BÀI 6: PHÉP TRỪ CÁC PHÂN THỨC ĐẠI SỐ
A. LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM
1. Phân thức đối
Hai phân thức được gọi là đối nhau nếu tổng của chúng bằng 0.
Phân thức đối của phân thức \[\frac{A}{B}\] được kí hiệu bởi \[\frac{-A}{B}\] .
\[-\frac{A}{B}=\frac{-A}{B}\] và \[-\frac{-A}{B}=\frac{A}{B}\]
2. Phép trừ
Quy tắc:
Muốn trừ phân thức \[\frac{A}{B}\] cho phân thức \[\frac{C}{D}\] , ta cộng \[\frac{A}{B}\] với phân thức đối của \[\frac{C}{D}\] :
\[\frac{A}{B}-\frac{C}{D}=\frac{A}{B}+\left( -\frac{C}{D} \right)\]
Kết quả của phép trừ \[\frac{A}{B}\] cho \[\frac{C}{D}\] được gọi là hiệu của \[\frac{A}{B}\] và \[\frac{C}{D}\] .
Chú ý:
Thứ tự thực hiện các phép tính về phân thức cũng giống như thứ tự thực hiện các phép tính về số.
B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP
Dạng 1. Điền phân thức thích hợp vào chỗ trống để được các phân thức bằng nhau
Cách giải:
Áp dụng quy tắc đổi dấu: \[\frac{-A}{B}=\frac{A}{-B}=-\frac{A}{B}\] .
Dạng 2. Thực hiện phép trừ các phân thức đại số
Cách giải:
Áp dụng quy tắc trừ phân thức đại số: \[\frac{A}{B}-\frac{C}{D}=\frac{A}{B}+\left( -\frac{C}{D} \right)\]
Áp dụng quy tắc đổi dấu: \[\frac{-A}{B}=\frac{A}{-B}=-\frac{A}{B}\] .
Dạng 3. Tính nhanh
Cách giải:
Áp dụng quy tắc trừ phân thức đại số: \[\frac{A}{B}-\frac{C}{D}=\frac{A}{B}+\left( -\frac{C}{D} \right)\] .
Triệt tiêu các phân thức đại số giống nhau để có được kết quả.
Dạng 4. Bài toán đưa về phép trừ phân thức đại số
Cách giải:
Phân tích bài toán để đưa về dạng phép trừ các phân thức đại số.
Áp dụng quy tắc trừ phân thức đại số: \[\frac{A}{B}-\frac{C}{D}=\frac{A}{B}+\left( -\frac{C}{D} \right)\] .
C. GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA
Bài 28. (SGK Toán 8 tập 1 trang 49)
a) \[-\frac{{{x}^{2}}+2}{1-5x}=\frac{{{x}^{2}}+2}{-\left( 1-5x \right)}=\frac{{{x}^{2}}+2}{5x-1}\]
b) \[-\frac{4x+1}{5-x}=\frac{4x+1}{-\left( 5-x \right)}=\frac{4x+1}{x-5}\]
Bài 29. (SGK Toán 8 tập 1 trang 50)
a) \(\frac{{4x - 1}}{{3{x^2}y}} - \frac{{7x - 1}}{{3{x^2}y}} = \frac{{4x - 1}}{{3{x^2}y}} + \frac{{ - (7x - 1)}}{{3{x^2}y}}\)
\(= \frac{{4x - 1}}{{3{x^2}y}} + \frac{{1 - 7x}}{{3{x^2}y}} = \frac{{4x - 1 + 1 - 7x}}{{3{x^2}y}} = \frac{{ - 3x}}{{3{x^2}y}} = \frac{{ - 1}}{{xy}}\)
b) \(\frac{{4x + 5}}{{2x - 1}} - \frac{{5 - 9x}}{{2x - 1}} = \frac{{4x + 5}}{{2x - 1}} + \frac{{ - (5 - 9x)}}{{2x - 1}}\)
\(= \frac{{4x + 5}}{{2x - 1}} + \frac{{9x - 5}}{{2x - 1}} = \frac{{4x + 5 + 9x - 5}}{{2x - 1}} = \frac{{13x}}{{2x - 1}}\)
c)
\(\begin{array}{l} \frac{{11x}}{{2x - 3}} - \frac{{x - 18}}{{3 - 2x}} = \frac{{11x}}{{2x - 3}} + \frac{{ - \left( {x - 18} \right)}}{{3 - 2x}} = \frac{{11x}}{{2x - 3}} + \frac{{x - 18}}{{ - \left( {3 - 2x} \right)}} = \frac{{11x}}{{2x - 3}} + \frac{{x - 18}}{{2x - 3}}\\ = \frac{{11x + x - 18}}{{2x - 3}} = \frac{{12x - 18}}{{2x - 3}} = \frac{{6\left( {2x - 3} \right)}}{{2x - 3}} = 6 \end{array} \)
d) \(\frac{{2x - 7}}{{10x - 4}} - \frac{{3x + 5}}{{4 - 10x}} = \frac{{2x - 7}}{{10x - 4}} + \frac{{3x + 5}}{{ - (4 - 10x)}}\)
