ÔN TẬP CUỐI NĂM
GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA
Bài 1. SGK hình học 12 trang 99
Gọi H là trung điểm của OO’.
Mặt phẳng (P) đi qua H và cắt các cạnh bên AA’, BB’, CC’, DD’, EE’, FF’ của lăng trụ lần lượt tại I, K, M, N, P, Q thì H là trung điểm của IN, KP, MQ.
$$\Rightarrow $$Phép đối xứng qua H biến ABCDEF.IKMNPQ thành \[DEFABC.NPQIKM\]
$$\Rightarrow $$Hai khối đa diện trên bằng nhau
$$\Rightarrow $$Vậy thể tích hai khối đa diện cũng bằng nhau.
Bài 2. SGK hình học 12 trang 99
Gọi M, N lần lượt là giao điểm của đường thẳng EF với hai đường A’B’ và A’D’,
H, K lần lượt là giao của AM với BB’ và AN với DD’.
Mặt phẳng (AEF) chia khối đa diện theo thiết diện AHEFK.
Ta có : $$\Delta EB'M=\Delta EC'F\left( g.c.g \right)\Leftrightarrow B'M=C'F=\frac{a}{2}=\frac{1}{3}A'M$$.
Theo định lý Ta-lét ta có : B’H//AA’ $$\Leftrightarrow \frac{B'H}{AA'}=\frac{B'M}{A'M}=\frac{1}{3}\Leftrightarrow B'H=\frac{1}{3}a$$
Ta có : $${{V}_{H.EB'M}}=\frac{1}{6}B'H.EB'.B'M=\frac{1}{6}.\frac{1}{3}a.\frac{1}{2}a.\frac{1}{2}a=\frac{{{a}^{3}}}{72}$$
Chứng minh tương tự : $${{V}_{K.D'NF}}=\frac{{{a}^{3}}}{72}$$
$${{V}_{\left( H \right)}}={{V}_{A.A'MN}}-{{V}_{H.EB'M}}-{{V}_{K.D'NF}}=\frac{1}{6}a.\frac{3}{2}a.\frac{3}{2}a-\frac{{{a}^{3}}}{72}-\frac{{{a}^{3}}}{72}=\frac{25}{72}{{a}^{3}}$$.
Bài 3. SGK hình học 12 trang 99
a) Gọi M là tâm đường tròn (C), AB là đường kính đường tròn (C), N là giao giữa IO và mặt cầu.
Xét $$\Delta IAN$$ có trung tuyến \[OA=r\] bằng nửa cạnh huyền \[IN=2r\]
$$\Rightarrow $$$$\Delta IAN$$ vuông tại A.
$$\vartriangle IAM$$ đồng dạng với $$\Delta ANM\Leftrightarrow \frac{AM}{IM}=\frac{MN}{AM}\Leftrightarrow A{{M}^{2}}=IM.MN=h.\left( 2r-h \right)$$
Thể tích khối nón là $$V=\frac{1}{3}\pi A{{M}^{2}}.IM=\frac{1}{3}\pi h\left( 2r-h \right).h=\frac{\pi }{3}\left( 2r{{h}^{2}}-{{h}^{3}} \right)$$
b) Thể tích nón lớn nhất $$\Leftrightarrow f\left( h \right)=2r{{h}^{2}}-{{h}^{3}}$$ đạt giá trị lớn nhất
Ta có : $$f'\left( h \right)=4rh-3{{h}^{2}}$$, với $$0<h<2r$$
$$f'\left( h \right)=0\Leftrightarrow h=0\notin \left( 0;2r \right);h=\frac{4r}{3}\in \left( 0;2r \right)$$
Vậy V đạt giá trị lớn nhất khi $$h=\frac{4r}{3}$$.
Bài 4. SGK hình học 12 trang 99
a) Vectơ chỉ phương của đường thẳng d là $${{\overrightarrow{u}}_{d}}=\left( 3;-2;2 \right)$$
Lại có : $$\overrightarrow{AB}=\left( 6;-4;4 \right)=2{{\overrightarrow{u}}_{d}}$$ và $$A\notin d\Leftrightarrow AB//d$$.
$$\Rightarrow $$AB và d cùng nằm trong một mặt phẳng.
b) Gọi A’ là điểm đối xứng bới A qua đường thẳng d.
với mọi điểm I thuộc đường thẳng d ta luôn có : $$IA+IB=IA'+IB\ge A'B$$.
