BÀI 5: NHỮNG HẰNG ĐẲNG THỨC ĐÁNG NHỚ
A. LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM
6. Tổng hai lập phương
Với A và B là các biểu thức tùy ý ta có:
\[{{A}^{3}}+{{B}^{3}}=\left( A+B \right)\left( {{A}^{2}}-AB+{{B}^{2}} \right)\]
Lưu ý: Ta quy ước gọi \[{{A}^{2}}-AB+{{B}^{2}}\] là bình phương thiếu của hiệu \[A-B\] .
7. Hiệu hai lập phương
Với A và B là các biểu thức tùy ý ta có:
\[{{A}^{3}}-{{B}^{3}}=\left( A-B \right)\left( {{A}^{2}}+AB+{{B}^{2}} \right)\]
Lưu ý: Ta quy ước gọi \[{{A}^{2}}+AB+{{B}^{2}}\] là bình phương thiếu của tổng \[A+B\] .
Ta có bảy hằng đẳng thức đáng nhớ:
- \[{{\left( A+B \right)}^{2}}={{A}^{2}}+2AB+{{B}^{2}}\]
- \[{{\left( A-B \right)}^{2}}={{A}^{2}}-2AB+{{B}^{2}}\]
- \[{{A}^{2}}-{{B}^{2}}-\left( A+B \right)\left( A-B \right)\]
- \[{{\left( A+B \right)}^{3}}={{A}^{3}}+3{{A}^{2}}B+3A{{B}^{2}}+{{B}^{3}}\]
- \[{{\left( A-B \right)}^{3}}={{A}^{3}}-3{{A}^{2}}B+3A{{B}^{2}}-{{B}^{3}}\]
- \[{{A}^{3}}+{{B}^{3}}=\left( A+B \right)\left( {{A}^{2}}-AB+{{B}^{2}} \right)\]
- \[{{A}^{3}}-{{B}^{3}}=\left( A-B \right)\left( {{A}^{2}}+AB+{{B}^{2}} \right)\]
B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP
Dạng 1. Rút gọn biểu thức
Cách giải:
Áp dụng bảy hằng đẳng thức đáng nhớ linh hoạt để rút gọn biểu thức.
Dạng 2. Chứng minh đẳng thức
Cách giải:
Áp dụng linh hoạt bảy hằng đẳng thức đã học để giải bài toán.
Dạng 3. Điền vào ô trống
Cách giải:
Áp dụng bảy hằng đẳng thức đã học để điền các số thích hợp.
Dạng 4. Khai triển hằng đẳng thức
Cách giải:
Áp dụng bảy hằng đẳng thức đã học để khai triển các biểu thức đã cho.
Dạng 5. Tính nhanh
Cách giải:
Đưa biểu thức về dạng hằng đẳng thức để dễ dàng tính toán.
Dạng 6. Tính giá trị biểu thức
Cách giải:
- Đưa các biểu thức đã cho về dạng hằng đẳng thức.
- Thay giá trị các ẩn trong đề vào hằng đẳng thức để tính được kết quả cần tìm.
C. GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA
Bài 30. (SGK Toán 8 tập 1 trang 16)
a)
\(\left( {x + 3} \right)\left( {{x^2}-3x + 9} \right)-\left( {54 + {x^3}} \right) = {x^3} + {3^3}-\left( {54 + {x^3}} \right) = {x^3} + 27-54-{x^3} = -27\)
b)
\(\begin{array}{l} \begin{array}{*{20}{l}} {\left( {2x + y} \right)\left( {4{x^2}-2xy + {y^2}} \right)-\left( {2x-y} \right)\left( {4{x^2} + 2xy + {y^2}} \right)}\\ { = \left( {2x + y} \right)\left[ {{{\left( {2x} \right)}^2}-2x.y + {y^2}} \right]--\left( {2x-y} \right)\left[ {{{\left( {2x} \right)}^2} + 2x.y + {y^2}} \right]}\\ { = \left[ {{{\left( {2x} \right)}^3} + {y^3}} \right]-\left[ {{{\left( {2x} \right)}^3}-{y^3}} \right]}\\ { = {{\left( {2x} \right)}^3} + {y^3}-{{\left( {2x} \right)}^3} + {y^3}} \end{array}\\ = 2{y^3} \end{array}\)
Bài 31. (SGK Toán 8 tập 1 trang 16)
a) Ta có:
\(VP = {\left( {a + b} \right)^3}-3ab\left( {a + b} \right) = {a^3} + 3{a^2}b + 3a{b^2} + {b^3}-3{a^2}b-3a{b^2} = {a^3} + {b^3} = VT\)(đpcm)
b) Ta có:
\(VP = {\left( {a-b} \right)^3} + 3ab\left( {a-b} \right) = {a^3}-3{a^2}b + 3a{b^2}-{b^3} + 3{a^2}b-3a{b^2} = {a^3}-{b^3} = VT\)
Thay\(a.b = 6,a + b = -5\) vào biểu thức \[{{a}^{3}}+{{b}^{3}}\] ta được:
\({a^3} + {b^3} = {\left( {a + b} \right)^3}-3ab\left( {a + b} \right) = {\left( 5 \right)^3}-3.6.\left( {-5} \right) = -{5^3} + 3.6.5 = -125 + 90 = -35\)
Bài 32. (SGK Toán 8 tập 1 trang 16)
a) \(27{x^3} + {y^3} = {\left( {3x} \right)^3} + {y^3} = \left( {3x + y} \right)\left[ {{{\left( {3x} \right)}^2}-3x.y + {y^2}} \right] = \left( {3x + y} \right)\left( {9{x^2}-3xy + {y^2}} \right)\)
Vậy ta điền như sau: \[\left( 3x+y \right)\left( 9{{x}^{2}}-3xy+{{y}^{2}} \right)=27{{x}^{3}}+{{y}^{3}}\]
b) \(8{x^3}-125 = {\left( {2x} \right)^3}-{5^3} = \left( {2x-5} \right).[{\left( {2x} \right)^2} + \left( {2x} \right).5 + {5^2} = \left( {2x-5} \right).\left( {4{x^2} + 10x + 25} \right)\)
Vậy ta điền như sau: \[\left( 2x-5 \right)\left( 4{{x}^{2}}+10x+25 \right)=8{{x}^{3}}-125\]
LUYỆN TẬP
Bài 33. (SGK Toán 8 tập 1 trang 16)
a) \[{{\left( 2+xy \right)}^{2}}={{2}^{2}}+2.2.xy+{{\left( xy \right)}^{2}}=4+4xy+{{x}^{2}}{{y}^{2}}\]
b) \({\left( {5-3x} \right)^2} = {5^2}-2.5.3x + {\left( {3x} \right)^2} = 25-30x + 9{x^2}\)
c) \(\left( {5-{x^2}} \right)\left( {5 + {x^2}} \right) = {5^2}-{\left( {{x^2}} \right)^2} = 25-{x^4}\)
d) \({\left( {5x-1} \right)^3} = {\left( {5x} \right)^3}-3.{\left( {5x} \right)^2}.1 + 3.5x{.1^2}-{1^3} = 125{x^3}-75{x^2} + 15x-1\)
e) \(\left( {2x-y} \right).\left( {4{x^2} + 2xy + {y^2}} \right) = \left( {2x-y} \right).[{\left( {2x} \right)^2} + 2x.y + {y^2}] = {\left( {2x} \right)^3}-{y^3} = 8{x^3}-{y^3}\)
f) \(\left( {x + 3} \right)\left( {{x^2}-3x + 9} \right) = \left( {x + 3} \right)\left( {{x^2}-x.3 + {3^2}} \right) = {x^3} + {3^3} = {x^3} + 27\)
