BÀI 8: CỘNG TRỪ ĐA THỨC MỘT BIẾN
I. LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM
Để cộng, trừ các đa thức một biến ta làm một trong hai cách sau:
Cách 1: Cộng trừ đa thức theo hàng ngang
Cách 2: Sắp xếp các hạng tử của hai đa thức theo cùng lũy thừa giảm hoặc tăng của biến rồi đặt phép tính theo cột dọc tương ứng như cộng, trừ các số (chú ý đặt các đơn thức ở cùng một cột).
II. PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP
Dạng 1: Tính tổng hoặc hiệu của hai đa thức
Cách giải: Ta có thể cộng trừ hai đa thức theo hàng ngang hoặc dọc
Có thể thực hiện phép trừ như sau: \[P\left( x \right)-Q\left( x \right)=P\left( x \right)+\left[ -Q\left( x \right) \right]\]
Dạng 2: Viết một đa thức dưới dạng tổng hoặc hiệu của hai đa thức
Cách giải: Ta có thể tách mỗi hệ số của đa thức đã cho thành tổng hoặc hiệu của hai số. Các hệ số này sẽ là hệ số của lũy thừa cùng bậc của hai đa thức phải tìm.
Các bài toán thường gặp
Bài toán 1: Cho hai đa thức \[P\left( x \right)\] và \[Q\left( x \right)\]. Hãy tính \[P\left( x \right)-Q\left( x \right)\] và \[P\left( x \right)+Q\left( x \right)\].
Bài toán 2: Viết đa thức \[P\left( x \right)\] dưới dạng tổng, hiệu của hai đa thức một biến.
Bài toán 3: Tìm đa thức thỏa mãn điều kiện cho trước khi biết một trong hai đa thức kia.
III. GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA
Bài 44. (SGK Toán 7 tập 2 trang 45)
\(\begin{array}{l} P\left( x \right) + Q\left( x \right) = \left( { - 5{x^3} - \frac{1}{3} + 8{x^4} + {x^2}} \right) + \left( {{x^2} - 5x - 2{x^3} + {x^4} - \frac{2}{3}} \right)\\ {\rm{ }} = - 5{x^3} - \frac{1}{3} + 8{x^4} + {x^2} + {x^2} - 5x - 2{x^3} + {x^4} - \frac{2}{3}\\ {\rm{ }} = \left( { - 5{x^3} - 2{x^3}} \right) + \left( { - \frac{1}{3} - \frac{2}{3}} \right) + \left( {8{x^4} + {x^4}} \right) + \left( {{x^2} + {x^2}} \right) - 5x\\ {\rm{ }} = - 7{x^3} - 1 + 9{x^4} + 2{x^2} - 5x \end{array}\)
\(\begin{array}{l} P\left( x \right) - Q\left( x \right) = \left( { - 5{x^3} - \frac{1}{3} + 8{x^4} + {x^2}} \right) - \left( {{x^2} - 5x - 2{x^3} + {x^4} - \frac{2}{3}} \right)\\ {\rm{ }} = - 5{x^3} - \frac{1}{3} + 8{x^4} + {x^2} - {x^2} + 5x + 2{x^3} - {x^4} + \frac{2}{3}\\ {\rm{ }} = \left( { - 5{x^3} + 2{x^3}} \right) + \left( { - \frac{1}{3} + \frac{2}{3}} \right) + \left( {8{x^4} - {x^4}} \right) + \left( {{x^2} - {x^2}} \right) + 5x\\ {\rm{ }} = - 3{x^3} + \frac{1}{3} + 7{x^4} + 5x \end{array}\)
