BÀI 3: RÚT GỌN PHÂN THỨC
A. LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM
Muốn rút gọn một phân thức ta có thể:
- Phân tích tử và mẫu thành nhân tử ( nếu cần ) để tìm nhân tử chung.
- Chia cả tử và mẫu cho nhân tử chung.
Chú ý:
Có khi cần đổi dấu ở tử hoặc mẫu để nhận ra nhân tử chung của tử và mẫu ( lưu ý tới tính chất \[A=-\left( -A \right)\] ).
B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP
Dạng 1. Rút gọn phân thức bằng cách đặt nhân tử chung
Cách giải:
Muốn rút gọn một phân thức ta có thể:
- Phân tích tử và mẫu thành nhân tử ( nếu cần ) để tìm nhân tử chung.
- Chia cả tử và mẫu cho nhân tử chung.
Dạng 2. Rút gọn phân thức bằng quy tắc đổi dấu
Cách giải:
Có khi cần đổi dấu ở tử hoặc mẫu để nhận ra nhân tử chung của tử và mẫu ( lưu ý tới tính chất \[A=-\left( -A \right)\] ).
C. GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA
Bài 7. (SGK Toán 8 tập 1 trang 39)
a) \[\frac{6{{x}^{2}}{{y}^{2}}}{8x{{y}^{5}}}=\frac{3x.2x{{y}^{2}}}{4{{y}^{3}}.2x{{y}^{2}}}=\frac{3x}{4{{y}^{3}}}\]
b) \[\frac{10x{{y}^{2}}\left( x+y \right)}{15xy{{\left( x+y \right)}^{3}}}=\frac{2y.5xy\left( x+y \right)}{3{{\left( x+y \right)}^{2}}.5xy\left( x+y \right)}=\frac{2y}{3{{\left( x+y \right)}^{2}}}\]
c) \[\frac{2{{x}^{2}}+2x}{x+1}=\frac{2x\left( x+1 \right)}{x+1}=\frac{2x}{1}=2x\]
d) \[\frac{{{x}^{2}}-xy-x+y}{{{x}^{2}}+xy-x-y}=\frac{\left( {{x}^{2}}-xy \right)-\left( x-y \right)}{\left( {{x}^{2}}+xy \right)-\left( x+y \right)}=\frac{x\left( x-y \right)-\left( x-y \right)}{x\left( x+y \right)-\left( x+y \right)}=\frac{\left( x-1 \right)\left( x-y \right)}{\left( x-1 \right)\left( x+y \right)}=\frac{x-y}{x+y}\]
Bài 8. (SGK Toán 8 tập 1 trang 40)
a) Đúng: bạn chia cả tử và mẫu của phân thức cho 3y.
b) Sai. Vì:
\(\begin{array}{l} \left( {3xy + 3} \right).3 = 9xy + 9\\ \left( {9y + 3} \right).x = 9xy + 3x \end{array} \)
Mà \[9xy+9\ne 9xy+3x\Rightarrow \frac{3xy+3}{9y+3}\ne \frac{x}{3}\]
c) Sai. Vì:
\(\begin{array}{l} \left( {3xy + 3} \right).6 = 18xy + 18\\ \left( {9y + 9} \right)\left( {x + 1} \right) = 9xy + 9x + 9y + 9\\ \Rightarrow 18xy + 18 \ne 9xy + 9x + 9y + 9\\ \Rightarrow \left( {3xy + 3} \right).6 \ne \left( {9y + 9} \right)\left( {x + 1} \right)\\ \Rightarrow \frac{{3xy + 3}}{{9y + 9}} \ne \frac{{x + 1}}{6} \end{array} \)
d) Đúng: \[\frac{3xy+3x}{9y+9}=\frac{3x\left( y+1 \right)}{3.3\left( y+1 \right)}=\frac{x}{3}\]
Bài 9. (SGK Toán 8 tập 1 trang 40)
a) \(\frac{{36{{(x - 2)}^3}}}{{32 - 16x}} = - \frac{{36{{(x - 2)}^3}}}{{ - (32 - 16x)}} = - \frac{{36{{(x - 2)}^3}}}{{16x - 32}}\)
\(= \frac{{ - 36{{(x - 2)}^3}}}{{16(x - 2)}} = \frac{{ - 9{{(x - 2)}^2} \cdot 4(x - 2)}}{{4.4(x - 2)}} = \frac{{ - 9{{(x - 2)}^2}}}{4}\)
b) \[\frac{{{x}^{2}}-xy}{5{{y}^{2}}-5xy}=-\frac{{{x}^{2}}-xy}{-\left( 5{{y}^{2}}-5xy \right)}=-\frac{x\left( x-y \right)}{5xy-5{{y}^{2}}}=-\frac{x\left( x-y \right)}{5y\left( x-y \right)}=-\frac{x}{5y}\]
