BÀI 5: PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẨN Ở MẪU
I. LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM
1. Điều kiện xác định (ĐKXĐ)
Là giá trị của ẩn để tất cả các mẫu trong phương trình đều khác \[0\]
2. Cách giải phương trình chứa ẩn ở mẫu
+ Tìm ĐKXĐ của phương trình
+ Quy đồng mẫu hai vế của phương trình rồi khử mẫu
+ Giải phương trình vừa nhận được
+ Chọn các giá trị của ẩn thỏa mãn ĐKXĐ rồi viết tập nghiệm
II. PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP
Dạng 1: Tìm điều kiện xác định của phương trình
Cách giải: ĐKXĐ của phương trình là giá trị của ẩn để tất cả các mẫu trong phương trình đều khác \[0\]
Dạng 2: Giải phương trình chứa ẩn ở mẫu
+ Tìm ĐKXĐ của phương trình
+ Quy đồng mẫu hai vế của phương trình rồi khử mẫu
+ Giải phương trình vừa nhận được
+ Chọn các giá trị của ẩn thỏa mãn ĐKXĐ rồi viết tập nghiệm
Chú ý: Ta có thể sử dụng các hằng đẳng thức, quy tắc đổi dấu, phá ngoặc,.... để biến đổi.
III. GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA
Bài 27. (SGK Toán 8 tập 2 trang 22)
a)
ĐKXĐ: \[x\ne -5\]
\(\begin{array}{l} \frac{{2x - 5}}{{x + 5}} = 3\\ \Leftrightarrow \frac{{2x - 5}}{{x + 5}} = \frac{{3\left( {x + 5} \right)}}{{x + 5}}\\ \Leftrightarrow 2x - 5 = 3\left( {x + 5} \right) \end{array}\)
\[\Leftrightarrow 2x-5=3x+15\]
\[\Leftrightarrow x=-20\] thoả mãn ĐKXĐ
Vậy \[S=\left\{ -20 \right\}\]
b)
ĐKXĐ: \[x\ne 0\]
\(\begin{array}{l} \frac{{{x^2} - 6}}{x} = x + \frac{3}{2}\\ \Leftrightarrow \frac{{2\left( {{x^2} - 6} \right)}}{{2x}} = \frac{{2{x^2}}}{{2x}} + \frac{{3x}}{{2x}}\\ \Leftrightarrow 2\left( {{x^2} - 6} \right) = 2{x^2} + 3x \end{array}\)
\[\Leftrightarrow x=-4\] (TM ĐKXĐ)
Vậy \[x=-4\]
c)
ĐKXĐ: x ≠ 3
\(\begin{array}{l} x \ne 3\\ \frac{{\left( {{x^2} + 2x} \right) - \left( {3x + 6} \right)}}{{x - 3}} = 0\\ \Leftrightarrow \left( {{x^2} + 2x} \right) - \left( {3x + 6} \right) = 0\\ \Leftrightarrow {x^2} - x - 6 = 0\\ \Leftrightarrow \left( {x - 3} \right)\left( {x + 2} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 3\left( l \right)\\ x = - 2\left( {tm{\rm{ XK}}} \right) \end{array} \right. \end{array}\)
Vậy \[x=-2\].
d)
ĐKXĐ: \[x\ne \frac{-2}{3}\]
\(\begin{array}{l} \frac{5}{{3x + 2}} = 2x - 1\\ \Leftrightarrow \frac{5}{{3x + 2}} = \frac{{\left( {2x - 1} \right)\left( {3x + 2} \right)}}{{3x + 2}}\\ \Leftrightarrow 5 = \left( {2x - 1} \right)\left( {3x + 2} \right)\\ \Leftrightarrow 6{x^2} + x - 7 = 0\\ \Leftrightarrow \left( {x - 1} \right)\left( {6x + 7} \right) = 0 \end{array}\)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 1\left( {tm{\rm{ }}} \right)\\ x = \frac{{ - 7}}{6}\left( {tm{\rm{ }}} \right) \end{array} \right.\)
Vậy tập nghiệm \[S=\left\{ \frac{-7}{6};1 \right\}\].