Để \[AI+BI\] nhỏ nhất $$\Leftrightarrow A',\text{ }B,\text{ }I$$ thẳng hàng $$\Leftrightarrow $$ $$I=A'B\cap d$$.
Gọi trung điểm của AB là $$N\left( 4;0;1 \right)$$
$$\Rightarrow $$IN là đường trung bình của $$\vartriangle A'AB\Leftrightarrow IN//A'A\Leftrightarrow IN\bot d$$
Ta có : $$I\in d\Leftrightarrow I\left( -1+3t;2-2t;2+2t \right)\Leftrightarrow \overrightarrow{NI}=\left( -5+3t;2-2t;1+2t \right)$$
Có $$IN\bot d\Leftrightarrow \overrightarrow{NI}.{{\overrightarrow{u}}_{d}}=0\Leftrightarrow 3\left( -5+3t \right)-2\left( 2-2t \right)+2\left( 1+2t \right)=0\Leftrightarrow t=1\Leftrightarrow I\left( 2;0;4 \right)$$
Bài 5. SGK hình học 12 trang 99
a) Xét tam giác ABC ta có $$A{{B}^{2}}+A{{C}^{2}}={{4}^{2}}+{{3}^{2}}=25;B{{C}^{2}}={{5}^{2}}=25\Leftrightarrow A{{B}^{2}}+A{{C}^{2}}=B{{C}^{2}}$$
=> tam giác ABC vuông tại A.
$${{V}_{ABCD}}=\frac{1}{6}AB.AC.AD=\frac{3.4.4}{6}=8c{{m}^{3}}$$.
b) Chọn hệ trục Oxyz sao cho $$A\equiv O\left( 0;0;0 \right)$$; B, C, D lần lượt thuộc trục Ox, Oy, Oz.
=> $$\Rightarrow B\left( 3;0;0 \right);C\left( 0;4;0 \right);D\left( 0;0;4 \right)$$
Phương trình đoạn chắn của mặt phẳng (BCD) là $$\frac{x}{3}+\frac{y}{4}+\frac{z}{4}=1\Leftrightarrow 4x+3y+3z-12=0$$.
Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (BCD) là $$d\left( A;(BCD) \right)=\frac{\left| 4.0+3.0+3.0-12 \right|}{\sqrt{{{4}^{2}}+{{3}^{2}}+{{3}^{2}}}}=\frac{12}{\sqrt{34}}$$.
Bài 6. SGK hình học 12 trang 100
a) Mặt cầu (S) có phương trình: \[{{x}^{2}}~+\text{ }{{y}^{2}}~+\text{ }{{z}^{2}}~=4{{a}^{2}}~\left( a>0 \right)\] có tâm là $$I\left( 0;0;0 \right)$$ và bán kính $$r=2a\left( a>0 \right)$$.
Diện tích mặt cầu (S) là : $$S=4\pi {{r}^{2}}=4\pi .4{{a}^{2}}=16\pi {{a}^{2}}$$
Thể tích khối cầu là : $$V=\frac{4}{3}\pi {{r}^{3}}=\frac{4}{3}\pi .8{{a}^{3}}=\frac{32}{3}\pi {{a}^{3}}$$
b) Mặt phẳng (Oxy) đi qua tâm I(0;0;0) của mặt cầu (S). Do đó tâm và bán kính của (C) lần lượt là $$I\left( 0;0;0 \right)$$ và $$R=2a\left( a>0 \right)$$.
c) Diện tích xung quanh hình trụ là $$S=2\pi Rh=2\pi .2a.a\sqrt{3}=4\sqrt{3}\pi {{a}^{2}}$$.
Thể tích khối trụ là $$V=\pi {{R}^{2}}h=\pi .4{{a}^{2}}.a\sqrt{3}=4\sqrt{3}\pi {{a}^{3}}$$.