Bài 10. (SGK Toán 8 tập 1 trang 40)
Xét tử số:
\(\begin{array}{*{20}{l}} {{x^7} + {x^6} + {x^5} + {x^4} + {x^3} + {x^2} + x + 1}\\ { = \left( {{x^7} + {x^6}} \right) + \left( {{x^5} + {x^4}} \right) + \left( {{x^3} + {x^2}} \right) + \left( {x + 1} \right)} \end{array} \)
\(\begin{array}{*{20}{l}} { = {x^6}\left( {x + 1} \right) + {x^4}\left( {x + 1} \right) + {x^2}\left( {x + 1} \right) + \left( {x + 1} \right)}\\ { = \left( {{x^6} + {x^4} + {x^2} + 1} \right)\left( {x + 1} \right)} \end{array} \)
Xét mẫu số: \({x^2}-1 = \left( {x-1} \right)\left( {x + 1} \right)\)
\[\Rightarrow \frac{{{x}^{7}}+{{x}^{6}}+{{x}^{5}}+{{x}^{4}}+{{x}^{3}}+{{x}^{2}}+x+1}{{{x}^{2}}-1}=\frac{\left( {{x}^{6}}+{{x}^{4}}+{{x}^{2}}+1 \right)\left( x+1 \right)}{\left( x-1 \right)\left( x+1 \right)}=\frac{{{x}^{6}}+{{x}^{4}}+{{x}^{2}}+1}{x-1}\]
LUYỆN TẬP
Bài 11. (SGK Toán 8 tập 1 trang 40)
a) \[\frac{12{{x}^{3}}{{y}^{2}}}{18x{{y}^{5}}}=\frac{6x{{y}^{2}}.2{{x}^{2}}}{6x{{y}^{2}}.3{{y}^{3}}}=\frac{2{{x}^{2}}}{3{{y}^{3}}}\]
b) \[\frac{15x{{\left( x+5 \right)}^{3}}}{20{{x}^{2}}\left( x+5 \right)}=\frac{5x\left( x+5 \right).3{{\left( x+5 \right)}^{2}}}{5x\left( x+5 \right).4x}=\frac{3{{\left( x+5 \right)}^{2}}}{4x}\]
Bài 12. (SGK Toán 8 tập 1 trang 40)
a) Xét tử số: \(3{x^2}-12x + 12 = 3.\left( {{x^2}-4x + 4} \right) = 3.({x^2}-2.x.2 + {2^2}) = 3.{\left( {x-2} \right)^2}\)
Xét mẫu số: \({x^4}-8x = x.\left( {{x^3}-8} \right) = x.\left( {{x^3}-{2^3}} \right) = x.\left( {x-2} \right)\left( {{x^2} + x.2 + {2^2}} \right) = x\left( {x-2} \right)\left( {{x^2} + 2x + 4} \right)\)
\[\Rightarrow \frac{3{{x}^{2}}-12x+12}{{{x}^{4}}-8x}=\frac{3{{\left( x-2 \right)}^{2}}}{x\left( x-2 \right)\left( {{x}^{2}}+2x+4 \right)}=\frac{3\left( x-2 \right)}{x\left( {{x}^{2}}+2x+4 \right)}\]
b) Xét tử số: \[7{{x}^{2}}+14x+7=7.\left( {{x}^{2}}+2x+1 \right)=7.{{\left( x+1 \right)}^{2}}\]
Xét mẫu số: \[3{{x}^{2}}+3x=3x\left( x+1 \right)\]
\[\Rightarrow \frac{7{{x}^{2}}+14x+7}{3{{x}^{2}}+3x}=\frac{7{{\left( x+1 \right)}^{2}}}{3x\left( x+1 \right)}=\frac{7\left( x+1 \right)}{3x}\]
Bài 13. (SGK Toán 8 tập 1 trang 40)
a) \[\frac{45x\left( 3-x \right)}{15x{{\left( x-3 \right)}^{3}}}=\frac{-45x\left( 3-x \right)}{-15x{{\left( x-3 \right)}^{3}}}=\frac{45x\left( x-3 \right)}{-15{{\left( x-3 \right)}^{3}}}=\frac{3.15x\left( x-3 \right)}{-{{\left( x-3 \right)}^{2}}.15x\left( x-3 \right)}=\frac{-3}{{{\left( x-3 \right)}^{2}}}\]
b) \(\frac{{{y^2} - {x^2}}}{{{x^3} - 3{x^2}y + 3x{y^2} - {y^3}}} = - \frac{{{y^2} - {x^2}}}{{ - \left( {{x^3} - 3{x^2}y + 3x{y^2} - {y^3}} \right)}}\)
\(= \frac{{{x^2} - {y^2}}}{{ - {{(x - y)}^3}}} = \frac{{(x - y)(x + y)}}{{ - (x - y){{(x - y)}^2}}} = - \frac{{x + y}}{{{{(x - y)}^2}}}\)
Gợi ý Giải bài tập sách giáo khoa rút gọn phân thức toán học 8, toán 8 đại số lý thuyết trọng tâm giúp học sinh nắm vững kiến thức chính xác nhất