\(= \frac{{2x - 7}}{{10x - 4}} + \frac{{3x + 5}}{{10x - 4}} = \frac{{2x - 7 + 3x + 5}}{{10x - 4}} = \frac{{5x - 2}}{{10x - 4}} = \frac{{5x - 2}}{{2(5x - 2)}} = \frac{1}{2}\)
Bài 30. (SGK Toán 8 tập 1 trang 50)
a) \(\frac{3}{{2x + 6}} - \frac{{x - 6}}{{2{x^2} + 6x}} = \frac{3}{{2x + 6}} + \frac{{ - (x - 6)}}{{2{x^2} + 6x}}\)
\( = \frac{{3x}}{{2x(x + 3)}} + \frac{{6 - x}}{{2x(x + 3)}} = \frac{{3x + 6 - x}}{{2x(x + 3)}} = \frac{{2x + 6}}{{x(2x + 6)}} = \frac{1}{x}\)
b)
\(\begin{array}{l} {x^2} + 1 - \frac{{{x^4} - 3{x^2} + 2}}{{{x^2} - 1}} = \frac{{\left( {{x^2} + 1} \right)\left( {{x^2} - 1} \right)}}{{{x^2} - 1}} + \frac{{ - \left( {{x^4} - 3{x^2} + 2} \right)}}{{{x^2} - 1}} = \frac{{{x^4} - 1}}{{{x^2} - 1}} + \frac{{3{x^2} - {x^4} - 2}}{{{x^2} - 1}} = \frac{{{x^4} - 1 + 3{x^2} - {x^4} - 2}}{{{x^2} - 1}}\\ = \frac{{3{x^2} - 3}}{{{x^2} - 1}} = \frac{{3\left( {{x^2} - 1} \right)}}{{{x^2} - 1}} = 3 \end{array} \)
Bài 31. (SGK Toán 8 tập 1 trang 50)
a) \[\frac{1}{x}-\frac{1}{x+1}=\frac{x+1}{x\left( x+1 \right)}-\frac{x}{x\left( x+1 \right)}=\frac{x+1-x}{x\left( x+1 \right)}=\frac{1}{x\left( x+1 \right)}\] (đpcm)
b) \(\frac{1}{{xy - {x^2}}} - \frac{1}{{{y^2} - xy}} = \frac{1}{{xy - {x^2}}} + \frac{{ - 1}}{{{y^2} - xy}}\)
\(= \frac{1}{{x(y - x)}} + \frac{{ - 1}}{{y(y - x)}} = \frac{y}{{xy(y - x)}} + \frac{{ - x}}{{xy(y - x)}} = \frac{{y - x}}{{xy(y - x)}} = \frac{1}{{xy}}\)
Bài 32. (SGK Toán 8 tập 1 trang 50)
Áp dụng kết quả bài 31 ta có:
\(\begin{array}{l} \frac{1}{{x\left( {x + 1} \right)}} = \frac{1}{x} - \frac{1}{{x + 1}}\\ \frac{1}{{\left( {x + 1} \right)\left( {x + 2} \right)}} = \frac{1}{{x + 1}} - \frac{1}{{x + 2}}\\ \frac{1}{{\left( {x + 2} \right)\left( {x + 3} \right)}} = \frac{1}{{x + 2}} - \frac{1}{{x + 3}}\\ ...\\ \frac{1}{{\left( {x + 5} \right)\left( {x + 6} \right)}} = \frac{1}{{x + 5}} - \frac{1}{{x + 6}}\\ \Rightarrow \frac{1}{{x\left( {x + 1} \right)}} + \frac{1}{{\left( {x + 1} \right)\left( {x + 2} \right)}} + ... + \frac{1}{{\left( {x + 5} \right)\left( {x + 6} \right)}} = \frac{1}{x} - \frac{1}{{x + 1}} + \frac{1}{{x + 1}} - \frac{1}{{x + 2}} + ... + \frac{1}{{x + 5}} - \frac{1}{{x + 6}} = \frac{1}{x} - \frac{1}{{x + 6}}\\ = \frac{{x + 6}}{{x\left( {x + 6} \right)}} - \frac{x}{{x\left( {x + 6} \right)}} = \frac{{x + 6 - x}}{{x\left( {x + 6} \right)}} = \frac{6}{{x\left( {x + 6} \right)}} \end{array} \)
LUYỆN TẬP
Bài 33. (SGK Toán 8 tập 1 trang 50)
a) \(\frac{{4xy - 5}}{{10{x^3}y}} - \frac{{6{y^2} - 5}}{{10{x^3}y}} = \frac{{4xy - 5 - \left( {6{y^2} - 5} \right)}}{{10{x^3}y}} = \frac{{4xy - 5 - 6{y^2} + 5}}{{10{x^3}y}}\)
\(= \frac{{4xy - 6{y^2}}}{{10{x^3}y}} = \frac{{2y(2x - 3y)}}{{2y.5{x^3}}} = \frac{{2x - 3y}}{{5{x^3}}}\)
b)
\(\begin{array}{l} \frac{{7x + 6}}{{2x\left( {x + 7} \right)}} - \frac{{3x + 6}}{{2{x^2} + 14x}} = \frac{{7x + 6}}{{2x\left( {x + 7} \right)}} - \frac{{3x + 6}}{{2x\left( {x + 7} \right)}} = \frac{{7x + 6 - \left( {3x + 6} \right)}}{{2x\left( {x + 7} \right)}} = \frac{{7x + 6 - 3x - 6}}{{2x\left( {x + 7} \right)}}\\ = \frac{{4x}}{{2x\left( {x + 7} \right)}} = \frac{{2.2x}}{{2x\left( {x + 7} \right)}} = \frac{2}{{x + 7}} \end{array} \)