Bài 45. (SGK Toán 7 tập 2 trang 45)
a)
\(\begin{array}{l} P\left( x \right) + Q\left( x \right) = {x^5} - 2{x^2} + 1\\ \Rightarrow Q\left( x \right) = {x^5} - 2{x^2} + 1 - P\left( x \right)\\ {\rm{ }} = {x^5} - 2{x^2} + 1 - \left( {{x^4} - 3{x^2} + \frac{1}{2} - x} \right)\\ {\rm{ }} = {x^5} - 2{x^2} + 1 - {x^4} + 3{x^2} - \frac{1}{2} + x\\ {\rm{ }} = {x^5} + \left( { - 2{x^2} + 3{x^2}} \right) + \left( {1 - \frac{1}{2}} \right) - {x^4} + x\\ {\rm{ }} = {x^5} + {x^2} + \frac{1}{2} - {x^4} + x \end{array}\)
b)
\(\begin{array}{l} P\left( x \right) - R\left( x \right) = {x^3}\\ \Rightarrow R\left( x \right) = P\left( x \right) - {x^3}\\ {\rm{ }} = \left( {{x^4} - 3{x^2} + \frac{1}{2} - x} \right) - {x^3}\\ {\rm{ }} = {x^4} - 3{x^2} + \frac{1}{2} - x - {x^3} \end{array}\)
Bài 46. (SGK Toán 7 tập 2 trang 45)
a)\[P\left( x \right)=5{{x}^{3}}-4{{x}^{2}}+7x-2=\left( 4{{x}^{3}}+1 \right)+\left( {{x}^{3}}-4{{x}^{2}}+7x-3 \right)\]
b) \[P\left( x \right)=5{{x}^{3}}-4{{x}^{2}}+7x-2=\left( 7{{x}^{3}}+5{{x}^{2}} \right)-\left( 2{{x}^{3}}+9{{x}^{2}}-7x+2 \right)\]
Bạn Vinh nêu nhận xết đúng ví dụ: \[P\left( x \right)=5{{x}^{3}}-4{{x}^{2}}+7x-2=\left( -{{x}^{4}}+4{{x}^{3}}+1 \right)+\left( {{x}^{4}}+{{x}^{3}}-4{{x}^{2}}+7x-3 \right)\]
Bài 47. (SGK Toán 7 tập 2 trang 45)
\(\begin{array}{l} P\left( x \right) + Q\left( x \right) + H\left( x \right) = \left( {2{x^4} - x - 2{x^3} + 1} \right) + \left( {5{x^2} - {x^3} + 4x} \right) + \left( { - 2{x^4} + {x^2} + 5} \right)\\ {\rm{ }} = 2{x^4} - x - 2{x^3} + 1 + 5{x^2} - {x^3} + 4x - 2{x^4} + {x^2} + 5\\ {\rm{ }} = \left( {2{x^4} - 2{x^4}} \right) + \left( { - x + 4x} \right) + \left( { - 2{x^3} - {x^3}} \right) + \left( {1 + 5} \right) + \left( {5{x^2} + {x^2}} \right) - {x^3}\\ {\rm{ }} = 3x - 3{x^3} + 6 + 6{x^2} - {x^3} \end{array}\)
\(\begin{array}{l} P\left( x \right) - Q\left( x \right) - H\left( x \right) = \left( {2{x^4} - x - 2{x^3} + 1} \right) - \left( {5{x^2} - {x^3} + 4x} \right) - \left( { - 2{x^4} + {x^2} + 5} \right)\\ {\rm{ }} = 2{x^4} - x - 2{x^3} + 1 - 5{x^2} + {x^3} - 4x + 2{x^4} - {x^2} - 5\\ {\rm{ }} = \left( {2{x^4} + 2{x^4}} \right) + \left( { - x - 4x} \right) + \left( { - 2{x^3} + {x^3}} \right) + \left( {1 - 5} \right) + \left( { - 5{x^2} - {x^2}} \right) + {x^3}\\ {\rm{ }} = 4{x^4} - 5x - {x^3} - 4 - 6{x^2} + {x^3} \end{array}\)
Bài 48. (SGK Toán 7 tập 2 trang 46)
Đáp án \[2{{x}^{3}}-3{{x}^{2}}-6x+2\].