Bài 7. SGK hình học 12 trang 100
a) Xét hệ phương trình :
$$1-t=2t';t=-1+t';-t=t'$$
Ta thấy hệ phương trình vô nghiệm.
Lại có : $$\overrightarrow{{{u}_{{{d}_{1}}}}}=\left( -1;1;-1 \right)\ne \overrightarrow{{{u}_{{{d}_{2}}}}}=\left( 2;1;1 \right)\Leftrightarrow \overrightarrow{{{u}_{d}}_{_{1}}};\overrightarrow{{{u}_{{{d}_{2}}}}}$$ không cùng phương.
$$\Rightarrow {{d}_{1}};{{d}_{2}}$$chéo nhau.
b) Mặt phẳng $$\left( \alpha \right)$$ chứa $${{d}_{1}}$$ và song song với $${{d}_{2}}$$
$$\Rightarrow \overrightarrow{{{n}_{\left( \alpha \right)}}}\bot \overrightarrow{{{u}_{{{d}_{1}}}}};\overrightarrow{{{n}_{\left( \alpha \right)}}}\bot \overrightarrow{{{u}_{{{d}_{2}}}}}\Leftrightarrow \overrightarrow{{{n}_{\left( \alpha \right)}}}=\left[ \overrightarrow{{{u}_{{{d}_{1}}}}};\overrightarrow{{{u}_{{{d}_{2}}}}} \right]=\left( 2;-1;-3 \right)$$.
Mặt phẳng $$\left( \alpha \right)$$ chứa $${{d}_{1}}\Leftrightarrow $$ Mặt phẳng $$\left( \alpha \right)$$ chứa điểm $$A\left( 1;0;0 \right)\in {{d}_{1}}$$
Phương trình mặt phẳng $$\left( \alpha \right)$$ là :
$$2\left( x-1 \right)-y-3z=0\Leftrightarrow 2x-y-3z-2=0$$.
Bài 8. SGK hình học 12 trang 100
a) Ta có : $$\overrightarrow{AB}=\left( 2;4;-1 \right);\overrightarrow{AC}=\left( 3;-1;2 \right)\Leftrightarrow \overrightarrow{n}=\left[ \overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC} \right]=\left( 7;-7;-14 \right)$$
Phương trình mặt phẳng (ABC) đi qua $$A\left( 1;0;-1 \right)$$ và nhận $$\overrightarrow{n}=\left( 7;-7;-14 \right)=\left( 1;-1;-2 \right)$$ làm vectơ pháp tuyến là :
$$\left( x-1 \right)-y-2\left( z+1 \right)=0\Leftrightarrow x-y-2z-3=0$$
Thay tọa độ của D vào phương trình mặt phẳng (ABC) ta thấy không thỏa mãn phương trình.
$$\Rightarrow $$D không thuộc mặt phẳng (ABC).
$$\Rightarrow $$A, B, C, D không đồng phẳng.
b) Khoảng cách từ D đến mặt phẳng (ABC) là : $$d\left( D,(ABC) \right)=\frac{\left| 3-0-2.3-3 \right|}{\sqrt{{{1}^{2}}+{{(-1)}^{2}}+{{(-2)}^{2}}}}=\sqrt{6}$$
c) Ta có : $$\overrightarrow{AD}=\left( 2;0;4 \right);\overrightarrow{CB}=\left( -1;5;-3 \right);\overrightarrow{CD}=\left( -1;1;2 \right);\overrightarrow{BD}=\left( 0;-4;5 \right)$$
Ta thấy : $$\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AD}=0;\overrightarrow{BC}.\overrightarrow{CD}=0\Leftrightarrow AB\bot AD;BC\bot CD$$.
$$\Rightarrow $$$$\Delta ABD$$ và $$\Delta BCD$$ vuông tại A và C.
Gọi I là trung điểm của BD $$\Leftrightarrow IA=IC=IB=ID=\frac{1}{2}BD$$$$\Leftrightarrow I\left( 3;2;\frac{1}{2} \right)\Leftrightarrow \overrightarrow{IA}=\left( -2;-2;\frac{-3}{2} \right)$$
$$\Rightarrow $$I là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD.
$$\Rightarrow $$$${{r}^{2}}=I{{A}^{2}}=\frac{41}{4}$$.