Bài 34. (SGK Toán 8 tập 1 trang 50)
a)
\(\begin{array}{l} \frac{{4x + 13}}{{5x\left( {x - 7} \right)}} - \frac{{x - 48}}{{5x\left( {7 - x} \right)}} = \frac{{4x + 13}}{{5x\left( {x - 7} \right)}} + \frac{{x - 48}}{{ - 5x\left( {7 - x} \right)}} = \frac{{4x + 13}}{{5x\left( {x - 7} \right)}} + \frac{{x - 48}}{{5x\left( {x - 7} \right)}} = \frac{{4x + 13 + x - 48}}{{5x\left( {x - 7} \right)}}\\ = \frac{{5x - 35}}{{5x\left( {x - 7} \right)}} = \frac{{5\left( {x - 7} \right)}}{{5\left( {x - 7} \right)x}} = \frac{1}{x} \end{array} \)
b)
\(\begin{array}{l} \frac{1}{{x - 5{x^2}}} - \frac{{25x - 15}}{{25{x^2} - 1}}\\ = \frac{1}{{x - 5{x^2}}} + \frac{{25x - 15}}{{ - \left( {25{x^2} - 1} \right)}}\\ = \frac{1}{{x\left( {1 - 5x} \right)}} + \frac{{25x - 15}}{{1 - 25{x^2}}}\\ = \frac{1}{{x\left( {1 - 5x} \right)}} + \frac{{25x - 15}}{{\left( {1 + 5x} \right)\left( {1 - 5x} \right)}}\\ = \frac{{1 + 5x}}{{x\left( {1 + 5x} \right)\left( {1 - 5x} \right)}} + \frac{{\left( {25x - 15} \right)x}}{{x\left( {1 + 5x} \right)\left( {1 - 5x} \right)}}\\ = \frac{{1 + 5x + x\left( {25x - 15} \right)}}{{x\left( {1 + 5x} \right)\left( {1 - 5x} \right)}}\\ = \frac{{1 + 5x + 25{x^2} - 15x}}{{x\left( {1 + 5x} \right)\left( {1 - 5x} \right)}}\\ = \frac{{1 - 10x + 25{x^2}}}{{x\left( {1 + 5x} \right)\left( {1 - 5x} \right)}}\\ = \frac{{{{\left( {1 - 5x} \right)}^2}}}{{x\left( {1 + 5x} \right)\left( {1 - 5x} \right)}}\\ = \frac{{1 - 5x}}{{x\left( {1 + 5x} \right)}} \end{array} \)
Bài 35. (SGK Toán 8 tập 1 trang 50)
a)
\(\begin{array}{l} \frac{{x + 1}}{{x - 3}} - \frac{{1 - x}}{{x + 3}} - \frac{{2x\left( {1 - x} \right)}}{{9 - {x^2}}}\\ = \frac{{x + 1}}{{x - 3}} - \frac{{1 - x}}{{x + 3}} + \frac{{2x\left( {1 - x} \right)}}{{{x^2} - 9}}\\ = \frac{{\left( {x + 1} \right)\left( {x + 3} \right)}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)}} - \frac{{\left( {1 - x} \right)\left( {x - 3} \right)}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)}} + \frac{{2x\left( {1 - x} \right)}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)}}\\ = \frac{{\left( {x + 1} \right)\left( {x + 3} \right) - \left( {1 - x} \right)\left( {x - 3} \right) + 2x\left( {1 - x} \right)}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)}}\\ = \frac{{\left( {{x^2} + x + 3x + 3} \right) - \left( { - {x^2} + x + 3x - 3} \right) + 2x - 2{x^2}}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)}} \end{array} \)
\(\begin{array}{l} = \frac{{2x + 6}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)}}\\ = \frac{{2\left( {x + 3} \right)}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)}}\\ = \frac{2}{{x - 3}} \end{array} \)
b)
