Phép cộng các phân thức đại số

BÀI 5: PHÉP CỘNG CÁC NHÂN THỨC ĐẠI SỐ

A. LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM

1. Cộng hai phân thức cùng mẫu thức

Quy tắc

Muốn cộng hai phân thức có cùng mẫu thức, ta cộng các tử thức với nhau và giữ nguyên mẫu thức.

2. Cộng hai phân thức có mẫu thức khác nhau

Quy tắc

Muốn cộng hai phân thức có mẫu thức khác nhau, ta quy đồng mẫu thức rồi cộng các phân thức có cùng mẫu thức vừa tìm được.

Kết quả của phép cộng hai phân thức được gọi là tổng của hai phân thức ấy. Ta thường viết tổng này dưới dạng rút gọn.

Chú ý: Phép cộng các phân thức cũng có các tính chất sau:

1. Giao hoán: \[\frac{A}{B}+\frac{C}{D}=\frac{C}{D}+\frac{A}{B}\]
2. Kết hợp: \[\left( \frac{A}{B}+\frac{C}{D} \right)+\frac{E}{F}=\frac{A}{B}+\left( \frac{C}{D}+\frac{E}{F} \right)\]

B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP

Dạng 1. Cộng hai phân thức có cùng mẫu thức

Cách giải:

Áp dụng quy tắc:

Muốn cộng hai phân thức có cùng mẫu thức, ta cộng các tử thức với nhau và giữ nguyên mẫu thức.

Dạng 2. Cộng hai phân thức có mẫu thức khác nhau

Cách giải:

Áp dụng quy tắc:

Muốn cộng hai phân thức có mẫu thức khác nhau, ta quy đồng mẫu thức rồi cộng các phân thức có cùng mẫu thức vừa tìm được.

Dạng 3. Bài toán đưa về cộng hai phân thức đại số

Cách giải:

Phân tích đề bài để đưa về dạng cộng các phân thức đại số.

Áp dụng quy tắc cộng hai phân thức có cùng mẫu thức hoặc cộng hai phân twhsc có mẫu thức khác nhau để giải bài toán.

C. GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA

Bài 21. (SGK Toán 8 tập 1 trang 46)

a) \[\frac{3x-5}{7}+\frac{4x+5}{7}=\frac{3x-5+4x+5}{7}=\frac{7x}{7}=x\]

b) \[\frac{5xy-4y}{2{{x}^{2}}{{y}^{3}}}+\frac{3xy+4y}{2{{x}^{2}}{{y}^{3}}}=\frac{5xy-4y+3xy+4y}{2{{x}^{2}}{{y}^{3}}}=\frac{8xy}{2{{x}^{2}}{{y}^{3}}}=\frac{4}{x{{y}^{2}}}\]

c) \[\frac{x+1}{x-5}+\frac{x-18}{x-5}+\frac{x+2}{x-5}=\frac{x+1+x-18+x+2}{x-5}=\frac{3x-15}{x-5}=\frac{3\left( x-5 \right)}{x-5}=3\]

Bài 22. (SGK Toán 8 tập 1 trang 46)

a)

\(\begin{array}{l} \frac{{2{x^2} - x}}{{x - 1}} + \frac{{x + 1}}{{1 - x}} + \frac{{2 - {x^2}}}{{x - 1}}\\ = \frac{{2{x^2} - x}}{{x - 1}} + \frac{{ - \left( {x + 1} \right)}}{{ - \left( {1 - x} \right)}} + \frac{{2 - {x^2}}}{{x - 1}}\\ = \frac{{2{x^2} - x}}{{x - 1}} + \frac{{ - x - 1}}{{x - 1}} + \frac{{2 - {x^2}}}{{x - 1}}\\ = \frac{{2{x^2} - x - x - 1 + 2 - {x^2}}}{{x - 1}}\\ = \frac{{{x^2} - 2x + 1}}{{x - 1}}\\ = \frac{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}{{x - 1}}\\ = x - 1 \end{array} \)

b)

