BÀI 3: DIỆN TÍCH TAM GIÁC
A. LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM
Định lí:
Diện tích tam giác bằng nửa tích của một cạnh với chiều cao tương ứng với cạnh đó.
\[S=\frac{1}{2}a.h\]
B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP
Dạng 1. Giải thích đẳng thức
Cách giải:
Áp dụng công thức tính diện tích tam giác: \[S=\frac{1}{2}a.h\]
Dạng 2. Chứng minh diện tích hai tam giác bằng nhau
Cách giải:
Áp dụng công thức tính diện tích tam giác: \[S=\frac{1}{2}a.h\]
C. GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA
Bài 16. (SGK Toán 8 tập 1 trang 121)
Diện tích các hình chữ nhật bằng nhau và bằng \[{{S}_{\Delta }}=a.h\]
Các hình tam giác trên đều có chiều cao h và đáy tương ứng là a nên có diện tích bằng nhau và bằng \[{{S}_{\Delta }}=\frac{1}{2}a.h=\frac{1}{2}{{S}_{HCN}}\] (đpcm)
Bài 17. (SGK Toán 8 tập 1 trang 121)
Diện tích tam giác OAB với chiều cao OM và cạnh đáy AB là: \[S=\frac{1}{2}OM.AB\]
Diện tích tam giác OAB với chiều cao OA cạnh đáy OB là: \[S=\frac{1}{2}OA.OB\]
\[\Rightarrow \frac{1}{2}OM.AB=\frac{1}{2}OA.OB\Rightarrow AB.OM=OA.OB\] (đpcm)
Bài 18. (SGK Toán 8 tập 1 trang 121)
Dựng đường cao AH
Ta có: \[{{S}_{ABM}}=\frac{1}{2}AH.BM;{{S}_{ACM}}=\frac{1}{2}AH.CM\]
Lại có: \[BM=CM\] (vì AM là trung tuyến)
\[\Rightarrow {{S}_{ABM}}={{S}_{ACM}}\] (đpcm)
LUYỆN TẬP
Bài 19. (SGK Toán 8 tập 1 trang 122)
a) Các tam giác số 1, 3, 6 có cùng diện tích bằng 4 ô vuông
Các tam giác số 2, 8 có cùng diện tích bằng 3 ô vuông
b) Hai tam giác có diện tích bằng nhau có thể không bằng nhau
Vì diện tích tam giác bằng tích đường cao và cạnh đáy tương ứng nên có thể đường cao và cạnh đáy tương ứng không bằng nhau nhưng vẫn có tích bằng nhau.
Bài 20. (SGK Toán 8 tập 1 trang 122)
Cho ΔABC có đường cao AH
Gọi M, N, I lần lượt là trung điểm của AB, AC, AH
Lấy E đối xứng với I qua M, D đối xứng với I qua N
\[\Rightarrow \] Hình chữ nhật BEDC là hình cần dựng
Ta có: \[\Delta EBM=\Delta IAM;\Delta DCN=\Delta IAN\]
\(\begin{array}{*{20}{l}} { \Rightarrow {S_{EBM}} = {S_{AMI}};{S_{CND}} = {S_{AIN}}}\\ { \Rightarrow {S_{ABC}} = {S_{AMI}} + {S_{AIN}} + {S_{BMNC}} = {S_{EBM}} + {S_{BMNC}} + {S_{CND}} = {S_{BCDE}}}\\ { \Rightarrow {S_{ABC}} = {S_{BCDE}} = BE.BC = \frac{1}{2}.AH.BC} \end{array}\)
Bài 21. (SGK Toán 8 tập 1 trang 122)
Ta có: \[AD=BC=5cm\]
Diện tích ΔADE là: \[{{S}_{ADE}}=\frac{1}{2}.2.5=5\left( c{{m}^{2}} \right)\]
Diện tích hình chữ nhật ABCD là: \[{{S}_{ABCD}}=5x\]
Theo bài ra ta có:\[{{S}_{ABCD}}=3{{S}_{ADE}}\Leftrightarrow 5x=3.5\Leftrightarrow x=3\]
Vậy \[x=3(cm)\].
