác OAB là tam giác đều có cạnh R= 5,1 cm.
Công thức tính diện tích tam giác đều cạnh a là: \[ S=\frac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{4} \] .
Do đó, diện tích tam giác đều OAB cạnh OA= R = 5,1 cm là: \[ S=\frac{{{\left( 5,1 \right)}^{2}}\sqrt{3}}{4} \] (1).
Diện tích hình quạt tròn AOB là: \[ \frac{\pi {{\left( 5,1 \right)}^{2}}.60{}^\circ }{360{}^\circ }=\frac{867}{200}\pi \left( 2 \right) \] .
Từ (1) và (2) suy ra diện tích hình viên phân là: \[ \frac{867}{200}\pi -\frac{{{\left( 5,1 \right)}^{2}}\sqrt{3}}{4}\approx 2,4\left( \text{c}{{\text{m}}^{2}} \right) \] .
Bài 86 (trang 100 SGK Toán 9 Tập 2):
Lời giải
a) Diện tích hình tròn \[ \left( O;{{R}_{1}} \right) \] là \[ {{S}_{1}}=\pi R_{1}^{2} \] .
Diện tích hình tròn \[ \left( O;{{R}_{2}} \right) \] là \[ {{S}_{2}}=\pi R_{2}^{2} \] .
Diện tích hình vành khăn là : \[ S={{S}_{1}}-{{S}_{2}}=\pi R_{1}^{2}-\pi R_{2}^{2}=\pi \left( R_{1}^{2}-R_{2}^{2} \right) \]
b) Thay số: \[ S=3,14\left( 10,{{5}^{2}}-7,{{8}^{2}} \right)=155,1 \] (cm \[ ^{2} \] ).
Bài 87 (trang 100 SGK Toán 9 Tập 2):
Lời giải
Gọi nửa đường tròn tâm O đường kính BC cắt hai cạnh AB và AC lần lượt tại M và N.
Xét \[ \Delta ONC \] có OC = ON, \[ \widehat{C}=60{}^\circ \]
\[ \Rightarrow \Delta ONC \] là tam giác đều
\[ \Rightarrow \widehat{NOC}=60{}^\circ \]
Diện tích quạt NOC là \[ \frac{\pi {{\left( \frac{a}{2} \right)}^{2}}.60{}^\circ }{360{}^\circ }=\frac{\pi {{a}^{2}}}{24} \] ;
Diện tích quạt \[ \Delta \] NOC là \[ \frac{{{\left( \frac{a}{2} \right)}^{2}}.\sqrt{3}}{4}=\frac{\sqrt{3}{{a}^{2}}}{16} \] .
Diện tích một hình viên phân:
\[ {{S}_{CpN}}=\frac{\pi {{a}^{2}}}{24}-\frac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{16}=\frac{{{a}^{2}}}{48}\left( 2\pi -3\sqrt{3} \right) \] .
Vậy diện tích hai viên phân bên ngoài tam giác là : \[ S=2{{S}_{CpN}}=2.\frac{{{a}^{2}}}{48}\left( 2\pi -3\sqrt{3} \right)=\frac{{{a}^{2}}}{24}\left( 2\pi -3\sqrt{3} \right) \] .
Gợi ý Giải bài tập sách giáo diện tích hình tròn hình quạt tròn toán học 9, toán 9 hình học lý thuyết trọng tâm giúp học sinh nắm vững kiến thức chính xác nhất