Phương trình mặt cầu là $${{\left( x-3 \right)}^{2}}+{{\left( y-2 \right)}^{2}}+{{\left( z-\frac{1}{2} \right)}^{2}}=\frac{41}{4}$$.
d) Xét$$\vartriangle ABC$$có:$$A{{B}^{2}}=21;A{{C}^{2}}=14;B{{C}^{2}}=35\Leftrightarrow A{{B}^{2}}+A{{C}^{2}}=B{{C}^{2}}\Leftrightarrow \Delta ABC$$vuông tại A.
$$\Rightarrow $$$${{S}_{ABC}}=\frac{1}{2}AB.AC=\frac{7\sqrt{6}}{2}$$.
$${{V}_{ABCD}}=\frac{1}{3}{{S}_{ABC}}.d\left( D,(ABC) \right)=\frac{1}{3}.\frac{7\sqrt{6}}{2}.\sqrt{6}=7$$.
Bài 9. SGK hình học 12 trang 100
a) Ta có : $$\overrightarrow{AB}=\left( -1;0;0 \right);\overrightarrow{AC}=\left( 0;0;4 \right);\overrightarrow{AD}=\left( 0;-2;0 \right)\Leftrightarrow \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{AD}=0$$
$$\Leftrightarrow AB,\text{ }AC,\text{ }AD$$vuông góc với nhau từng đôi một.
Ta có : $$AB=1;AC=4;AD=2$$
Vậy thể tích khối tứ diện ABCD là $$V=\frac{1}{6}AB.AC.AD=\frac{8}{6}=\frac{4}{3}$$.
b) Gọi phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD là :
$${{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}+2ax+2by+2cz+d=0$$
Thay tọa độ A, B, C, D vào ta có hệ phương trình :
$$4+16+1+4a+8b-2c+d=0$$
$$1+16+1+2a+8b-2c+d=0$$
$$4+16+9+4a+8b+6c+d=0$$
$$4+4+1+4a+4b-2c+d=0$$
$$\Leftrightarrow a=\frac{-3}{2};b=-3;c=-1;d=7$$
Vậy phương trình mặt cầu là :
$${{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-3x-6y-2z+7=0\Leftrightarrow {{\left( x-\frac{3}{2} \right)}^{2}}+{{\left( y-3 \right)}^{2}}+{{\left( z-1 \right)}^{2}}=\frac{21}{4}$$.
c) Do mặt phẳng $$\left( \alpha \right)$$ song song với mặt phẳng $$\left( ABD \right)$$ nên mặt phẳng $$\left( \alpha \right)$$nhận tích có hướng $$\overrightarrow{n}=\left[ \overrightarrow{AB};\overrightarrow{AD} \right]=\left( 0;0;2 \right)=\left( 0;0;1 \right)$$ làm vectơ pháp tuyến.
Mặt phẳng $$\left( \alpha \right)$$có dạng : $$z+D=0$$
Vì mặt phẳng (α) tiếp xúc với mặt cầu (S) nên ta có :
$$d\left( I;(\alpha ) \right)=r=\left| 1+D \right|=\frac{\sqrt{21}}{2}\Leftrightarrow D=\pm \frac{\sqrt{21}}{2}-1$$
Vậy ta tìm được hai mặt phẳng thỏa mãn bài toán là : $$z+\frac{\sqrt{21}}{2}-1=0;z-\frac{\sqrt{21}}{2}-1=0$$.
Bài 10. SGK hình học 12 trang 100
a) Vì $$A\in d\Leftrightarrow A\left( 1-2t;2+t;3-1 \right)$$
Thay tọa độ điểm A vào phương trình mặt phẳng ta được $$t=\frac{7}{4}\Leftrightarrow A\left( \frac{-10}{4};\frac{15}{4};\frac{5}{4} \right)$$.
b) Vì mặt phẳng $$\left( \beta \right)$$ vuông góc với d nên nhận vectơ chỉ phương $${{\overrightarrow{u}}_{d}}=\left( -2;1;-1 \right)$$ làm vectơ pháp tuyến.