\(\begin{array}{l} \frac{{3x + 1}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} - \frac{1}{{x + 1}} + \frac{{x + 3}}{{1 - {x^2}}}\\ = \frac{{3x + 1}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} - \frac{1}{{x + 1}} + \frac{{ - \left( {x + 3} \right)}}{{ - \left( {1 - {x^2}} \right)}}\\ = \frac{{3x + 1}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} - \frac{1}{{x + 1}} - \frac{{x + 3}}{{{x^2} - 1}}\\ = \frac{{3x + 1}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} - \frac{1}{{x + 1}} - \frac{{x + 3}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}\\ = \frac{{\left( {3x + 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}\left( {x + 1} \right)}} - \frac{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}\left( {x + 1} \right)}} - \frac{{\left( {x + 3} \right)\left( {x - 1} \right)}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}\left( {x + 1} \right)}}\\ = \frac{{\left( {3x + 1} \right)\left( {x + 1} \right) - {{\left( {x - 1} \right)}^2} - \left( {x + 3} \right)\left( {x - 1} \right)}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}\left( {x + 1} \right)}}\\ = \frac{{\left( {3{x^2} + x + 3x + 1} \right) - \left( {{x^2} - 2x + 1} \right) - \left( {{x^2} - x + 3x - 3} \right)}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}\left( {x + 1} \right)}}\\ = \frac{{{x^2} + 4x + 3}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}\left( {x + 1} \right)}}\\ = \frac{{{x^2} + x + 3x + 3}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}\left( {x + 1} \right)}}\\ = \frac{{x\left( {x + 1} \right) + 3\left( {x + 1} \right)}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}\left( {x + 1} \right)}}\\ = \frac{{\left( {x + 3} \right)\left( {x + 1} \right)}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}\left( {x + 1} \right)}}\\ = \frac{{x + 3}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} \end{array} \)
Bài 36. SGK Toán 8 tập 1 trang 51
a) Số sản phẩm phải sản xuất trong 1 ngày theo kế hoạch là: \[\frac{10000}{x}\left( sp \right)\]
Số sản phẩm thực tế đã làm được trong một ngày là: 10080 sản phẩm
Số ngày làm việc thực tế: x – 1 (ngày)
\[\Rightarrow \] Số sản phẩm thực tế đã làm được trong 1 ngày là: \[\frac{10080}{x-1}\left( sp \right)\]
Số sản phẩm làm thêm trong 1 ngày là: \[\frac{10080}{x-1}-\frac{10000}{x}\left( sp \right)\]
b) Với x = 25, số sản phẩm làm thêm được trong một ngày là:
\[\frac{10080}{25-1}-\frac{10000}{25}=420-400=20\left( sp \right)\]
Bài 37. SGK Toán 8 tập 1 trang 51
Gọi phân thức cần tìm là A
Lấy phân thức đã cho trừ đi phân thức phải tìm ta được: \[\frac{2x+1}{{{x}^{2}}-3}-A\]
Phân thức đối của phân thức đã cho là: \[-\frac{2x+1}{{{x}^{2}}-3}\]
Theo bài ra ta có: \[\frac{2x+1}{{{x}^{2}}-3}-A=-\frac{2x+1}{{{x}^{2}}-3}\]
Cộng cả hai vế với \[\frac{2x+1}{{{x}^{2}}-3}+A\] ta có:
\(\begin{array}{l} \frac{{2x + 1}}{{{x^2} - 3}} - A + \frac{{2x + 1}}{{{x^2} - 3}} + A = - \frac{{2x + 1}}{{{x^2} - 3}} + \frac{{2x + 1}}{{{x^2} - 3}} + A\\ \Rightarrow \frac{{2x + 1 + 2x + 1}}{{{x^2} - 3}} = \frac{{ - \left( {2x + 1} \right) + 2x + 1}}{{{x^2} - 3}} + A\\ \Rightarrow \frac{{4x + 2}}{{{x^2} - 3}} = A \end{array} \)
Vậy phân thức cần tìm là \[\frac{4x+2}{{{x}^{2}}-3}\] .
Gợi ý Giải bài tập sách giáo khoa phép trừ các phân thức đại số toán học 8, toán 8 đại số lý thuyết trọng tâm giúp học sinh nắm vững kiến thức nhanh nhất