ÔN TẬP CHƯƠNG IV
A. LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM
Hình | Diện tích xung quanh | Diện tích toàn phần | Thể tích |
- Lăng trụ đứng : Hình có các mặt bên là những hình chữ nhật, đáy là một đa giác. - Lăng trụ đều : Lăng trụ đứng có đáy là đa giác đều. | $${{S}_{xq}}=2p.h$$ p : nửa chu vi đáy h : chiều cao | $${{S}_{tp}}={{S}_{xq}}$$+2Sđ | $$V=S.h$$ S : diện tích đáy h : chiều cao |
- Hình hộp chữ nhật : Hình có 6 mặt là những hình chữ nhật. - Hình lập phương : Hình hộp chữ nhật có ba kích thước bằng nhau ( các mặt đều là hình vuông) | $${{S}_{xq}}=2\left( a+b \right)c$$ a, b : hai cạnh đáy c : chiều cao
$${{S}_{xq}}=4{{a}^{2}}$$ a : cạnh hình lập phương | $${{S}_{tp}}=2\left( ab+ac+bc \right)$$
$${{S}_{tp}}=6{{a}^{2}}$$ | $$V=abc$$
$$V={{a}^{3}}$$ |
Chóp đều
Hình chóp đều là hình chóp có mặt đáy là một đa giác đều, các mặt bên là những tam giác cân bằng nhau có chung đỉnh. | $${{S}_{xq}}=p.d$$ p : nửa chu vi đáy d : chiều cao của mặt bên (trung đoạn) | $${{S}_{tp}}={{S}_{xq}}+$$Sđ | $$V=\frac{1}{3}S.h$$ S : diện tích đáy h : chiều cao |
B. GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA
Bài 51. SGK toán 8 tập 2
Gọi chiều cao của lăng trụ đứng là h.
a)
Diện tích xung quanh của lăng trụ là : $${{S}_{xq}}=2ph=2ah$$
Diện tích toàn phần là : $${{S}_{tp}}={{S}_{xq}}+{{S}_{d}}=2ph+2{{a}^{2}}=4ah+2{{a}^{2}}$$
Thể tích lăng trụ là : $$V={{S}_{d}}.h={{a}^{2}}h$$
b)
Tam giác đều cạnh a có đường cao là : $$\sqrt{{{a}^{2}}-{{\left( \frac{a}{2} \right)}^{2}}}=\frac{a\sqrt{3}}{2}$$
Diện tích xung quanh của lăng trụ là : $${{S}_{xq}}=2ph=3ah$$
Diện tích toàn phần là : $${{S}_{tp}}={{S}_{xq}}+{{S}_{d}}=3ah+2.\left( \frac{1}{2}a.\frac{a\sqrt{3}}{2} \right)=3ah+\frac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{2}$$
Thể tích lăng trụ là : $$V={{S}_{d}}.h=\frac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{4}.h=\frac{{{a}^{2}}h\sqrt{3}}{4}$$
c)
Diện tích xung quanh lăng trụ là : $${{S}_{xq}}=2ph=6ah$$
Diện tích đáy lục giác đều cạnh a của lăng trụ bằng 6 lần diện tích tam giác đều cạnh a.
Nên ta có diện tích một đáy lăng trụ là : $${{S}_{d}}=6.\frac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{4}=\frac{3{{a}^{2}}\sqrt{3}}{2}$$
Diện tích toàn phần lăng trụ là : $${{S}_{tp}}={{S}_{xq}}+{{S}_{d}}=6ah+2.\frac{3{{a}^{2}}\sqrt{3}}{2}=6ah+3{{a}^{2}}\sqrt{3}$$
Thể tích lăng trụ là : $$V={{S}_{d}}.h=\frac{3{{a}^{2}}\sqrt{3}}{2}.h=\frac{3{{a}^{2}}h\sqrt{3}}{2}$$
d)
Diện tích xung quanh lăng trụ là : $${{S}_{xq}}=2ph=\left( 2a+a+a+a \right).h=5ah$$
Đáy lăng trụ là hình thang cân có đáy lớn bằng 2a, đáy nhỏ bằng a có chiều cao bằng chiều cao tam giác đều cạnh a và bằng $$\frac{a\sqrt{3}}{2}$$.