LUYỆN TẬP
I. LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM (LUYỆN TẬP)
+ Quy tắc cộng trừ hai đa thức một biến
+ Thu gọn các đa thức
+ Tính giá trị của một biểu thức đại số
II. PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP (LUYỆN TẬP)
Dạng 1: Xác định bậc của đa thức
Dạng 2: Tính tổng hoặc hiệu của hai đa thức
Dạng 3: Sắp xếp các hạng tử của đa thức
Dạng 4: Tính giá trị của đa thức
III. GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA (LUYỆN TẬP)
Bài 49. (SGK Toán 7 tập 2 trang 46)
\[M={{x}^{2}}-2xy+5{{x}^{2}}-1=6{{x}^{2}}-2xy-1\]. Bậc của đa thức là \[2\]
\[N={{x}^{2}}{{y}^{2}}-{{y}^{2}}+5{{x}^{2}}-3{{x}^{2}}y+5\]. Bậc của đa thức là \[4\].
Bài 50. (SGK Toán 7 tập 2 trang 46)
a)
\(\begin{array}{l} N = 15{y^3} + 5{y^2} - {y^5} - 5{y^2} - 4{y^3} - 2y\\ {\rm{ }} = \left( {15{y^3} - 4{y^3}} \right) + \left( {5{y^2} - 5{y^2}} \right) - {y^5} - 2y\\ {\rm{ }} = 11{y^3} - {y^5} - 2y \end{array}\)
\(\begin{array}{l} M = {y^2} + {y^3} - 3y + 1 - {y^2} + {y^5} - {y^3} + 7{y^5}\\ {\rm{ }} = \left( {{y^2} - {y^2}} \right) + \left( {{y^3} - {y^3}} \right) - 3y + 1 + \left( {{y^5} + 7{y^5}} \right)\\ {\rm{ }} = - 3y + 1 + 8{y^5} \end{array}\)
b)
\(\begin{array}{l} N + M = \left( {11{y^3} - {y^5} - 2y} \right) + \left( { - 3y + 1 + 8{y^5}} \right)\\ {\rm{ }} = 11{y^3} - {y^5} - 2y - 3y + 1 + 8{y^5}\\ {\rm{ }} = 11{y^3} + \left( { - {y^5} + 8{y^5}} \right) + \left( { - 2y - 3y} \right) + 1\\ {\rm{ }} = 11{y^3} + 3{y^5} - 5y + 1 \end{array}\)
\(\begin{array}{l} N - M = \left( {11{y^3} - {y^5} - 2y} \right) - \left( { - 3y + 1 + 8{y^5}} \right)\\ {\rm{ }} = 11{y^3} - {y^5} - 2y + 3y - 1 - 8{y^5}\\ {\rm{ }} = 11{y^3} + \left( { - {y^5} - 8{y^5}} \right) + \left( { - 2y + 3y} \right) - 1\\ {\rm{ }} = 11{y^3} - 9{y^5} + y - 1 \end{array}\)
Bài 51. (SGK Toán 7 tập 2 trang 46)
a)
\(\begin{array}{l} P\left( x \right) = 3{x^2} - 5 + {x^4} - 3{x^3} - {x^6} - 2{x^2} - {x^3}\\ {\rm{ }} = \left( {3{x^2} - 2{x^2}} \right) - 5 + {x^4} + \left( { - 3{x^3} - {x^3}} \right) - {x^6}\\ {\rm{ }} = {x^2} - 5 + {x^4} - 4{x^3} - {x^6}\\ {\rm{ }} = - 5 + {x^2} - 4{x^3} + {x^4} - {x^6} \end{array}\)
\(\begin{array}{l} Q\left( x \right) = {x^3} + 2{x^5} - {x^4} + {x^2} - 2{x^3} + x - 1\\ {\rm{ }} = \left( {{x^3} - 2{x^3}} \right) + 2{x^5} - {x^4} + {x^2} + x - 1\\ {\rm{ }} = - {x^3} + 2{x^5} - {x^4} + {x^2} + x - 1\\ {\rm{ }} = - 1 + x + {x^2} - {x^3} - {x^4} + 2{x^5} \end{array}\)
b)