\(\begin{array}{l} \frac{{4 - {x^2}}}{{x - 3}} + \frac{{2x - 2{x^2}}}{{3 - x}} + \frac{{5 - 4x}}{{x - 3}}\\ = \frac{{4 - {x^2}}}{{x - 3}} + \frac{{2{x^2} - 2x}}{{x - 3}} + \frac{{5 - 4x}}{{x - 3}}\\ = \frac{{4 - {x^2} + 2{x^2} - 2x + 5 - 4x}}{{x - 3}}\\ = \frac{{{x^2} - 6x + 9}}{{x - 3}}\\ = \frac{{{{\left( {x - 3} \right)}^2}}}{{x - 3}}\\ = x - 3 \end{array} \)

Bài 23. (SGK Toán 8 tập 1 trang 46)

a)

\(\begin{array}{l} \frac{y}{{2{x^2} - xy}} + \frac{{4x}}{{{y^2} - 2xy}}\\ = \frac{y}{{x\left( {2x - y} \right)}} + \frac{{ - 4x}}{{ - y\left( {y - 2x} \right)}}\\ = \frac{y}{{x\left( {2x - y} \right)}} + \frac{{ - 4x}}{{y\left( {2x - y} \right)}}\\ = \frac{{y.y}}{{xy\left( {2x - y} \right)}} + \frac{{ - 4x.x}}{{xy\left( {2x - y} \right)}}\\ = \frac{{{y^2} - 4{x^2}}}{{xy\left( {2x - y} \right)}}\\ = \frac{{\left( {y - 2x} \right)\left( {y + 2x} \right)}}{{xy\left( {2x - y} \right)}}\\ = \frac{{ - \left( {2x - y} \right)\left( {y + 2x} \right)}}{{xy\left( {2x - y} \right)}}\\ = \frac{{ - \left( {y + 2x} \right)}}{{xy}} \end{array} \)

b)

\(\begin{array}{l} \frac{1}{{x + 2}} + \frac{3}{{{x^2} - 4}} + \frac{{x - 14}}{{\left( {{x^2} + 4x + 4} \right)\left( {x - 2} \right)}}\\ = \frac{1}{{x + 2}} + \frac{3}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}} + \frac{{x - 14}}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}\left( {x - 2} \right)}}\\ = \frac{{\left( {x + 2} \right)\left( {x - 2} \right)}}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}\left( {x - 2} \right)}} + \frac{{3\left( {x + 2} \right)}}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}\left( {x - 2} \right)}} + \frac{{x - 14}}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}\left( {x - 2} \right)}}\\ = \frac{{\left( {x + 2} \right)\left( {x - 2} \right) + 3\left( {x + 2} \right) + x - 14}}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}\left( {x - 2} \right)}}\\ = \frac{{{x^2} - 4 + 3x + 6 + x - 14}}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}\left( {x - 2} \right)}}\\ = \frac{{{x^2} + 4x - 12}}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}\left( {x - 2} \right)}}\\ = \frac{{x\left( {x - 2} \right) + 6\left( {x - 2} \right)}}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}\left( {x - 2} \right)}}\\ = \frac{{\left( {x + 6} \right)\left( {x - 2} \right)}}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}\left( {x - 2} \right)}}\\ = \frac{{x + 6}}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}} \end{array} \)

c)

\(\begin{array}{l} \frac{1}{{x + 2}} + \frac{1}{{\left( {x + 2} \right)\left( {4x + 7} \right)}}\\ = \frac{{4x + 7}}{{\left( {x + 2} \right)\left( {4x + 7} \right)}} + \frac{1}{{\left( {x + 2} \right)\left( {4x + 7} \right)}}\\ = \frac{{4x + 7 + 1}}{{\left( {x + 2} \right)\left( {4x + 7} \right)}}\\ = \frac{{4x + 8}}{{\left( {x + 2} \right)\left( {4x + 7} \right)}}\\ = \frac{{4\left( {x + 2} \right)}}{{\left( {x + 2} \right)\left( {4x + 7} \right)}}\\ = \frac{4}{{4x + 7}} \end{array} \)

d)