Diện tích toàn phần của lăng trụ là : $${{S}_{tp}}={{S}_{xq}}+2{{S}_{d}}=5ah+2.\frac{3{{a}^{2}}\sqrt{3}}{4}=5ah+\frac{3{{a}^{2}}\sqrt{3}}{2}$$
Thể tích lăng trụ là : $$V={{S}_{d}}.h=\frac{3{{a}^{2}}\sqrt{3}}{4}.h=\frac{3{{a}^{2}}h\sqrt{3}}{4}$$
e)
Hình thoi có hai đường chéo là 6a và 8a có cạnh bằng $$\sqrt{{{\left( \frac{6a}{2} \right)}^{2}}+{{\left( \frac{8a}{2} \right)}^{2}}}=5a$$( vì hai đường chéo của hình thoi vuông góc nhau tại trung điểm mỗi đường)
Diện tích xung quanh lăng trụ là : $${{S}_{xq}}=2ph=4.5ah=20ah$$
Diện tích toàn phần lăng trụ là : $${{S}_{tp}}={{S}_{xq}}+2{{S}_{d}}=20ah+2.\frac{1}{2}.6a.8a=20ah+48{{a}^{2}}$$
Thể tích lăng trụ là : $$V={{S}_{d}}.h=24{{a}^{2}}h$$
Bài 52. SGK toán 8 tập 2 trang 128
Mặt trước, mặt sau của thanh gỗ là hình thang cân ABCD có chiều cao AH.
$$\Rightarrow DH=\frac{1}{2}\left( CD-AB \right)=\frac{1}{2}\left( 6-3 \right)=1,5\left( cm \right)$$
$$\Rightarrow AH=\sqrt{A{{D}^{2}}-D{{H}^{2}}}=\sqrt{3,{{5}^{2}}-1,{{5}^{2}}}=\sqrt{10}\approx 3,16\left( cm \right)$$
Diện tích xung quanh lăng trụ là : $${{S}_{xq}}=2ph=\left( 3+6+3,5+3,5 \right).11,5=184\left( c{{m}^{2}} \right)$$
Diện tích một đáy lăng trụ là : $${{S}_{d}}=\frac{\left( AB+CD \right).AH}{2}=\frac{\left( 3+6 \right).3,16}{2}=14,22\left( c{{m}^{2}} \right)$$
Diện tích toàn phần lăng trụ là : $${{S}_{tp}}={{S}_{xq}}+{{S}_{d}}=184+2.14,22=212,44\left( c{{m}^{2}} \right)$$
Bài 53. SGK toán 8 tập 2 trang 128
Thùng chứa là một lăng trụ tam giác đứng.
Diện tích đáy thùng chứa là : $${{S}_{d}}=\frac{1}{2}ah=\frac{1}{2}.80.50=2000\left( c{{m}^{2}} \right)$$
Thể tích thùng chứa là : $$V=S.h=2000.60=120000\left( c{{m}^{3}} \right)$$
Bài 54. SGK toán 8 tập 2 trang 128
Ta có hình chữ nhật ABCD và tấm bê tông cần xây là ABCFE.
Ta có : $$DE=AD-AE=4,2-2,15=2,05\left( m \right)$$; $$DF=CD-CF=5,1-3,6=1,5\left( m \right)$$
$$\Rightarrow {{S}_{ABCD}}=AB.AD=5,1.4,2=21,42\left( {{m}^{2}} \right);{{S}_{DEF}}=\frac{1}{2}DE.DF=\frac{1}{2}.2,05.1,51,5375\left( {{m}^{2}} \right)$$
$$\Rightarrow {{S}_{ABCFE}}={{S}_{ABCD}}-{{S}_{DEF}}=21,42-1,5375\approx 19,88\left( {{m}^{2}} \right)$$
a) Số bê tông cần có là thể tích lăng trụ với đáy là ABCFE và chiều cao bằng $$3cm=0,03m$$.
$$\Rightarrow V={{S}_{d}}.h=19,88.0,03=0,5964\left( {{m}^{3}} \right)$$
b) Nếu mỗi xe chứa được $$0,06{{m}^{3}}$$ bê tông thì cần $$\frac{0,5964}{0,06}=9,94\approx 10$$chuyến xe để chở số bê tông cần thiết đến chỗ đổ bê tông.
