BÀI 4: ĐƯỜNG TRUNG BÌNH TAM GIÁC CỦA HÌNH THANG
A. LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM
1. Đường trung bình của tam giác
Định nghĩa:
Đường trung bình của tam giác là đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh của tam giác.
Định lí 1:
Đường thẳng đi qua trung điểm một cạnh của tam giác và song song với cạnh thứ hai thì đi qua trung điểm của cạnh thứ ba.
Định lí 2:
Đường trung bình của tam giác thì song song với cạnh thứ ba và bằng nửa cạnh ấy.
2. Đường trung bình của hình thang
Định nghĩa:
Đường trung bình của hình thang là đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh bên của hình thang.
Định lí 1:
Đường thẳng đi qua trung điểm một cạnh bên của hình thang và song song với hai đáy thì đi qua trung điểm cạnh bên thứ hai.
Định lí 2:
Đường trung bình của hình thang thì song song với hai đáy và bằng nửa tổng hai đáy.
B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP
Dạng 1. Chứng minh, tính toán độ dài đoạn thẳng
Cách giải:
Dựa vào định nghĩa, định lí về đường trung bình của tam giác, hình thang
- Nếu \[MN\] là đường trung bình của \[\Delta ABC\left( M\in AB;N\in AC \right)\] thì \[MN//BC;MN=\frac{1}{2}BC\] .
- Nếu \[MN\] là đường trung bình của hình thang \[ABCD\left( M\in AD;N\in BC \right)\] thì \[MN//CD;MN=\frac{1}{2}\left( AB+CD \right)\] .
Dạng 2. Chứng minh ba điểm \[M,N,P\] thẳng hàng
Cách giải:
Dựa vào định nghĩa, định lí về đường trung bình ta chứng minh \[MN,MP\] cùng song song với một đường thẳng. Từ đó suy ra ba điểm \[M,N,P\] thẳng hàng.
C. GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA
Bài 20. (trang 79 SGK Toán 8 Tập 1)
Ta có \[\widehat{K}=\widehat{C}\left( ={{50}^{0}} \right)\]\[\Rightarrow IK//BC\] (Vì hai góc đồng vị bằng nhau)
Mặt khác, \[KA=KC\left( =8cm \right)\] nên K là trung điểm AC
Đường thẳng IK đi qua trung điểm cạnh AC và song song với cạnh BC
\[\Rightarrow IK\] là đường trung bình của \[\Delta ABC\]
\[\Rightarrow IK\] đi qua trung điểm cạnh AB
\[\Rightarrow I\] là trung điểm AB
\[\Rightarrow IA=IB\] hay \[x=10cm\].
Bài 21. (trang 79 SGK Toán 8 Tập 1)
Ta có: \[CO=CA\left( gt \right)\]
\[DO=DB\left( gt \right)\]
\[\Rightarrow CD\]là đường trung bình của \[\Delta OAB\]
\[\Rightarrow AB=2CD=2.3=6cm.\]
Bài 22. (trang 80 SGK Toán 8 Tập 1)
\[\Delta BDC\] có \[BE=ED\] và \[BM=MC\]
\[\Rightarrow EM\] là đường trung bình của \[\Delta BDC\]
\[\Rightarrow EM//DC\] hay \[EM//DI\].
\[\Delta AEM\] có \[DI//EM\](cmt) và \[AD=DE\left( gt \right)\]
\[\Rightarrow IA=IM\](Theo định lý 1)
Bài 23. (trang 80 SGK Toán 8 Tập 1)
Ba đường thẳng \[MP,NQ\] và IK cùng vuông góc với PQ
\[\Rightarrow MP//IK//NQ\]
\[\Rightarrow \] Tứ giác \[MPQN\] là hình thang
Do đường thẳng IK đi qua trung điểm cạnh bên MN và song song với hai đáy nên K là trung điểm PQ.
\[\Rightarrow \] \[PK=KQ=5dm\]
Vậy \[x=5dm\]
Bài 24. (trang 80 SGK Toán 8 Tập 1)
Gọi \[P,Q,K\] lần lượt là chân đường vuông góc hạ từ \[A,B,C\] xuống xy.
Ta có \[AP\bot xy\] và \[BQ\bot xy\Rightarrow AP//BQ\]
\[\Rightarrow \] Tứ giác ABQP là hình thang.
Lại có: \[CK\bot xy\Rightarrow CK//AP//BQ\]
Hình thang ABQP có \[AC=CB\left( gt \right)\] và \[CK//AP//BQ\]
\[\Rightarrow PK=KQ\]
\[\Rightarrow CK\] là đường trung bình của hình thang
\[\Rightarrow CK=\frac{1}{2}\left( AP+BQ \right)\].