\(\begin{array}{l} \frac{1}{{x + 3}} + \frac{1}{{\left( {x + 3} \right)\left( {x + 2} \right)}} + \frac{1}{{\left( {x + 2} \right)\left( {4x + 7} \right)}}\\ = \left[ {\frac{1}{{x + 3}} + \frac{1}{{\left( {x + 3} \right)\left( {x + 2} \right)}}} \right] + \frac{1}{{\left( {x + 2} \right)\left( {4x + 7} \right)}}\\ = \left[ {\frac{{x + 2}}{{\left( {x + 3} \right)\left( {x + 2} \right)}} + \frac{1}{{\left( {x + 3} \right)\left( {x + 2} \right)}}} \right] + \frac{1}{{\left( {x + 2} \right)\left( {4x + 7} \right)}}\\ = \frac{{x + 3}}{{\left( {x + 3} \right)\left( {x + 2} \right)}} + \frac{1}{{\left( {x + 2} \right)\left( {4x + 7} \right)}}\\ = \frac{1}{{x + 2}} + \frac{1}{{\left( {x + 2} \right)\left( {4x + 7} \right)}}\\ = \frac{{4x + 7}}{{\left( {x + 2} \right)\left( {4x + 7} \right)}} + \frac{1}{{\left( {x + 2} \right)\left( {4x + 7} \right)}}\\ = \frac{{4x + 7 + 1}}{{\left( {x + 2} \right)\left( {4x + 7} \right)}}\\ = \frac{{4x + 8}}{{\left( {x + 2} \right)\left( {4x + 7} \right)}}\\ = \frac{{4\left( {x + 2} \right)}}{{\left( {x + 2} \right)\left( {4x + 7} \right)}}\\ = \frac{4}{{4x + 7}} \end{array} \)

Bài 24. (SGK Toán 8 tập 1 trang 46)

Chuột chạy được 3m thì mèo bắt được chuột, mèo chạy với vận tốc là \[x\left( m/s \right)\]

\[\Rightarrow \] Thời gian lần thứ nhất mèo đuổi bắt được chuột là \[\frac{3}{x}\] (giây)

Vận tốc mèo đuổi chuột lần hai nhỏ hơn vận tốc lần đầu là \[0,5m/s\]

\[\Rightarrow \] Vận tốc lần hai bằng \(x-0,5\left( {m/s} \right)\)

Chuột chạy được 5m thì mèo bắt được chuột

\[\Rightarrow \] Thời gian lần thứ hai mèo đuổi bắt được chuột là \[\frac{5}{x-0,5}\] (giây)

Thời gian kể từ đầu đến khi kết thúc cuộc săn là \[\frac{3}{x}+40+15+\frac{5}{x-0,5}=\frac{3}{x}+55+\frac{5}{x-0,5}\left( s \right)\] .

LUYỆN TẬP

Bài 25. (SGK Toán 8 tập 1 trang 47)

a) \(\frac{5}{{2{x^2}y}} + \frac{3}{{5x{y^2}}} + \frac{x}{{{y^3}}} = \frac{{5.5{y^2}}}{{2{x^2}y.5{y^2}}} + \frac{{3.2xy}}{{5x{y^2}.2xy}} + \frac{{x.10x}}{{{y^3}.10x}}\)

\(= \frac{{25{y^2}}}{{10{x^2}{y^3}}} + \frac{{6xy}}{{10{x^2}{y^3}}} + \frac{{10{x^3}}}{{10{x^2}{y^3}}} = \frac{{25{y^2} + 6xy + 10{x^3}}}{{10{x^2}{y^3}}}\)

b)

