BÀI 2: ĐỊNH LÍ ĐẢO VỀ HỆ QUẢ CỦA ĐỊNH LÍ TA-LÉT
A. LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM
1. Định lí đảo
Định lí Ta-lét đảo (Thừa nhận, không chứng minh)
Nếu một đường thẳng cắt hai cạnh của một tam giác và định ra trên hai cạnh này những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ thì đường thẳng đó song song với cạnh còn lại của tam giác.
GT | \[\Delta ABC;\,B'\in AB;\,C'\in AC\] \[\frac{AB'}{B'B}=\frac{AC'}{C'C}\] |
KL | \[B'C'//BC\] |
2. Hệ quả của định lí Ta-lét
Nếu một đường thẳng cắt hai cạnh của một tam giác và song song với cạnh còn lại thì nó tạo thành một tam giác mới có ba cạnh tương ứng tỉ lệ với ba cạnh của tam giác đã cho.
GT | \[\Delta ABC;\,B'\in AB;\,C'\in AC\] \[B'C'//BC\] |
KL | \[\frac{A{B}'}{AB}=\frac{A{C}'}{AC}=\frac{B'C'}{BC}\]. |
Chú ý:
Hệ quả trên vẫn đúng cho trường hợp đường thẳng a song song với một cạnh của tam giác và cắt phần kéo dài của hai cạnh còn lại: \[\frac{AB'}{AB}=\frac{AC'}{AC}=\frac{B'C'}{BC}\] .
B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP
Dạng 1. Tìm các cặp đường thẳng song song
Cách giải:
Áp dụng định lí Ta-lét đảo để giải bài toán:
Nếu một đường thẳng cắt hai cạnh của một tam giác và định ra trên hai cạnh này những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ thì đường thẳng đó song song với cạnh còn lại của tam giác.
Dạng 2. Tính độ dài đoạn thẳng
Cách giải:
Sử dụng hệ quả định lí Ta-lét để giải bài toán
Dạng 3. Mô tả cách chia các đoạn thẳng bằng định lí Ta-lét
Cách giải:
Áp dụng định lí Ta-lét đảo:
Nếu một đường thẳng cắt hai cạnh của một tam giác và định ra trên hai cạnh này những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ thì đường thẳng đó song song với cạnh còn lại của tam giác.
C. GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA
Bài 6. SGK toán 8 tập 2 trang 62
a) Ta có: \[\frac{CM}{MA}=\frac{15}{5}=3;\frac{CN}{NB}=\frac{21}{7}=3\Rightarrow \frac{CM}{MA}=\frac{CN}{NB}\Rightarrow MN//AB\] (định lí Ta-lét đảo)
b) Ta có: \[\widehat{OA''B''}=\widehat{OA'B'}\Rightarrow A'B'=A''B''\] ( hai góc so le trong bằng nhau) (1)
Mà \[\frac{OA'}{AA'}=\frac{2}{3};\frac{OB'}{BB'}=\frac{3}{4,5}=\frac{2}{3}\]
\[\Rightarrow \frac{OA'}{AA'}=\frac{OB'}{BB'}\Rightarrow A'B'//AB\] (2)
(1),(2) \[\Rightarrow A''B''//A'B'//AB\]
Bài 7. SGK toán 8 tập 2 trang 62
a) Ta có: \[MN//EF\Rightarrow \frac{DM}{DE}=\frac{MN}{EF}\Leftrightarrow \frac{9,5}{9,5+28}=\frac{8}{x}\Leftrightarrow x=\frac{600}{19}\]
b) Ta có: \[A'B'\bot AA';AB\bot AA'\Rightarrow A'B'//AB\Rightarrow \frac{A'B'}{AB}=\frac{OA'}{OA}\]
\[\Leftrightarrow \frac{4,2}{x}=\frac{3}{6}\Leftrightarrow x=8,4\]
Lại có \[\Delta OAB\] vuông tại A
\[\Rightarrow O{{B}^{2}}=O{{A}^{2}}+A{{B}^{2}}\] (định lí Pi-ta-go)
\[\Rightarrow OB=y=\sqrt{O{{A}^{2}}+A{{B}^{2}}}=\sqrt{{{6}^{2}}+8,{{4}^{2}}}=106,56\] .
Bài 8. SGK toán 8 tập 2 trang 63
a)
- Mô tả cách làm:
+ Vẽ đường thẳng a song song với AB. Trên a lấy hai điểm P và Q sao cho PQ dài 3 đơn vị.
+ Lấy \[E,F\in PQ\] sao cho \[PE=EF=FQ=1\] đơn vị. Gọi O là giao điểm của QA và BP.
+ Nối OE, OF. Gọi C, D lần lượt là giao điểm của OF và OE với AB.
+ Ta được \[AC=CD=DB\] .