Phương trình mặt phẳng $$\left( \beta \right)$$ là :
$$(-2).\left( x+\frac{10}{4} \right)+\left( y-\frac{15}{4} \right)-\left( z-\frac{5}{4} \right)=0\Leftrightarrow 4x-2y+2z+15=0$$.
Bài 11. SGK hình học 12 trang 101
a) Ta có : $$\overrightarrow{AB}=\left( -2;-2;2 \right);\overrightarrow{AC}=\left( 2;0;3 \right);\overrightarrow{AD}=\left( 1;1;-2 \right)$$
Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $$\left( ABC \right)$$ là : $$\overrightarrow{n}=\left[ \overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC} \right]=\left( -6;10;4 \right)=\left( -3;5;2 \right)$$
Phương trình mặt phẳng $$\left( ABC \right)$$ là :
$$(-3).\left( x+1 \right)+5\left( y-2 \right)+2z=0\Leftrightarrow -3x+5y+2z-13=0$$.
Phương trình tham số của đường thẳng AD là :
$$x=-1+t;y=2+t;z=-2t$$
b) Ta có : $$\overrightarrow{BC}=\left( 4;2;1 \right)$$
Mặt phẳng $$\left( \alpha \right)$$ chứa AD và song song với BC nên vectơ pháp tuyến của mặt phẳng là : $${{\overrightarrow{n}}_{\alpha }}=\left[ \overrightarrow{AD};\overrightarrow{BC} \right]=\left( 5;-9;-2 \right)$$
Phương trình mặt phẳng $$\left( \alpha \right)$$ là : $$5\left( x-1 \right)-9\left( y-2 \right)-2z=0\Leftrightarrow 5x-9y-2z+23=0$$.
Bài 12. SGK hình học 12 trang 101
a) Ta có : $$\overrightarrow{BC}=\left( -3;0;1 \right);\overrightarrow{BD}=\left( -4;-1;2 \right)\Leftrightarrow {{\overrightarrow{n}}_{BCD}}=\left[ \overrightarrow{BC};\overrightarrow{BD} \right]=\left( 1;2;3 \right)$$
Phương trình mặt phẳng $$\left( BCD \right)$$ là :
$$\left( x-3 \right)+2\left( y-2 \right)+3z=0\Leftrightarrow x+2y+3z-7=0$$.
Thay tọa độ của A vào phương trình mặt phẳng $$\left( BCD \right)$$ ta thấy không thỏa mãn.
Vậy ABCD là một tứ diện.
b) Mặt cầu (S) tâm A tiếp xúc với $$\left( BCD \right)$$ nên $$r=d\left( A;(BCD) \right)=\frac{\left| 3+(-2).2+3.(-2)-7 \right|}{\sqrt{{{1}^{2}}+{{2}^{2}}+{{3}^{2}}}}=\sqrt{14}$$
Phương trình mặt cầu (S) là : $${{\left( x-3 \right)}^{2}}+{{\left( y+2 \right)}^{2}}+{{\left( z+2 \right)}^{2}}=14$$.
c) Gọi tiếp điểm của (S) và mặt phẳng (BCD) là H.
$$\Rightarrow AH\bot \left( BCD \right)\Leftrightarrow {{\overrightarrow{u}}_{AH}}={{\overrightarrow{n}}_{BCD}}=\left( 1;2;3 \right)$$
Phương trình đường thẳng AH đi qua A có vtcp $${{\overrightarrow{u}}_{AH}}$$là :
$$x=3+t;y=-2+2t;z=-2+3t$$
Ta có : $$H\in AH\Leftrightarrow H\left( 3+t;-2+2t;-2+3t \right)$$
Thay tọa độ của H vào phương trình mặt phẳng $$\left( BCD \right)$$ ta được : $$t=1\Leftrightarrow H\left( 4;0;1 \right)$$.
