BÀI 3. QUAN HỆ GIỮA CẠNH CỦA MỘT TAM GIÁC. BẤT ĐẲNG THỨC TAM GIÁC.
I. LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM
1. Bất đẳng thức tam giác
Trong một tam giác, tổng độ dài hai cạnh bất kì bao giờ cũng lớn hơn độ dài cạnh còn lại.
2. Hệ quả của bất đẳng thức tam giác
Trong một tam giác, hiệu độ dài hai cạnh bất kì bao giờ cũng nhỏ hơn độ dài cạnh còn lại.
\[\left| AC-AB \right|<BC<AC+AB\] hay \[\left| b-c \right|<a<b+c\].
II. PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP
Dạng 1: Xác định xem một tam giác có tồn tại hay không khi biết độ dài ba cạnh
Cách giải:
+ Tồn tại một tam giác có độ dài ba cạnh \[a,b,c\]nếu \[\left| b-c \right|<a<b+c\]
+ Trong các trường hợp xác định được \[a\] là số lớn nhất trong ba số \[a,b,c\] thì điều kiện để tồn tại tam giác là \[a<b+c\].
Dạng 2: Xác định khoảng giá trị của một cạnh của tam giác
Cách giải:
Sử dụng bất đẳng thức tam giác, trong tam giác có ba cạnh có độ dài \[a,b,c\] bao giờ cũng có bất đẳng thức \[\left| b-c \right|<a<b+c\]. Từ bất đẳng thức này ta suy ra khoảng giá trị của \[a\].
Dạng 3: Chứng minh bất đẳng thức về độ dài
Cách giải:
Sử dụng bất đẳng thức tam giác và các biến đổi về bất đẳng thức, chú ý các biến đổi như sau:
+ Cộng cùng một số vào hai vế của bất đẳng thức \[a>b\Rightarrow a+c>b+c\]
+ Cộng từng vế hai bất đẳng thức cùng chiều
\(\left\{ \begin{array}{l} a < b\\ c < d \end{array} \right. \Rightarrow a + c < b + d\)
Các bài toán thường gặp
Bài toán 1: Dựa và bất đẳng thức tam giác kiểm tra bộ ba độ dài đoạn thẳng cho trước có phải là ba cạnh của tam giác hay không và dựng tam giác nếu vẽ được.
Bài toán 2: Cho độ dài hai cạnh của tam giác, tìm độ dài cạnh còn lại và cho biết đó là tam giác gì.
Bài toán 3: Chứng minh các bất đẳng thức tam giác.
III. GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA
Bài 15. (SGK Toán 7 tập 2 trang 63)
Hướng dẫn:
Nếu ba số \[a,b,c\]với \[a>b>c\]thỏa mãn \[a<b+c\]thì ba số \[a,b,c\]là độ dài ba cạnh của tam giác.
Giải:
a) Bộ ba đoạn thẳng này không thể là ba cạnh của một tam giác vì \[2+3<6\].
b) Bộ ba đoạn thẳng này không thể là ba cạnh của một tam giác vì \[2+4=6\]
c) Bộ ba đoạn thẳng này có thể là ba cạnh của một tam giác vì \[3+4>6\].
(độ dài đoạn lớn nhất nhỏ hơn tổng độ dài của hai đoạn kia).
Cách dựng tam giác có độ dài ba cạnh bằng \[3,4,6\]
– Dựng đoạn thẳng \[BC\] dài \[6cm\].
– Dựng cung tròn tâm \[B\] bán kính \[3cm\] và cung tròn tâm \[C\] bán kính \[4cm\], chúng cắt nhau tại điểm \[A\].
– Vẽ đoạn thẳng \[AB\] và \[AC\], ta được \[\Delta ABC\]có ba cạnh bằng \[3,4,6\].
Bài 16. (SGK Toán 7 tập 2 trang 63)
Hướng dẫn:
Áp dụng bất đẳng thức tam giác:
Trong tam giác có ba cạnh với độ dài \[a,b,c\]luôn có: \[\left| b-c \right|<a<b+c\]
Giải:
Theo bất đẳng thức tam giác, ta có:
\[AC-BC<AB<AC+BC\]\[\Rightarrow 7-1<AB<7+1\]\[\Rightarrow 6<AB<8\]
Vì độ dài \[AB\] là một số nguyên (cm) nên \[AB=7cm\].
\[\Delta ABC:AB=AC\]nên là tam giác cân tại \[A\]
Bài 17. (SGK Toán 7 tập 2 trang 63)
a) \[\Delta MAI:MA<MI+IA\] (quan hệ giữa ba cạnh).