Bài 28. (SGK Toán 8 tập 2 trang 22)
a) ĐKXĐ: \[x\ne 1\]
\(\begin{array}{l} \frac{{2x - 1}}{{x - 1}} + 1 = \frac{1}{{x - 1}}\\ \Leftrightarrow \frac{{2x - 1}}{{x - 1}} + \frac{{x - 1}}{{x - 1}} = \frac{1}{{x - 1}}\\ \Leftrightarrow 2x - 1 + x - 1 = 1\\ \Leftrightarrow 3x = 3\\ \Leftrightarrow x = 1\left( l \right) \end{array}\)
Vậy \[S=\varnothing \]
b) ĐKXĐ: \[x\ne -1\]
\(\begin{array}{l} \frac{{5x}}{{2x + 2}} + 1 = - \frac{6}{{x + 1}}\\ \Leftrightarrow \frac{{5x}}{{2\left( {x + 1} \right)}} + \frac{{2\left( {x + 1} \right)}}{{2\left( {x + 1} \right)}} = - \frac{{12}}{{2\left( {x + 1} \right)}}\\ \Leftrightarrow 5x + 2x + 2 = - 12\\ \Leftrightarrow 7x = - 14\\ \Leftrightarrow x = - 2 \end{array}\)
Vậy \[S=\left\{ -2 \right\}\]
c) ĐKXĐ: \[x\ne 0\].
\(\begin{array}{l} x + \frac{1}{x} = {x^2} + \frac{1}{{{x^2}}}\\ \Leftrightarrow \frac{{{x^3}}}{{{x^2}}} + \frac{x}{{{x^2}}} = \frac{{{x^4}}}{{{x^2}}} + \frac{1}{{{x^2}}}\\ \Leftrightarrow {x^3} + x = {x^4} + 1\\ \Leftrightarrow {x^4} - {x^3} - x + 1 = 0\\ \Leftrightarrow {x^3}\left( {x - 1} \right) - \left( {x - 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {x - 1} \right)\left( {{x^3} - 1} \right) = 0 \end{array}\)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x - 1 = 0{\rm{ }}\left( 1 \right)\\ {x^3} - 1 = 0{\rm{ }}\left( 2 \right) \end{array} \right.\)
(1) \[x-1=0\Leftrightarrow x=1\](tm)
(2) \[{{x}^{3}}-1=0\Leftrightarrow \left( x-1 \right)\left( {{x}^{2}}+x+1 \right)=0\]\[\Leftrightarrow x=1\] Vì \[{{x}^{2}}+x+1>0\forall x\]
Vậy \[S=\left\{ 1 \right\}\]
d) ĐKXĐ: \[x\ne 0,x\ne -1\]
\(\begin{array}{l} \frac{{x + 3}}{{x + 1}} + \frac{{x - 2}}{x} = 2\\ \Leftrightarrow \frac{{x\left( {x + 3} \right)}}{{x\left( {x + 1} \right)}} + \frac{{\left( {x + 1} \right)\left( {x - 2} \right)}}{{x\left( {x + 1} \right)}} = \frac{{2x\left( {x + 1} \right)}}{{x\left( {x + 1} \right)}}\\ \Leftrightarrow x\left( {x + 3} \right) + \left( {x + 1} \right)\left( {x - 2} \right) = 2x\left( {x + 1} \right)\\ \Leftrightarrow {x^2} + 3x + {x^2} - x - 2 = 2{x^2} + 2x\\ \Leftrightarrow 0x = 2 \end{array}\)
Vậy \[S=\varnothing \]
LUYỆN TẬP
I. LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM (LUYỆN TẬP)
+ Điều kiện xác định của phương trình
+ Các bước giải phương trình chứa ẩn ở mẫu
II. PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP (LUYỆN TẬP)
Dạng: Tìm a để biểu thức có giá trị k
Cách giải: Muốn tìm giá trị của \[a\] để bểu thức \[A\left( a \right)\]bằng \[k\] ta xem \[a\] như ẩn và giải phưng trình \[A\left( a \right)=k\].
III. GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA (LUYỆN TẬP)
Bài 29. (SGK Toán 8 tập 2 trang 22)
Cả hai bạn Sơn và hà đều cần chú ý tìm điều kiện xác định của \[x\]
ĐKXĐ: \[x\ne 5\]
Vậy \[x=5\]không thỏa mãn điều kiện.
Do đó phương trình vô nghiệm.