- Chứng minh \[AC=CD=DB\] :
\[FQ//AC\Rightarrow \frac{AC}{FQ}=\frac{OA}{OQ}=\frac{OC}{OF}\] (định lí Ta-lét đảo)
\[EF//CD\Rightarrow \frac{CD}{EF}=\frac{OC}{OD}=\frac{OD}{OE}\] (định lí Ta-lét đảo)
\[PE//DB\Rightarrow \frac{DB}{PE}=\frac{OD}{OE}=\frac{OB}{OP}\] (định lí Ta-lét đảo)
\[\Rightarrow \frac{AC}{FQ}=\frac{CD}{EF}=\frac{DB}{PE}\]
Mà \[PE=EF=FQ\]
\[\Rightarrow AC=CD=DB\] (điều phải chứng minh)
b)
Cách khác: Vẽ đoạn thẳng AC bất kì tạo thành \[\Delta ABC\] . Chia đoạn AC thành 5 đoạn thẳng bằng nhau \[AD=DE=EF=FG=GC\left( D,E,F,G\in AC \right)\] .
Qua D, E, F, G kẻ các đường thẳng song song với đoạn thẳng BC cắt AB lần lượt tại H, K, M, N. Khi đó đoạn thẳng AB được chia thành 5 phần bằng nhau \[AH=HK=KM=MN=NB\] .
Bài 9. SGK toán 8 tập 2 trang 63
Gọi M và N lần lượt là chân đường vuông góc hạ từ B và D xuống AC.
\[\Rightarrow \] Khoảng cách từ B và D đến AC lần lượt là BM và DN.
Ta có \[BM\bot AC;DN\bot AC\Rightarrow BM//DN\]
\[\Rightarrow \frac{DN}{BM}=\frac{AD}{AB}=\frac{13,5}{13,5+4,5}=\frac{3}{4}\]
Vậy tỉ số khoảng cách từ D và B đến AC là \[\frac{3}{4}\] .
LUYỆN TẬP
Bài 10. SGK toán 8 tập 2 trang 63
a) Theo hệ quả định lý Ta-lét ta có:
\[B'C'//BC\Rightarrow \frac{B'C'}{BC}=\frac{A'C'}{AC}\]
\[C'H'//CH\Rightarrow \frac{AH'}{AH}=\frac{AC'}{AC}\]
\[\Rightarrow \frac{AH'}{AH}=\frac{B'C'}{BC}\] (Điều phải chứng minh)
b) Ta có: \[AH'=\frac{1}{3}AH\Rightarrow \frac{AH'}{AH}=\frac{1}{3}\]
\[\Rightarrow \frac{B'C'}{BC}=\frac{AH'}{AH}=\frac{1}{3}\]
Ta có: \[\frac{{{S}_{AB'C'}}}{{{S}_{ABC}}}=\frac{\frac{1}{2}AH'.B'C'}{\frac{1}{2}AH.BC}=\frac{AH'.B'C'}{AH.BC}=\frac{AH'}{AH}.\frac{B'C'}{BC}=\frac{1}{3}.\frac{1}{3}=\frac{1}{9}\]
\[\Rightarrow {{S}_{AB'C'}}=\frac{1}{9}{{S}_{ABC}}=\frac{1}{9}.67,5=7,5\left( c{{m}^{2}} \right)\]
Bài 11. SGK toán 8 tập 2 trang 63
a) Ta có \[AK=KI=IH\Rightarrow AK=\frac{1}{3}AH;AI=\frac{2}{3}AH\]
\[MN//BC\Rightarrow \frac{MN}{BC}=\frac{AN}{AC}\]
\[NK//CH\Rightarrow \frac{AK}{AH}=\frac{AN}{AC}\]
\[\Rightarrow \frac{MN}{BC}=\frac{AK}{AH}=\frac{1}{3}\Rightarrow MN=\frac{1}{3}BC=\frac{1}{3}.15=5\left( cm \right)\]
Chứng minh tương tự ta có \[\frac{EF}{BC}=\frac{AI}{AH}=\frac{2}{3}\Rightarrow EF=\frac{2}{3}BC=\frac{2}{3}.15=10\left( cm \right)\]
b) Ta có: \[\frac{{{S}_{AMN}}}{{{S}_{ABC}}}=\frac{\frac{1}{2}AK.MN}{\frac{1}{2}AH.BC}=\frac{AK}{AH}.\frac{MN}{BC}=\frac{1}{3}.\frac{1}{3}=\frac{1}{9}\Rightarrow {{S}_{AMN}}=\frac{1}{9}{{S}_{ABC}}\]
\[\frac{{{S}_{AEF}}}{{{S}_{ABC}}}=\frac{\frac{1}{2}AI.EF}{\frac{1}{2}AH.BC}=\frac{AI}{AH}.\frac{EF}{BC}=\frac{2}{3}.\frac{2}{3}=\frac{4}{9}\Rightarrow {{S}_{AEF}}=\frac{4}{9}{{S}_{ABC}}\]
\[\Rightarrow {{S}_{MNFE}}={{S}_{AEF}}-{{S}_{AMN}}=\frac{4}{9}{{S}_{ABC}}-\frac{1}{9}{{S}_{ABC}}=\frac{1}{3}{{S}_{ABC}}=90\left( c{{m}^{2}} \right)\]
Bài 12. SGK toán 8 tập 2 trang 64
- Mô tả công việc cần làm:
+ Lấy thân cây một bên bờ sông là điểm A cố định. Lấy điểm B sát mép bờ còn lại và điểm B’ sao cho A, B, B’ thẳng hàng và B nằm giữa A và B’.