\(\begin{array}{l} \frac{{x + 1}}{{2x + 6}} + \frac{{2x + 3}}{{x\left( {x + 3} \right)}}\\ = \frac{{x + 1}}{{2\left( {x + 3} \right)}} + \frac{{2x + 3}}{{x\left( {x + 3} \right)}}\\ = \frac{{x\left( {x + 1} \right)}}{{2x\left( {x + 3} \right)}} + \frac{{2\left( {2x + 3} \right)}}{{2x\left( {x + 3} \right)}}\\ = \frac{{x\left( {x + 1} \right) + 2\left( {2x + 3} \right)}}{{2x\left( {x + 3} \right)}}\\ = \frac{{{x^2} + x + 4x + 6}}{{2x\left( {x + 3} \right)}}\\ = \frac{{{x^2} + 5x + 6}}{{2x\left( {x + 3} \right)}}\\ = \frac{{{x^2} + 3x + 2x + 6}}{{2x\left( {x + 3} \right)}}\\ = \frac{{\left( {x + 3} \right)\left( {x + 2} \right)}}{{2x\left( {x + 3} \right)}} = \frac{{x + 2}}{{2x}} \end{array} \)

c)

\(\begin{array}{l} \frac{{3x + 5}}{{{x^2} - 5x}} + \frac{{25 - x}}{{25 - 5x}}\\ = \frac{{3x + 5}}{{x\left( {x - 5} \right)}} + \frac{{ - \left( {25 - x} \right)}}{{ - 5\left( {5 - x} \right)}}\\ = \frac{{3x + 5}}{{x\left( {x - 5} \right)}} + \frac{{x - 25}}{{5\left( {x - 5} \right)}}\\ = \frac{{5\left( {3x + 5} \right)}}{{5x\left( {x - 5} \right)}} + \frac{{x\left( {x - 25} \right)}}{{5x\left( {x - 5} \right)}}\\ = \frac{{5\left( {3x + 5} \right) + x\left( {x - 25} \right)}}{{5x\left( {x - 5} \right)}}\\ = \frac{{15x + 25 + {x^2} - 25x}}{{5x\left( {x - 5} \right)}}\\ = \frac{{{x^2} - 10x + 25}}{{5x\left( {x - 5} \right)}}\\ = \frac{{{{\left( {x - 5} \right)}^2}}}{{5x\left( {x - 5} \right)}}\\ = \frac{{x - 5}}{{5x}} \end{array} \)

d)

\(\begin{array}{l} {x^2} + \frac{{{x^4} + 1}}{{1 - {x^2}}} + 1\\ = {x^2} + 1 + \frac{{{x^4} + 1}}{{1 - {x^2}}}\\ = \frac{{\left( {{x^2} + 1} \right)\left( {1 - {x^2}} \right)}}{{1 - {x^2}}} + \frac{{{x^4} + 1}}{{1 - {x^2}}}\\ = \frac{{\left( {{x^2} + 1} \right)\left( {1 - {x^2}} \right) + {x^4} + 1}}{{1 - {x^2}}}\\ = \frac{{1 - {x^4} + {x^4} + 1}}{{1 - {x^2}}}\\ = \frac{2}{{1 - {x^2}}} \end{array} \)

e)