Bài 30. (SGK Toán 8 tập 2 trang 23)
a)
ĐKXĐ: \[x\ne 2\]
\(\begin{array}{l} \frac{1}{{x - 2}} + 3 = \frac{{x - 3}}{{2 - x}}\\ \Leftrightarrow \frac{1}{{x - 2}} + \frac{{3\left( {x - 2} \right)}}{{x - 2}} = \frac{{3 - x}}{{x - 2}}\\ \Leftrightarrow 1 + 3\left( {x - 2} \right) = 3 - x\\ \Leftrightarrow 4x = 8\\ \Leftrightarrow x = 2 \end{array}\)
\[x=2\]không thỏa ĐKXĐ.
Vậy phương trình vô nghiệm.
b) ĐKXĐ: \[x\ne -3\]
\(\begin{array}{l} 2x - \frac{{2{x^2}}}{{x + 3}} = \frac{{4x}}{{x + 3}} + \frac{2}{7}\\ \Leftrightarrow \frac{{14x\left( {x + 3} \right)}}{{7\left( {x + 3} \right)}} - \frac{{14{x^2}}}{{7\left( {x + 3} \right)}} = \frac{{28x}}{{7\left( {x + 3} \right)}} + \frac{{2\left( {x + 3} \right)}}{{7\left( {x + 3} \right)}}\\ \Leftrightarrow 14x\left( {x + 3} \right) - 14{x^2} = 28x + 2\left( {x + 3} \right)\\ \Leftrightarrow 12x = 6 \Leftrightarrow x = \frac{1}{2} \end{array}\)
Vậy phương trình có nghiệm \[x=\frac{1}{2}\]
c)
ĐKXĐ: \[x\ne 1;x\ne -1\]
\(\begin{array}{l} \frac{{x + 1}}{{x - 1}} - \frac{{x - 1}}{{x + 1}} = \frac{4}{{{x^2} - 1}}\\ \Leftrightarrow \frac{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}{{{x^2} - 1}} - \frac{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}{{{x^2} - 1}} = \frac{4}{{{x^2} - 1}}\\ \Leftrightarrow {\left( {x + 1} \right)^2} - {\left( {x - 1} \right)^2} = 4\\ \Leftrightarrow 4x = 4\\ \Leftrightarrow x = 1 \end{array}\)
\[x=1\] không thỏa ĐKXĐ.
Vậy phương trình vô nghiệm.
d)
ĐKXĐ: \[x\ne -7;x\ne \frac{3}{2}\]
\(\begin{array}{l} \frac{{3x - 2}}{{x + 7}} = \frac{{6x + 1}}{{2x - 3}}\\ \Leftrightarrow \frac{{\left( {3x - 2} \right)\left( {2x - 3} \right)}}{{\left( {x + 7} \right)\left( {2x - 3} \right)}} = \frac{{\left( {6x + 1} \right)\left( {x + 7} \right)}}{{\left( {2x - 3} \right)\left( {x + 7} \right)}}\\ \Leftrightarrow \left( {3x - 2} \right)\left( {2x - 3} \right) = \left( {6x + 1} \right)\left( {x + 7} \right)\\ \Leftrightarrow - 56x = 1 \end{array}\)
\[\Leftrightarrow x=\frac{-1}{56}\] ( Tm ĐKXĐ)
Vậy tập nghiệm là \[S=\left\{ \frac{-1}{56} \right\}\].
Bài 31. (SGK Toán 8 tập 2 trang 23)
Sử dụng hằng đẳng thức, phân tích mẫu thức thành thừa số để việc quy đồng mẫu thức nhanh, gọn hơn.