Bài 34. (SGK Toán 8 tập 1 trang 17)
a)
\({\left( {a + b} \right)^2}-{\left( {a-b} \right)^2} = \left[ {\left( {a + b} \right)-\left( {a-b} \right)} \right].\left[ {\left( {a + b} \right) + \left( {a-b} \right)} \right] = \left[ {a + b - a + b} \right].\left[ {a + b + a - b} \right] = 2b.2a = 4ab\)
b)
\(\begin{array}{*{20}{l}} {{{\left( {a + b} \right)}^3}-{{\left( {a-b} \right)}^3}-2{b^3}}\\ { = \left( {{a^3} + 3{a^2}b + 3a{b^2} + {b^3}} \right)-\left( {{a^3}-3{a^2}b + 3a{b^2}-{b^3}} \right)-2{b^3}}\\ { = {a^3} + 3{a^2}b + 3a{b^2} + {b^3}-{a^3} + 3{a^2}b-3a{b^2} + {b^3}-2{b^3}}\\ { = \left( {{a^3}-{a^3}} \right) + \left( {3{a^2}b + 3{a^2}b} \right) + \left( {3a{b^2}-3a{b^2}} \right) + \left( {{b^3} + {b^3}-2{b^3}} \right)}\\ { = 6{a^2}b} \end{array}\)
c)
\({\left( {x + y + z} \right)^2}-2.\left( {x + y + z} \right).\left( {x + y} \right) + {\left( {x + y} \right)^2} = {\left[ {\left( {x + y + z} \right)-\left( {x + y} \right)} \right]^2} = {z^2}\)
Bài 35. (SGK Toán 8 tập 1 trang 17)
a) \[{{34}^{2}}+{{66}^{2}}+68.66={{34}^{2}}+2.34.66+{{66}^{2}}={{\left( 34+66 \right)}^{2}}={{100}^{2}}=10000\]
b) \({74^2} + {24^2}-48.74 = {74^2}-2.74.24 + {24^2} = {\left( {74-24} \right)^2} = {50^2} = 2500\)
Bài 36. (SGK Toán 8 tập 1 trang 17)
a) Ta có: \[{{x}^{2}}+4x+4={{x}^{2}}+2.x.2+{{2}^{2}}={{\left( x+2 \right)}^{2}}\]
Thay \[x=98\] vào biểu thức ta được: \[{{\left( 98+2 \right)}^{2}}={{100}^{2}}=10000\]
b) Ta có: \[{{x}^{3}}+3{{x}^{2}}+3x+1={{x}^{3}}+3.{{x}^{2}}.1+3.x{{.1}^{2}}+{{1}^{3}}={{\left( x+1 \right)}^{3}}\]
Thay \[x=99\]vào biểu thức ta được: \[{{\left( 99+1 \right)}^{3}}={{100}^{3}}=1000000\]
Bài 37. (SGK Toán 8 tập 1 trang 17)
\(\begin{array}{l} \left( {x - y} \right)\left( {{x^2} + xy + {y^2}} \right) = {x^3} - {y^3}\\ \left( {x + y} \right)\left( {x - y} \right) = {x^2} - {y^2}\\ {x^2} - 2xy + {y^2} = {\left( {y - x} \right)^2}\\ {\left( {x + y} \right)^2} = {x^2} + 2xy + {y^2}\\ \left( {x + y} \right)\left( {{x^2} - xy + {y^2}} \right) = {x^3} + {y^3}\\ {y^3} + 3x{y^2} + 3{x^2}y + {x^3} = {\left( {x + y} \right)^3}\\ {\left( {x - y} \right)^3} = {x^3} - 3{x^2}y + 3x{y^2} - {y^3} \end{array}\)
Bài 38. (SGK Toán 8 tập 1 trang 17)
a) \({\left( {a-b} \right)^3} = {\left[ {\left( {-1} \right)\left( {b-a} \right)} \right]^3} = {\left( {-1} \right)^3}{\left( {b-a} \right)^3} = -1.{\left( {b-a} \right)^3} = -{\left( {b-a} \right)^3}\)
b) \({\left( {-a-b} \right)^2} = {\left[ {\left( {-1} \right).\left( {a + b} \right)} \right]^2} = {\left( {-1} \right)^2}{\left( {a + b} \right)^2} = 1.{\left( {a + b} \right)^2} = {\left( {a + b} \right)^2}\)
Trên đây là gợi ý giải bài tập Toán 8 Bài 5. Những hằng đẳng thức đáng nhớ do giáo viên Ican trực tiếp biên soạn theo chương trình mới nhất. Chúc các bạn học tập vui vẻ