\(\begin{array}{l} \frac{{4{x^2} - 3x + 17}}{{{x^3} - 1}} + \frac{{2x - 1}}{{{x^2} + x + 1}} + \frac{6}{{1 - x}}\\ = \frac{{4{x^2} - 3x + 17}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)}} + \frac{{2x - 1}}{{{x^2} + x + 1}} + \frac{{ - 6}}{{ - \left( {1 - x} \right)}}\\ = \frac{{4{x^2} - 3x + 17}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)}} + \frac{{2x - 1}}{{{x^2} + x + 1}} + \frac{{ - 6}}{{x - 1}}\\ = \frac{{4{x^2} - 3x + 17}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)}} + \frac{{\left( {2x - 1} \right)\left( {x - 1} \right)}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)}} + \frac{{ - 6\left( {{x^2} + x + 1} \right)}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)}}\\ = \frac{{4{x^2} - 3x + 17 + \left( {2x - 1} \right)\left( {x - 1} \right) - 6\left( {{x^2} + x + 1} \right)}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)}}\\ = \frac{{4{x^2} - 3x + 17 + 2{x^2} - 2x - x - 1 - 6{x^2} - 6x - 6}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)}}\\ = \frac{{ - 12x + 12}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)}}\\ = \frac{{ - 12\left( {x - 1} \right)}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)}}\\ = \frac{{ - 12}}{{{x^2} + x + 1}} \end{array} \)

Bài 26. (SGK Toán 8 tập 1 trang 47)

a) Thời gian xúc\[5000{{m}^{3}}\] đầu tiên là: \[\frac{5000}{x}\] (ngày)

Phần đất còn lại là: \(11600-5000 = 6600\left( {{m^3}} \right)\)

Năng suất làm nốt phần việc còn lại là: \[x+25\left( {{m}^{3}} \right)\]

\[\Rightarrow \] Thời gian làm nốt phần việc còn lại là: \[\frac{6600}{x+25}\] (ngày)

Tất cả thời gian để hoàn thành công việc là: \[\frac{5000}{x}+\frac{6600}{x+25}\] (ngày)

b) Khi \[x=250{{m}^{3}}/\]ngày, thời gian làm việc để hoàn thành công việc là:

\[\frac{5000}{250}+\frac{6600}{250+25}=20+24=44\] (ngày)

Bài 27. (SGK Toán 8 tập 1 trang 48)

Ta có:

\(\begin{array}{l} \frac{{{x^2}}}{{5x + 25}} + \frac{{2\left( {x - 5} \right)}}{x} + \frac{{50 + 5x}}{{x\left( {x + 5} \right)}}\\ = \frac{{{x^2}}}{{5\left( {x + 5} \right)}} + \frac{{2\left( {x - 5} \right)}}{x} + \frac{{50}}{{x\left( {x + 5} \right)}}\\ = \frac{{{x^2}.x}}{{5x\left( {x + 5} \right)}} + \frac{{2\left( {x - 5} \right).5\left( {x + 5} \right)}}{{5x\left( {x + 5} \right)}} + \frac{{5\left( {50 + 5x} \right)}}{{5x\left( {x + 5} \right)}}\\ = \frac{{{x^3} + 10\left( {x - 5} \right)\left( {x + 5} \right) + 5\left( {50 + 5x} \right)}}{{5x\left( {x + 5} \right)}}\\ = \frac{{{x^3} + 10\left( {{x^2} - 25} \right) + 250 + 25x}}{{5x\left( {x + 5} \right)}}\\ = \frac{{{x^3} + 10{x^2} - 250 + 250 + 25x}}{{5x\left( {x + 5} \right)}}\\ = \frac{{{x^3} + 10{x^2} + 25x}}{{5x\left( {x + 5} \right)}}\\ = \frac{{x\left( {{x^2} + 10x + 25} \right)}}{{5x\left( {x + 5} \right)}}\\ = \frac{{x{{\left( {x + 5} \right)}^2}}}{{5x\left( {x + 5} \right)}}\\ = \frac{{x + 5}}{5} \end{array} \)

Thay \[x=-4\] vào biểu thức ta có: \[\frac{-4+5}{5}=\frac{1}{5}\] .

Ta được ngày 1/5. Đó là ngày Quốc tế lao động.

Gợi ý Giải bài tập sách giáo khoa phép cộng các phân thức đại số toán học 8, toán 8 đại số lý thuyết trọng tâm giúp học sinh nắm vững kiến thức nhanh nhất