a)
\(\begin{array}{l} \frac{1}{{x - 1}} - \frac{{3{x^2}}}{{{x^3} - 1}} = \frac{{2x}}{{{x^2} + x + 1}}\\ \Leftrightarrow \frac{1}{{x - 1}} - \frac{{3{x^2}}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)}} = \frac{{2x}}{{{x^2} + x + 1}} \end{array}\)
ĐKXĐ: \[x\ne 1\]
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \frac{{{x^2} + x + 1}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)}} - \frac{{3{x^2}}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)}} = \frac{{2x\left( {x - 1} \right)}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)}}\\ \Leftrightarrow {x^2} + x + 1 - 3{x^2} = 2x\left( {x - 1} \right)\\ \Leftrightarrow - 4{x^2} + 3x + 1 = 0\\ \Leftrightarrow \left( {x - 1} \right)\left( {4x + 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 1\left( l \right)\\ x = \frac{{ - 1}}{4}\left( {tm} \right) \end{array} \right. \end{array}\)
Vậy phương trình có nghiệm \[x=\frac{-1}{4}\]
b)
ĐKXĐ: \[x\ne 1;x\ne 2;x\ne 3\]
\(\begin{array}{l} \frac{3}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right)}} + \frac{2}{{\left( {x - 3} \right)\left( {x - 1} \right)}} = \frac{1}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x - 3} \right)}}\\ \Leftrightarrow \frac{{3\left( {x - 3} \right)}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right)\left( {x - 3} \right)}} + \frac{{2\left( {x - 2} \right)}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right)}} = \frac{{\left( {x - 1} \right)}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x - 3} \right)\left( {x - 1} \right)}}\\ \Leftrightarrow 3\left( {x - 3} \right) + 2\left( {x - 2} \right) = x - 1\\ \Leftrightarrow 4x = 12\\ \Leftrightarrow x = 3\left( l \right) \end{array}\)
Vậy phương trình vô nghiệm.
c)
\(\begin{array}{l} 1 + \frac{1}{{x + 2}} = \frac{{12}}{{8 + {x^3}}}\\ \Leftrightarrow 1 + \frac{1}{{x + 2}} = \frac{{12}}{{\left( {x + 2} \right)\left( {4 - 2x + {x^2}} \right)}} \end{array}\)
ĐKXĐ: \[x\ne -2\]
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \frac{{\left( {x + 2} \right)\left( {4 - 2x + {x^2}} \right)}}{{\left( {x + 2} \right)\left( {4 - 2x + {x^2}} \right)}} + \frac{{4 - 2x + {x^2}}}{{\left( {x + 2} \right)\left( {4 - 2x + {x^2}} \right)}} = \frac{{12}}{{\left( {x + 2} \right)\left( {4 - 2x + {x^2}} \right)}}\\ \Leftrightarrow \left( {x + 2} \right)\left( {4 - 2x + {x^2}} \right) + 4 - 2x + {x^2} = 12\\ \Leftrightarrow 8 + {x^3} + 4 - 2x + {x^2} = 12\\ \Leftrightarrow {x^3} + {x^2} - 2x = 0\\ \Leftrightarrow x\left( {x - 1} \right)\left( {x + 2} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0\\ x = 1\\ x = - 2\left( l \right) \end{array} \right. \end{array}\)
Vậy phương trình có tập nghiệm là \[S=\left\{ 0;1 \right\}\]
d)
ĐKXĐ: \[x\ne 3;x\ne \frac{-7}{2};x\ne -3\]
\(\begin{array}{l} \frac{{13}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {2x + 7} \right)}} + \frac{1}{{2x + 7}} = \frac{6}{{\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)}}\\ \Leftrightarrow \frac{{13\left( {x + 3} \right)}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {2x + 7} \right)\left( {x + 3} \right)}} + \frac{{\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {2x + 7} \right)\left( {x + 3} \right)}} = \frac{{6\left( {2x + 7} \right)}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {2x + 7} \right)\left( {x + 3} \right)}}\\ \Leftrightarrow 13\left( {x + 3} \right) + \left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right) = 6\left( {2x + 7} \right)\\ \Leftrightarrow 13x + 39 + {x^2} - 9 = 12x + 42\\ \Leftrightarrow {x^2} + x - 12 = 0\\ \Leftrightarrow \left( {x - 3} \right)\left( {x + 4} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 3\left( l \right)\\ x = - 4\left( {tm} \right) \end{array} \right. \end{array}\)
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất \[x=-4\]
Bài 32. (SGK Toán 8 tập 2 trang 23)
a)
ĐKXĐ: \[x\ne 0\]
\(\begin{array}{l} \frac{1}{x} + 2 = \left( {\frac{1}{x} + 2} \right)\left( {{x^2} + 1} \right)\\ \Leftrightarrow \frac{{1 + 2x}}{x} = \frac{{\left( {1 + 2x} \right)\left( {{x^2} + 1} \right)}}{x}\\ \Leftrightarrow 1 + 2x = \left( {1 + 2x} \right)\left( {{x^2} + 1} \right)\\ \Leftrightarrow \left( {1 + 2x} \right)\left( {1 - {x^2} - 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = - \frac{1}{2}\left( {tm} \right)\\ x = 0\left( l \right) \end{array} \right. \end{array}\)
Vậy tập nghiệm là \[S=\left\{ -\frac{1}{2} \right\}\].