\(\begin{array}{l} P\left( x \right) + Q\left( x \right) = \left( { - 5 + {x^2} - 4{x^3} + {x^4} - {x^6}} \right) + \left( { - 1 + x + {x^2} - {x^3} - {x^4} + 2{x^5}} \right)\\ {\rm{ }} = - 5 + {x^2} - 4{x^3} + {x^4} - {x^6} - 1 + x + {x^2} - {x^3} - {x^4} + 2{x^5}\\ {\rm{ }} = \left( { - 5 - 1} \right) + \left( {{x^2} + {x^2}} \right) + \left( { - 4{x^3} - {x^3}} \right) + \left( {{x^4} - {x^4}} \right) - {x^6} + x + 2{x^5}\\ {\rm{ }} = - 6 + 2{x^2} - 5{x^3} - {x^6} + x + 2{x^5} \end{array}\)
\(\begin{array}{l} P\left( x \right) - Q\left( x \right) = \left( { - 5 + {x^2} - 4{x^3} + {x^4} - {x^6}} \right) - \left( { - 1 + x + {x^2} - {x^3} - {x^4} + 2{x^5}} \right)\\ {\rm{ }} = - 5 + {x^2} - 4{x^3} + {x^4} - {x^6} + 1 - x - {x^2} + {x^3} + {x^4} - 2{x^5}\\ {\rm{ }} = \left( { - 5 + 1} \right) + \left( {{x^2} - {x^2}} \right) + \left( { - 4{x^3} + {x^3}} \right) + \left( {{x^4} + {x^4}} \right) - {x^6} - x - 2{x^5}\\ {\rm{ }} = - 4 - 3{x^3} + 2{x^4} - {x^6} - x - 2{x^5} \end{array}\)
Bài 52. (SGK Toán 7 tập 2 trang 46)
\[P\left( x \right)={{x}^{2}}-2x-8\]
Giá trị của \[P\left( x \right)\]tại \[x=-1\] là: \[P\left( x \right)={{x}^{2}}-2x-8={{\left( -1 \right)}^{2}}-2.\left( -1 \right)-8=-5\]
Giá trị của \[P\left( x \right)\]tại \[x=0\] là: \[P\left( x \right)={{x}^{2}}-2x-8={{0}^{2}}-2.0-8=-8\]
Giá trị của \[P\left( x \right)\]tại \[x=4\] là: \[P\left( x \right)={{x}^{2}}-2x-8={{4}^{2}}-2.4-8=0\]
Bài 53. (SGK Toán 7 tập 2 trang 46)
\(\begin{array}{l} P\left( x \right) - Q\left( x \right) = \left( {{x^5} - 2{x^4} + {x^2} - x + 1} \right) - \left( {6 - 2x + 2{x^3} + {x^4} - 3{x^5}} \right)\\ {\rm{ }} = {x^5} - 2{x^4} + {x^2} - x + 1 - 6 + 2x - 2{x^3} - {x^4} + 3{x^5}\\ {\rm{ }} = \left( {{x^5} + 3{x^5}} \right) + \left( { - 2{x^4} - {x^4}} \right) + {x^2} + \left( { - x + 2x} \right) + \left( {1 - 6} \right) - 2{x^3}\\ {\rm{ }} = 4{x^5} - 3{x^4} + {x^2} + x - 5 - 2{x^3} \end{array}\)
\(\begin{array}{l} Q\left( x \right) - P\left( x \right) = \left( {6 - 2x + 2{x^3} + {x^4} - 3{x^5}} \right) - \left( {{x^5} - 2{x^4} + {x^2} - x + 1} \right)\\ {\rm{ = }}6 - 2x + 2{x^3} + {x^4} - 3{x^5} - {x^5} + 2{x^4} - {x^2} + x - 1\\ {\rm{ }} = \left( {6 - 1} \right) + \left( { - 2x + x} \right) + 2{x^3} + \left( {{x^4} + 2{x^4}} \right) + \left( { - 3{x^5} - {x^5}} \right) - {x^2}\\ {\rm{ }} = 5 - x + 2{x^3} + 3{x^4} - 4{x^5} - {x^2} \end{array}\)
Nhận xét: Hệ số của hai đa thức vừa tìm được là số đối của nhau.
Trên đây là gợi ý giải bài tập Toán 7 bài cộng trừ đa thức một biến do giáo viên Ican trực tiếp biên soạn theo chương trình mới nhất. Chúc bác bạn học tập vui vẻ