BÀI 8. DIỆN TÍCH XUNG QUANH CỦA HÌNH CHÓP ĐỀU
A. LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM
- Diện tích xung quanh của hình chóp đều bằng tích của nửa chu vi đáy với trung đoạn:
$${{S}_{xq}}=p.d$$
( p là nửa chu vi đáy, d là trung đoạn của hình chóp đều)
- Diện tích toàn phần của hình chóp bằng tổng diện tích xung quanh và diện tích đáy.
B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP
Dạng 1. Tính diện tích xung quanh, diện tích toàn phần hình chóp đều
Cách giải:
- Diện tích xung quanh của hình chóp đều bằng tích của nửa chu vi đáy với trung đoạn:
$${{S}_{xq}}=p.d$$ ( p là nửa chu vi đáy, d là trung đoạn của hình chóp đều)
- Diện tích toàn phần của hình chóp bằng tổng diện tích xung quanh và diện tích đáy.
Dạng 2. Tính độ dài trung đoạn của hình chóp đều
Cách giải:
Độ dài trung đoạn của hình chóp bằng thương diện tích xung quanh và nửa chu vi đáy:
$$d=\frac{{{S}_{xq}}}{p}$$
( p là nửa chu vi đáy)
Dạng 3. Tính chiều cao hình chóp tứ giác đều
Cách giải:
Áp dụng định lí Pi-ta-go trong tam giác vuông:
$$\Delta ABC$$ vuông tại A $$\Leftrightarrow A{{B}^{2}}+A{{C}^{2}}=B{{C}^{2}}$$
C. GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA
Bài 40. SGK toán 8 tập 2 trang 121
Gọi SH là trung đoạn ứng với cạnh CD của hình chóp $$S.ABCD$$.
$$\Rightarrow SH\bot CD$$ và H là trung điểm của CD.
$$\Rightarrow CH=DH=\frac{1}{2}CD=15\left( cm \right)$$
$$\Rightarrow d=SH=\sqrt{S{{C}^{2}}-C{{H}^{2}}}=\sqrt{{{25}^{2}}-{{15}^{2}}}=20\left( cm \right)$$
Diện tích xung quanh hình chóp$$S.ABCD$$ là: $${{S}_{xq}}=p.d=\left( \frac{1}{2}.4.30 \right).20=1200\left( c{{m}^{2}} \right)$$
Diện tích đáy hình chóp $$S.ABCD$$ là: $${{S}_{d}}=A{{B}^{2}}={{30}^{2}}=900\left( c{{m}^{2}} \right)$$
Diện tích toàn phần hình chóp $$S.ABCD$$ là: $${{S}_{tp}}={{S}_{xq}}+{{S}_{d}}=1200+900=2100\left( c{{m}^{2}} \right)$$
Bài 41. SGK toán 8 tập 2 trang 121
a) Trong hình 125a có 4 tam giác bằng nhau.
b) Gọi H là trug điểm cạnh BC.
$$\Rightarrow AH\bot BC$$ ( vì $$\Delta ABC$$ cân tại A)
$$\Rightarrow BH=CH=\frac{1}{2}BC=\frac{5}{2}\left( cm \right)$$
Chiều cao ứng với đáy của mỗi tam giác là: $$AH=\sqrt{A{{C}^{2}}-C{{H}^{2}}}=\sqrt{{{10}^{2}}-{{\left( \frac{5}{2} \right)}^{2}}}=\frac{5\sqrt{15}}{2}\left( cm \right)$$
c) Chu vi đáy hình chóp là: $$P=2.\left( 5+5 \right)=20\left( cm \right)$$
Diện tích xung quanh hình chóp là: $${{S}_{xq}}=p.d=\frac{1}{2}.20.\frac{5\sqrt{15}}{2}=25\sqrt{15}\left( c{{m}^{2}} \right)$$
Diện tích đáy hình chóp là: $${{S}_{d}}=5.5=25\left( c{{m}^{2}} \right)$$
Diện tích toàn phần hình chóp là: $${{S}_{tp}}={{S}_{xq}}+{{S}_{d}}=25\sqrt{15}+25\approx 121,82\left( c{{m}^{2}} \right)$$
Bài 42. SGK toán 8 tập 2 trang 121
Gọi giao điểm của AC và BD là O.
$$\Rightarrow O$$ là trung điểm của AC và BD
$$\Rightarrow OA=OC=\frac{1}{2}AC=\frac{5\sqrt{2}}{2}\left( cm \right)$$
Xét $$\Delta ABC$$ vuông tại C ta có: $$AC=\sqrt{A{{B}^{2}}+B{{C}^{2}}}=\sqrt{{{5}^{2}}+{{5}^{2}}}=5\sqrt{2}\left( cm \right)$$
Xét \[\Delta OSA\] vuông tại O có: $$OS=\sqrt{A{{S}^{2}}-O{{S}^{2}}}=\sqrt{{{10}^{2}}-{{\left( \frac{5\sqrt{2}}{2} \right)}^{2}}}=\sqrt{\frac{175}{2}}\approx 9,35\left( cm \right)$$
Vậy độ dài đường cao của hình chóp tứ giác đều đó là 9,35cm.
Bài 43. SGK toán 8 tập 2 trang 121
a)
Diện tích xung quanh hình chóp là: $${{S}_{xq}}=p.d=\left( \frac{1}{2}.20.4 \right).20=800\left( c{{m}^{2}} \right)$$
Diện tích đáy hình chóp là: $${{S}_{d}}={{20}^{2}}=400\left( c{{m}^{2}} \right)$$
Diện tích toàn phần hình chóp là: $${{S}_{tp}}={{S}_{xq}}+{{S}_{d}}=800+400=1200\left( c{{m}^{2}} \right)$$
b)
Diện tích xung quanh hình chóp là: $${{S}_{xq}}=p.d=\left( \frac{1}{2}.4.7 \right).12=168\left( c{{m}^{2}} \right)$$
Diện tích đáy hình chóp là: $${{S}_{d}}={{7}^{2}}=49\left( c{{m}^{2}} \right)$$
Diện tích toàn phần hình chóp là: $${{S}_{tp}}={{S}_{xq}}+{{S}_{d}}=168+49=217\left( c{{m}^{2}} \right)$$
c)
Diện tích đáy hình chóp là: $${{S}_{d}}={{16}^{2}}=256\left( c{{m}^{2}} \right)$$
Vì I là trung điểm BC nên ta có: $$IB=IC=\frac{1}{2}BC=8\left( cm \right)$$
Tam giác $$BSC$$cân tại S
$$\Rightarrow IS\bot BC$$
$$\Rightarrow d=IS=\sqrt{S{{C}^{2}}-I{{C}^{2}}}=\sqrt{{{17}^{2}}-{{8}^{2}}}=15\left( cm \right)$$
Diện tích xung quanh hình chóp là: $${{S}_{xq}}=p.d=\left( \frac{1}{2}.16.4 \right).15=480\left( c{{m}^{2}} \right)$$
Diện tích toàn phần hình chóp là: $${{S}_{tp}}={{S}_{xq}}+{{S}_{d}}=256+480=736\left( c{{m}^{2}} \right)$$