Mà \[AP=12cm,BQ=20cm\Rightarrow CK=16cm\].
Vậy khoảng cách từ trung điểm C của AB đến \[xy\] bằng \[16cm\].
Bài 25. (trang 80 SGK Toán 8 Tập 1)
Xét \[\Delta ABD\] có \[DE=EA\] và \[DK=KB\]
\[\Rightarrow EK\] là đường trung bình của ΔDAB
\[\Rightarrow EK//AB\]
+ Hình thang ABCD có: \[AE=ED\] và \[BF=FC\]
\[\Rightarrow EF\] là đường trung bình của hình thang ABCD
\[\Rightarrow EF//AB//CD\]
Qua điểm E ta có \[EK//AB\] và \[EF//AB\] nên theo tiên đề Ơclit ta có \[E,K,F\] thẳng hàng.
LUYỆN TẬP
Bài 26. (trang 80 SGK Toán 8 Tập 1)
+ Tính x :
Ta có \[AB//EF\] nên tứ giác \[ABFE\] là hình thang
Hình thang ABFE có: \[CA=CE\] và \[DB=DF\]
\[\Rightarrow CD\] là đường trung bình của hình thang \[ABFE\]
\[\Rightarrow CD=\frac{1}{2}\left( AB+EF \right)\]
\[\Rightarrow x=\frac{1}{2}\left( 8+16 \right)=12\left( cm \right)\]
+ Tính y:
Ta có: \[CD//GH\] nên tứ giác \[CDHG\] là hình thang
Hình thang CDHG có : \[EC=EG,FD=FH\]
\[\Rightarrow EF\] là đường trung bình của hình thang \[CDHG\]
\[\Rightarrow EF=\frac{1}{2}\left( CD+GH \right)\]
\[\Rightarrow \frac{1}{2}\left( x+y \right)=16cm\Rightarrow x+y=32cm\]
Mà \[x=12cm\Rightarrow y=20cm\].
Vậy \[x=12cm\] và \[y=20cm\].
Bài 27. (trang 80 SGK Toán 8 Tập 1)
a) Xét \[\Delta ADC\] có: \[AE=ED\left( gt \right)\] và \[AK=KC\left( gt \right)\]
\[\Rightarrow EK\] là đường trung bình của \[\Delta ADC\]
\[\Rightarrow EK=\frac{CD}{2}\]
Xét \[\Delta ABC\] có \[AK=KC\left( gt \right)\] và \[BF=FC\left( gt \right)\]
\[\Rightarrow KF\] là đường trung bình của \[\Delta ABC\]
\[\Rightarrow KF=\frac{AB}{2}\].
b) Ta có: \[EF\le EK+KF=\frac{\text{DC}}{2}+\frac{\text{AB}}{2}=\frac{\text{AB}+\text{CD}}{2}\]
Bài 28. (trang 80 SGK Toán 8 Tập 1)
a) Hình thang \[ABCD\] có \[EA=ED,FB=FC\left( gt \right)\]
\[\Rightarrow EF\] là đường trung bình của hình thang \[ABCD\].
\[\Rightarrow EF//AB//CD\]
Xét \[\Delta ABC\] có \[BF=FC\left( gt \right)\] và \[FK//AB\left( cmt \right)\]
\[\Rightarrow AK=KC\]
Xét \[\Delta ABD\] có: \[AE=ED\left( gt \right)\] và \[EI//AB\left( cmt \right)\]
\[\Rightarrow BI=ID\]
b) Ta có: EF là đường trung bình của hình thang \[ABCD\].
\[\Rightarrow EF=\frac{1}{2}\left( AB+CD \right)=\frac{1}{2}\left( 6+10 \right)=8cm\].
Xét \[\Delta ABD\] có \[AE=ED,DI=IB\]
\[\Rightarrow EI\] là đường trung bình của \[\Delta ABD\]
\[\Rightarrow EI=\frac{AB}{2}=\frac{6}{2}=3\left( cm \right)\]
Xét \[\Delta ABC\] có \[CF=BF,CK=AK\]
\[\Rightarrow KF\] là đường trung bình của \[\Delta ABC\]
\[\Rightarrow KF=\frac{AB}{2}=\frac{6}{2}=3cm\]
Lại có: \[EI+IK+KF=EF\]
\(⇒IK=EF-EI-KF=8-3-3=2cm\).
Trên đây là gợi ý giải bài tập Toán 8 bài Đường trung bình của tam giác, của hình thang do giáo viên Ican trực tiếp biên soạn theo chương trình mới nhất. Chúc bác bạn học tập vui vẻ