BÀI 9: PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỪ BẰNG CÁCH PHỐI HỢP NHIỀU PHƯƠNG PHÁP
A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP
Dạng 1. Phân tích đa thức thành nhân tử
Cách giải:
Sử dụng các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử: phương pháp đặt nhân tử chung, dùng hằng đẳng thức hoặc phương pháp nhóm các hạng tử.
Dạng 2. Chứng minh tính chia hết
Cách giải:
- Phân tích đa thức cần chứng minh thành nhân tử bằng ba phương pháp: đặt nhân tử chung, dùng hẳng đẳng thức hoặc nhóm các hạng tử.
- Chứng minh một nhân tử chia hết cho số đó.
Dạng 3. Tìm một số chưa biết trong đẳng thức
Cách giải:
Phân tích đa thức cần chứng minh thành nhân tử bằng ba phương pháp: đặt nhân tử chung, dùng hẳng đẳng thức hoặc nhóm các hạng tử.
Dạng 4. Tính giá trị đa thức
Cách giải:
Phân tích đa thức cần chứng minh thành nhân tử bằng ba phương pháp: đặt nhân tử chung, dùng hẳng đẳng thức hoặc nhóm các hạng tử.
Thay giá trị của ẩn trong đa thức bằng giá trị trong đề.
B. GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA
Bài 51. (SGK Toán 8 tập 1 trang 24)
a)
\({x^3}-2{x^2} + x = x.{x^2}-x.2x + x = x\left( {{x^2}-2x + 1} \right) = x{\left( {x-1} \right)^2}\)
b) \(2{x^2} + 4x + 2 - 2{y^2} = 2 \cdot \left( {{x^2} + 2x + 1 - {y^2}} \right) = 2\left[ {\left( {{x^2} + 2x + 1} \right) - {y^2}} \right]\)
\(= 2\left[ {{{(x + 1)}^2} - {y^2}} \right] = 2(x + 1 - y)(x + 1 + y)\)
c) \(2xy - {x^2} - {y^2} + 16 = 16 - \left( {{x^2} - 2xy + {y^2}} \right) = {4^2} - {(x - y)^2}\)
\(= [4 - (x - y)][4 + (x - y)] = (4 - x + y)(4 + x - y)\)
Bài 52. (SGK Toán 8 tập 1 trang 24)
Ta có: \({\left( {5n + 2} \right)^2}-4 = {\left( {5n + 2} \right)^2}-{2^2} = \left( {5n + 2-2} \right)\left( {5n + 2 + 2} \right) = 5n\left( {5n + 4} \right)\)
Vì \(5:5 \Rightarrow 5n(5n + 4) \vdots 5\left( {\forall n \in Z} \right)\)
\[\Rightarrow \] (5n + 2)2 – 4 luôn chia hết cho 5 với mọi số nguyên n.
Bài 53. (SGK Toán 8 tập 1 trang 24)
a)
Cách 1:
\({x^2}-3x + 2 = {x^2}-x-2x + = \left( {{x^2}-x} \right)-\left( {2x-2} \right) = x\left( {x-1} \right)-2(x-1 = \left( {x-1} \right)\left( {x-2} \right)\)
Cách 2:
\(\begin{array}{*{20}{l}} {{x^2}-3x + 2}\\ { = {x^2}-3x-4 + 6}\\ { = {x^2}-4-3x + 6}\\ { = \left( {{x^2}-{2^2}} \right)-3\left( {x-2} \right)}\\ { = \left( {x-2} \right)\left( {x + 2} \right)-3.(x-2)}\\ \begin{array}{l} = \left( {x-2} \right)\left( {x + 2-3} \right)\\ = \left( {x-2} \right)\left( {x-1} \right) \end{array} \end{array}\)
b) \({x^2} + x-6 = {x^2} + 3x-2x-6= x\left( {x + 3} \right)-2(x + 3 = \left( {x + 3} \right)\left( {x-2} \right)\)
c) \[{{x}^{2}}+5x+6={{x}^{2}}+2x+3x+6=x\left( x+2 \right)+3\left( x+2 \right)=\left( x+2 \right)\left( x+3 \right)\]
LUYỆN TẬP
Bài 54. (SGK Toán 8 tập 1 trang 25)
a)
\(\begin{array}{*{20}{l}} {{x^3} + 2{x^2}y + x{y^2}-9x}\\ { = x\left( {{x^2} + 2xy + {y^2}-9} \right)}\\ { = x\left[ {\left( {{x^2} + 2xy + {y^2}} \right)-9} \right]}\\ { = x\left[ {{{\left( {x + y} \right)}^2}-{3^2}} \right]}\\ { = x\left( {x + y-3} \right)\left( {x + y + 3} \right)} \end{array}\)
b)
\(\begin{array}{*{20}{l}} {2x-2y-{x^2} + 2xy-{y^2}}\\ { = \left( {2x-2y} \right)-\left( {{x^2}-2xy + {y^2}} \right)}\\ { = 2\left( {x-y} \right)-{{\left( {x-y} \right)}^2}}\\ { = \left( {x-y} \right)\left[ {2-\left( {x-y} \right)} \right]}\\ { = \left( {x-y} \right)\left( {2-x + y} \right)} \end{array}\)
c)
\({x^4}-2{x^2} = {x^2}\left( {{x^2}-2} \right)\)
Bài 55. (SGK Toán 8 tập 1 trang 25)
a) Ta có:
\(\begin{array}{l} {x^3} - \frac{1}{4}x = 0\\ \Leftrightarrow x\left( {{x^2} - \frac{1}{4}} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0\\ {x^2} = \frac{1}{4} \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0\\ x = \pm \frac{1}{2} \end{array} \right. \end{array}\)
b) Ta có:
\(\begin{array}{*{20}{l}} {{{\left( {2x-1} \right)}^2}-{{\left( {x + 3} \right)}^2} = 0}\\ { \Leftrightarrow \left[ {\left( {2x-1} \right)-\left( {x + 3} \right)} \right]\left[ {\left( {2x-1} \right) + \left( {x + 3} \right)} \right] = 0}\\ { \Leftrightarrow \left( {2x-1-x-3} \right).\left( {2x-1 + x + 3} \right) = 0}\\ \begin{array}{l} \Leftrightarrow \left( {x-4} \right)\left( {3x + 2} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x - 4 = 0\\ 3x + 2 = 0 \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 4\\ x = - \frac{2}{3} \end{array} \right. \end{array} \end{array}\)
c) Ta có:
\(\begin{array}{l} \begin{array}{*{20}{l}} {{x^2}\left( {x-3} \right) + 12-4x = 0}\\ { \Leftrightarrow {x^2}\left( {x-3} \right)-4.\left( {x-3} \right) = 0}\\ { \Leftrightarrow \left( {{x^2}-4} \right)\left( {x-3} \right) = 0}\\ { \Leftrightarrow \left( {{x^2}-{2^2}} \right).(x-3) = 0}\\ { \Leftrightarrow \left( {x-2} \right)\left( {x + 2} \right)\left( {x-3} \right) = 0} \end{array}\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x - 2 = 0\\ x + 2 = 0\\ x - 3 = 0 \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 2\\ x = - 2\\ x = 3 \end{array} \right. \end{array}\)
Bài 56. (SGK Toán 8 tập 1 trang 25)
a) Ta có: \[{{x}^{2}}+\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}={{x}^{2}}+2x.\frac{1}{4}+{{\left( \frac{1}{4} \right)}^{2}}={{\left( x+\frac{1}{4} \right)}^{2}}\]
Thay \[x=49,75\] vào biểu thức ta được:
\[{{\left( 49,75+\frac{1}{4} \right)}^{2}}={{\left( 49,75+0,25 \right)}^{2}}={{50}^{2}}=2500\]
b) Ta có: \({x^2}-{y^2}-2y-1 = {x^2}-\left( {{y^2} + 2y + 1} \right) = {x^2}-\left( {y + 1} \right) = \left( {x-y-1} \right)\left( {x + y + 1} \right)\)
Thay \[x=93,y=6\] vào biểu thức ta được:
\(\left( {93-6-1} \right)\left( {93 + 6 + 1} \right) = 86.100 = 8600\)
Bài 57. (SGK Toán 8 tập 1 trang 25)
a)
Cách 1:
\({x^2}-4x + 3 = {x^2}-x-3x + 3 = x\left( {x-1} \right)-3\left( {x-1} \right) = \left( {x-1} \right)\left( {x-3} \right)\)
Cách 2:
\({x^2}-4x + 3 = {x^2}-2.x.2 + {2^2} + 3-{2^2} = {\left( {x-2} \right)^2}-1 = \left( {x-2-1} \right)\left( {x-2 + 1} \right) = \left( {x-3} \right)\left( {x-1} \right)\)
b) \[{{x}^{2}}+5x+4={{x}^{2}}+x+4x+4=x\left( x+1 \right)+4\left( x+1 \right)=\left( x+1 \right)\left( x+4 \right)\]
c) \({x^2}-x-6 = {x^2} + 2x-3x-6 = x\left( {x + 2} \right)-3\left( {x + 2} \right) = \left( {x-3} \right)\left( {x + 2} \right)\)
d) \({x^4} + 4 = {\left( {{x^2}} \right)^2} + {2^2} = {x^4} + 2.{x^2}.2 + 4-4{x^2} = {\left( {{x^2} + 2} \right)^2}-{\left( {2x} \right)^2} = \left( {{x^2} + 2-2x} \right)\left( {{x^2} + 2 + 2x} \right)\)
Bài 58. (SGK Toán 8 tập 1 trang 25)
\(A = {n^3}-n = n\left( {{n^2}-1} \right) = n\left( {n-1} \right)\left( {n + 1} \right)\)
Vì \(n-1;n;n + 1\)là ba số tự nhiên liên tiếp nên ta có:
+ Trong đó có ít nhất một số chẵn \( \Rightarrow \left( {n-1} \right).n.\left( {n + 1} \right) \vdots 2\)
+ Trong đó có một số chia hết cho 3 \( \Rightarrow \left( {n-1} \right).n.\left( {n + 1} \right) \vdots 3\)
\[\Rightarrow A\vdots 6\] (điều phải chứng minh).
Trên đây là gợi ý giải bài tập Toán 8 bài Phân tích đa thức thành nhân tử bằng cách phối hợp nhiều phương pháp do giáo viên Ican trực tiếp biên soạn theo chương trình mới nhất. Chúc bác bạn học tập vui vẻ.