Bài 55. SGK toán 8 tập 2 trang 128
AB | BC | CD | AD |
1 | 2 | 2 | 3 |
2 | 3 | 6 | 7 |
2 | 6 | 9 | 11 |
9 | 12 | 20 | 25 |
Ta có :$$AD=\sqrt{A{{B}^{2}}+B{{C}^{2}}+C{{D}^{2}}}=\sqrt{{{1}^{2}}+{{2}^{2}}+{{2}^{2}}}=3$$
Ta có : $$BD=\sqrt{A{{D}^{2}}-A{{B}^{2}}}=\sqrt{{{7}^{2}}-{{2}^{2}}}=\sqrt{45}$$
$$\Rightarrow CD=\sqrt{B{{D}^{2}}-B{{C}^{2}}}=\sqrt{45-{{3}^{2}}}=6$$
Ta có : $$BD=\sqrt{A{{D}^{2}}-A{{B}^{2}}}=\sqrt{{{11}^{2}}-{{2}^{2}}}=\sqrt{117}$$
$$\Rightarrow BC=\sqrt{B{{D}^{2}}-C{{D}^{2}}}=\sqrt{117-{{9}^{2}}}=6$$
Ta có : $$BD=\sqrt{C{{D}^{2}}+B{{C}^{2}}}=\sqrt{{{20}^{2}}+{{12}^{2}}}=\sqrt{544}$$
$$\Rightarrow AB=\sqrt{A{{D}^{2}}-B{{D}^{2}}}=\sqrt{{{25}^{2}}-544}=9$$
Bài 56. SGK toán 8 tập 2 trang 128
a) Lều là lăng trụ tam giác đứng có diện tích đáy là $${{S}_{d}}=\frac{1}{2}.3,2.1,2=1,92\left( {{m}^{2}} \right)$$
Thể tích khoảng không ở bên trong lều là : $$V={{S}_{d}}.h=1,92.5=9,6\left( {{m}^{3}} \right)$$
b) Số vải bạt cần phải có để dựng lều là diện tích toàn phần trừ diện tích một mặt bên có kích thước là 5m và 3,2m.
Diện tích xung quanh lăng trụ là : $${{S}_{xq}}=2ph=\left( 2+2+3,2 \right).5=36\left( {{m}^{2}} \right)$$
Diện tích toàn phần lăng trụ là : $${{S}_{tp}}={{S}_{xq}}+2{{S}_{d}}=36+2.1,92=39,84\left( {{m}^{2}} \right)$$
Số vải bạt cần phải có để dựng lều là : $$39,84-3,2.5=23,84\left( {{m}^{2}} \right)$$
Bài 57. SGK toán 8 tập 2 trang 129
Hình 147.
Chiều cao của $$\Delta BCD$$ đều cạnh 10cm là : $$\frac{10\sqrt{3}}{2}=5\sqrt{3}\left( cm \right)$$
Diện tích đáy hình chóp là : $$S=\frac{1}{2}.10.5\sqrt{3}=25\sqrt{3}\left( c{{m}^{2}} \right)$$
Thể tích hình chóp là : $$V=\frac{1}{3}S.h=\frac{1}{3}.25\sqrt{3}.20\approx \frac{1}{3}.25.1,73.20=288,33\left( c{{m}^{3}} \right)$$
Hình 148.
Ta có : $$OL=ML+OM=15+15=30\left( cm \right)$$
Thể tích hình chóp $$L.ABCD$$ là : $${{V}_{L.ABCD}}=\frac{1}{3}S.h=\frac{1}{3}.A{{B}^{2}}.h=\frac{1}{3}{{.20}^{2}}.30=4000\left( c{{m}^{3}} \right)$$
Thể tích hình chóp $$L.EFGH$$ là : $${{V}_{L.EFGH}}=\frac{1}{3}S.h=\frac{1}{3}E{{F}^{2}}.h=\frac{1}{3}{{.10}^{2}}.15=500\left( c{{m}^{3}} \right)$$
Vậy thể tích hình chóp cụ đều là $${{V}_{ABCD.EFGH}}={{V}_{L.ABCD}}-{{V}_{L.EFGH}}=4000-500=3500\left( c{{m}^{3}} \right)$$
Bài 58. SGK toán 8 tập 2 trang 129
Thể tích hình hộp chữ nhật là : $${{V}_{1}}=3.3.6=54\left( {{m}^{3}} \right)$$
Ta có : $$AB=OA+OB=4,5+3=7,5\left( m \right)$$
Thể tích hình chóp có đường cao AB là : $${{V}_{2}}=\frac{1}{3}S.h=\frac{1}{3}.7,5.7,5.7,5=140,625\left( {{m}^{3}} \right)$$
Thể tích hình chóp có đường cao OB là : $${{V}_{3}}=\frac{1}{3}S.h=\frac{1}{3}.3.3.3=9\left( {{m}^{3}} \right)$$
Thể tích hình chóp cụt là : $${{V}_{4}}={{V}_{2}}-{{V}_{3}}=140,625-9=131,625\left( {{m}^{3}} \right)$$
Thể tích hình cần tính là : $$V={{V}_{1}}+{{V}_{4}}=54+131,625=185,625\left( {{m}^{3}} \right)$$