+ Trên đương thẳng vuông góc với AB’ tại B’ lấy điểm C’. Trên đường thẳng vuông góc với AB’ tại B lấy C sao cho A, C, C’ thẳng hàng.
+ Đo độ dài \[BC=a;B'C'=a';BB'=H\] ta tính được độ dài \[AB=x\]
- Tính khoảng cách AB:
Ta có \[BC\bot AB';B'C'\bot AB'\Rightarrow BC//B'C'\]
\[\Rightarrow \frac{AB}{AB'}=\frac{BC}{B'C'}\] ( hệ quả định lí Ta-lét)
\[\Rightarrow \frac{x}{h+x}=\frac{a}{a'}\Leftrightarrow \frac{x+h}{x}=\frac{a'}{a}\Leftrightarrow 1+\frac{h}{x}=\frac{a'}{a}\Leftrightarrow \frac{h}{x}=\frac{a'}{a}-1=\frac{a'-a}{a}\Leftrightarrow x=\frac{ah}{a'-a}\]
Bài 13. SGK toán 8 tập 2 trang 64
a) Quy trình tiến hành đo đạc:
+ Đặt hai cọc thẳng đứng sau đó di chuyển cọc 2 sao cho A, F, K thẳng hàng.
+ Căng sợi dây tạo thành đường thẳng qua A, F, K và tiếp xúc mặt đất tại điểm C.
b) \[KD//AB\Rightarrow \frac{KD}{AB}=\frac{CD}{CB}\Rightarrow AB=\frac{KD.CB}{CD}=\frac{ha}{b}\]
Bài 14. SGK toán 8 tập 2 trang 64
a)
+ Dựng hai tia \[Ox,Oy\] sao cho \[\widehat{xOy}\] khác góc bẹt.
+ Trên \[Ox\] lấy hai điểm A và B sao cho \[OA=1;OB=2\] (đơn vị).
+ Trên \[Oy\] lấy điểm M sao cho \[OM=m\] .
+ Vẽ đường thẳng qua B song song với AM và cắt \[Oy\] tại C.
Ta có OC là đoạn thẳng cần dựng.
+ Chứng minh:
Ta có: \[AM//BC\Rightarrow \frac{OM}{OC}=\frac{OA}{OB}\] (Định lí Ta-lét)
Lại có: \[\frac{OA}{OB}=\frac{1}{2}\Rightarrow \frac{OM}{OC}=\frac{1}{2}\Leftrightarrow \frac{m}{x}=\frac{1}{2}\Leftrightarrow \frac{x}{m}=2\]
b)
+ Dựng hai tia \[Ox,Oy\] sao cho \[\widehat{xOy}\] khác góc bẹt.
+ Trên \[Ox\] lấy hai điểm A và B sao cho \[OA=2;OB=3\] (đơn vị).
+ Trên \[Oy\] lấy điểm N sao cho \[ON=n\] .
+ Vẽ đường thẳng qua A song song với BN và cắt \[Oy\] tại D.
Ta có OD là đoạn thẳng cần dựng.
Chứng minh:
\[AD//BN\Rightarrow \frac{OD}{ON}=\frac{OA}{OB}=\frac{2}{3}\Rightarrow \frac{x}{n}=\frac{2}{3}\]
c)
+ Dựng hai tia \[Ox,Oy\] sao cho \[\widehat{xOy}\] khác góc bẹt.
+ Trên \[Ox\] lấy hai điểm A và B sao cho \[OA=n;OB=p\] (đơn vị).
+ Trên \[Oy\] lấy điểm M sao cho \[OM=m\] .
+ Vẽ đường thẳng qua B song song với AM và cắt \[Oy\] tại E.
Ta có OE là đoạn thẳng cần dựng.
Chứng minh:
\[AM//EB\Rightarrow \frac{OM}{OE}=\frac{OA}{OB}\Rightarrow \frac{m}{x}=\frac{n}{p}\] .
Gợi ý Giải bài tập sách giáo khoa định lí đảo và hệ quả của định lí talet toán học 8, toán 8 hình học lý thuyết trọng tâm giúp học sinh nắm vững kiến thức nhanh nhất