Bài 22. (SGK Toán 8 tập 1 trang 122)
Gọi AH là chiều cao của tam giác APF
Ta có: \[{{S}_{PAF}}=\frac{1}{2}AH.PF\]
a) \[{{S}_{PIF}}={{S}_{PAF}}\]
\[\Leftrightarrow \] Chiều cao \[IK=AH\](Vì chung cạnh đáy PF)
\[\Leftrightarrow \] I nằm trên đường thẳng song song với PF và cách PF một khoảng bằng AH
b) \[{{S}_{POF}}=2.{{S}_{PAF}}\]
\[\Leftrightarrow \] Chiều cao \[OM=2.AH\]
\[\Leftrightarrow \] O nằm trên đường thẳng song song với PF và cách PF một khoảng bằng \[2AH\]
c) \[{{S}_{PNF}}=\frac{1}{2}{{S}_{PAF}}\]
\[\Leftrightarrow \] Chiều cao \[QN=\frac{1}{2}AH\]
\[\Leftrightarrow \] N nằm trên đường thẳng song song với PF và cách PF một khoảng bằng \[\frac{AH}{2}\]
Bài 23. (SGK Toán 8 tập 1 trang 123)
Kẻ đường cao BH và MK
Ta có: \[{{S}_{AMB}}+{{S}_{BMC}}+{{S}_{MAC}}={{S}_{ABC}}\left( 1 \right)\]
Lại có: SAMB + SBMC = SMAC (2)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow {S_{ACM}} + {S_{ACM}} = {S_{ABC}}\\ \Rightarrow {S_{ABC}} = 2{S_{ACM}}\\ \Rightarrow \frac{1}{2}AH.BC = 2.\frac{1}{2}MK.AC\\ \Rightarrow MK = \frac{1}{2}BH \end{array}\)
\[\Rightarrow \] M nằm trong \[\Delta ABC\] và nằm trên đường thẳng song song và cách AC một khoảng bằng nửa đường cao hạ từ B xuống AC.
\[\Rightarrow \] M nằm trong \[\Delta ABC\] và nằm trên đường trung bình của \[\Delta ABC\]
Bài 24. (SGK Toán 8 tập 1 trang 123)
Gọi chiều cao của tam giác là h.
Theo định lí Pi-ta-go ta có:
\(\begin{array}{l} {h^2} = {b^2} - {\left( {\frac{a}{2}} \right)^2} = \frac{{4{b^2} - {a^2}}}{4}\\ \Rightarrow h = \frac{1}{2}\sqrt {4{b^2} - {a^2}} \\ \Rightarrow S = \frac{1}{2}ah = \frac{1}{2}a.\frac{1}{2}\sqrt {4{b^2} - {a^2}} = \frac{1}{4}a\sqrt {4{b^2} - {a^2}} \end{array}\)
Bài 25. (SGK Toán 8 tập 1 trang 123)
Xét \[\Delta ABC\] đều cạnh a, đường cao AH có: \[BH=CH=\frac{a}{2}\]
Xét \[\Delta ABH\] vuông tại H có: \[A{{B}^{2}}=A{{H}^{2}}+B{{H}^{2}}\] (định lí Pi-ta-go)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow A{H^2} = A{B^2} - B{H^2} = {a^2} - {\left( {\frac{a}{2}} \right)^2} = \frac{{3{a^2}}}{4}\\ \Rightarrow AH = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\\ \Rightarrow {S_{ABC}} = \frac{1}{2}AH.BC = \frac{1}{2}.\frac{{a\sqrt 3 }}{2}.a = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4} \end{array}\)
Gợi ý Giải bài tập sách giáo khoa diện tích tam giác toán học 8, toán 8 hình học lý thuyết trọng tâm giúp học sinh nắm vững kiến thức nhanh nhất