Cộng thêm \[MB\] vào hai vế, ta được:
\[MA+MB<MI+IA+MB\] \[\Rightarrow MA+MB<IA+IB\]. (1)
b) \[\Delta IBC:IB<IC+BC\] (quan hệ giữa ba cạnh) V
Cộng thêm \[IA\] vào hai vế, ta được: ‘
\[IA+IB<IA+IC+BC\]\[\Rightarrow IA+IB<AC+BC\]. (2)
c) Từ (1) và (2) \[\Rightarrow MA+MB<AC+BC\].
LUYỆN TẬP
I. LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM (LUYỆN TẬP)
+ Bất đẳng thức tam giác
+ Hệ quả của bất đẳng thức tam giác
II. PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP (LUYỆN TẬP)
Dạng : Tìm giá trị nhỏ nhất của tổng hai độ dài
Với ba điểm \[M,N,B\] bất kì ta có \[BM+MC\ge BC\], dấu “\[=\]’’ xảy ra khi và chỉ khi \[M\] thuộc đoạn \[BC\]. Nếu độ dài \[BC\] không đổi thì tổng \[BM+MC\] nhỏ nhất bằng \[BC\] khi và chỉ khi \[M\] thuộc đoạn \[BC\].
III. GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA (LUYỆN TẬP)
Bài 18. (SGK Toán 7 tập 2 trang 63)
a)Vẽ tam giác có độ dài cạnh là \[2cm,3cm,4cm\]
- Vẽ đoạn thẳng \[BC=4cm\].
- Vẽ cung tròn tâm \[B\] bán kính \[2cm\] và cung tâm \[C\] bán kính \[3cm\], chúng cắt nhau ở \[A\].
- Vẽ \[AB,AC\]ta được \[\Delta ABC\]có độ dài ba cạnh là \[2cm,3cm,4cm\].
b) Ta thấy \[1+2<3,5\]nên không tồn tại tam giác có độ dài ba cạnh là \[1cm,2cm,3,5cm\]
c) Ta thấy \[2,2+2=4,2\]nên không tồn tại tam giác có độ dài ba cạnh là \[2,2cm,\]\[2cm,\]\[4,2cm\].
Bài 19. (SGK Toán 7 tập 2 trang 63)
Tam giác cân nên cạnh thứ ba của tam giác bằng một trong hai cạnh kia.
Trường hợp cạnh thứ ba bằng \[3,9cm\] không xảy ra vì \[3,9+3,9<7,9\]. Do đó cạnh thứ ba bằng \[7,9cm\]
Thật vậy: \[7,9<7,9+3,9\]
Chu vi của tam giác bằng: \[7,9+7,9+3,9=19,7cm\]Đáp số: 19,7cm.
Bài 20. (SGK Toán 7 tập 2 trang 64)
a) Nhận xét: Trong tam giác vuông, góc vuông là góc lớn nhất, nên cạnh đối diện với góc vuông là cạnh lớn nhất.
Ta có \[AH\bot BC\]nên góc \[\widehat{AHB}={{90}^{0}}\]. Suy ra tam giác vuông \[AHB\] có:
\[AB>BH\]Tương tự: \[AC>HC\]. Do đó: \[AB+AC>HB+HC\Rightarrow AB+AC>BC\]
b) \[\Delta ABC\] có \[BC\] là cạnh lớn nhất nên \[BC>AC\Rightarrow BC+AB>AC\]Tương tự: \[BC+AC>AB\]
Bài 21. (SGK Toán 7 tập 2 trang 64)
Gọi \[d\] là bờ sông gần khu dân cư, \[C\] là giao điểm của \[d\]và đoạn thẳng \[AB\].
Gọi \[M\] là điểm bất kì thuộc \[d\].
Ta chứng minh khi \[M\] trùng với \[C\] thì độ dài \[AB\] là ngắn nhất.
Giải:
\[M\]không trùng với \[C\]thì:
\[\Delta MAB:MA+MB>AB\] (1)
\[M\] trùng với \[C\] thì:
\[MA+MB=CA+CB\] \[\Rightarrow MA+MB=AB\] (2)
Từ (1) và (2) ta thấy điểm \[M\] ở vị trí \[C\] thì độ dài \[AB\] là ngắn nhất.
Vậy địa điểm \[C\] để dựng cột điện là giao điểm của \[AB\]và bờ sông thì độ dài đường dây là ngắn nhất.
Bài 22. (SGK Toán 7 tập 2 trang 64)
Áp dụng bất đẳng thức trong tam giác, ta có:
\[AB-AC<BC<AB+AC\]\[\Rightarrow 90-30<BC<90+30\Rightarrow 60<BC<120\]
Như vậy:
a) Nếu máy phát sóng ở \[C\] có bán kính hoạt động bằng \[60km\] thì ở \[B\] không nhận được tín hiệu vì \[60km<BC\].
b) Nếu máy phát sóng ở \[C\] có bán kính hoạt động bằng \[120km\] thì ở\[B\]nhận được tín hiệu vì \[BC<120km\]