b)
ĐKXĐ: \(x \ne 0\)
\(\begin{array}{l} {\left( {x + 1 + \frac{1}{x}} \right)^2} = {\left( {x - 1 - \frac{1}{x}} \right)^2}\\ \Leftrightarrow {\left( {x + 1 + \frac{1}{x}} \right)^2} - {\left( {x - 1 - \frac{1}{x}} \right)^2} = 0\\ \Leftrightarrow \left( {x + 1 + \frac{1}{x} + x - 1 - \frac{1}{x}} \right)\left( {x + 1 + \frac{1}{x} - x + 1 + \frac{1}{x}} \right) = 0\\ \Leftrightarrow 2x\left( {2 + \frac{2}{x}} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0\left( l \right)\\ x = - 1\left( {tm} \right) \end{array} \right. \end{array}\)
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất \[x=-1\].
Bài 33. (SGK Toán 8 tập 2 trang 23)
a) \[\frac{3a-1}{3a+1}+\frac{a-3}{a+3}=2\]
ĐKXĐ: \[a\ne \frac{-1}{3};a\ne -3\]
\(\begin{array}{l} \frac{{3a - 1}}{{3a + 1}} + \frac{{a - 3}}{{a + 3}} = 2\\ \Leftrightarrow \frac{{\left( {3a - 1} \right)\left( {a + 3} \right)}}{{\left( {3a + 1} \right)\left( {a + 3} \right)}} + \frac{{\left( {a - 3} \right)\left( {3a + 1} \right)}}{{\left( {a + 3} \right)\left( {3a + 1} \right)}} = \frac{{2\left( {a + 3} \right)\left( {3a + 1} \right)}}{{\left( {a + 3} \right)\left( {3a + 1} \right)}}\\ \Leftrightarrow \left( {3a - 1} \right)\left( {a + 3} \right) + \left( {a - 3} \right)\left( {3a + 1} \right) = 2\left( {a + 3} \right)\left( {3a + 1} \right)\\ \Leftrightarrow 3{a^2} + 8a - 3 + 3{a^2} - 8a - 3 = 6{a^2} + 20a + 6\\ \Leftrightarrow - 20a = 12\\ \Leftrightarrow a = \frac{{ - 3}}{5}\left( {tm} \right) \end{array}\)
Vậy \[a=\frac{-3}{5}\] thỏa mãn bài toán.
b)
\(\begin{array}{l} \frac{{10}}{3} - \frac{{3a - 1}}{{4a + 12}} - \frac{{7a + 2}}{{6a + 18}} = 2\\ \Leftrightarrow \frac{{10}}{3} - \frac{{3a - 1}}{{4\left( {a + 3} \right)}} - \frac{{7a + 2}}{{6\left( {a + 3} \right)}} = 2 \end{array}\)
ĐKXĐ: \[a\ne -3\]
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \frac{{40\left( {a + 3} \right)}}{{12\left( {a + 3} \right)}} - \frac{{3\left( {3a - 1} \right)}}{{12\left( {a + 3} \right)}} - \frac{{2\left( {7a + 2} \right)}}{{12\left( {a + 3} \right)}} = \frac{{24\left( {a + 3} \right)}}{{12\left( {a + 3} \right)}}\\ \Leftrightarrow 40\left( {a + 3} \right) - 3\left( {3a - 1} \right) - 2\left( {7a + 2} \right) = 24\left( {a + 3} \right)\\ \Leftrightarrow - 7a = - 47\\ \Leftrightarrow a = \frac{{ - 47}}{7}\left( {tm} \right) \end{array}\)
Vậy \[a=\frac{-47}{7}\]thì thỏa mãn yêu cầu đề bài.
Gợi ý Giải bài tập sách giáo khoa phương trình chứa ẩn ở mẫu toán học 8, toán 8 đại số lý thuyết trọng tâm giúp học sinh nắm vững kiến thức chính xác nhất