Bài 13. SGK hình học 12 trang 101
a) Xét hệ phương trình :
$$-1+3t=t';1+2t=1+t';3-2t=-3+2t'\Leftrightarrow t=1;t'=2$$
$$\Rightarrow $$Hai đường thẳng cát nhau tại một điểm.
$$\Rightarrow $$Hai đường thẳng cùng thuộc một mặt phẳng.
b) Vectơ pháp tuyến của hai đường thẳng $${{d}_{1}};{{d}_{2}}$$ lần lượt là $${{\overrightarrow{u}}_{1}}=\left( 3;2;-2 \right);{{\overrightarrow{u}}_{2}}=\left( 1;1;2 \right)$$
Mặt phẳng $$\left( \alpha \right)$$ chứa hai đường thẳng $${{d}_{1}};{{d}_{2}}$$ó vtpt của $$\left( \alpha \right)$$ là $${{\overrightarrow{n}}_{\alpha }}=\left[ {{\overrightarrow{u}}_{1}};{{\overrightarrow{u}}_{2}} \right]=\left( 6;-8;1 \right)$$
Phương trình mặt phẳng $$\left( \alpha \right)$$ là : $$6\left( x+1 \right)-8\left( y-1 \right)+\left( z-3 \right)=0\Leftrightarrow 6x-8y+z+11=0$$.
Bài 14. SGK hình học 12 trang 101
a) Ta có :
$$\overrightarrow{GA}+2\overrightarrow{GB}-2\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0}$$
$$\Leftrightarrow \overrightarrow{GA}+2\left( \overrightarrow{GA}+\overrightarrow{AB} \right)-2\left( \overrightarrow{GA}+\overrightarrow{AC} \right)=\overrightarrow{0}$$
$$\Leftrightarrow \overrightarrow{GA}+2\overrightarrow{AB}-2\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{0}$$
$$\Leftrightarrow \overrightarrow{GA}+2\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{0}$$
$$\Leftrightarrow \overrightarrow{AG}=2\overrightarrow{CB}$$
Vậy tập hợp các điểm G thỏa mãn bài toán là $$\overrightarrow{AG}=2\overrightarrow{CB}$$.
b) Ta có : $$M{{A}^{2}}+2M{{B}^{2}}-2M{{C}^{2}}={{k}^{2}}$$
$$\Leftrightarrow {{\left( \overrightarrow{GA}-\overrightarrow{GM} \right)}^{2}}+2{{\left( \overrightarrow{GB}-\overrightarrow{GM} \right)}^{2}}-2{{\left( \overrightarrow{GC}-\overrightarrow{GM} \right)}^{2}}={{k}^{2}}$$
$$\Leftrightarrow \left( G{{A}^{2}}+2G{{B}^{2}}-2G{{C}^{2}} \right)-2\overrightarrow{GM}\left( \overrightarrow{GA}+2\overrightarrow{GB}-2\overrightarrow{GC} \right)+G{{M}^{2}}={{k}^{2}}$$
$$\Leftrightarrow G{{M}^{2}}={{k}^{2}}-\left( G{{A}^{2}}+2G{{B}^{2}}-2G{{C}^{2}} \right)$$
Ta có G cố định nên $$G{{A}^{2}}+2G{{B}^{2}}-2G{{C}^{2}}$$ và $$G{{M}^{2}}$$ không đổi.
TH1 : $${{k}^{2}}<G{{A}^{2}}+2G{{B}^{2}}-2G{{C}^{2}}\Leftrightarrow M=\left\{ \phi \right\}$$
TH2 : $${{k}^{2}}=G{{A}^{2}}+2G{{B}^{2}}-2G{{C}^{2}}\Leftrightarrow M\equiv G$$
TH3 : \[{{k}^{2}}>G{{A}^{2}}+2G{{B}^{2}}-2G{{C}^{2}}\Leftrightarrow \]tập hợp các điểm M là mặt cầu tâm G bán kính $$r=\sqrt{{{k}^{2}}-{{\left( G{{A}^{2}}+2G{{B}^{2}}-2G{{C}^{2}} \right)}^{2}}}$$
Bài 15. SGK hình học 12 trang 101
a) Ta có : $$M\left( 2;-1;1 \right)\in d;{{\overrightarrow{u}}_{d}}=\left( -1;1;-1 \right)$$ và $$M'\left( 2;0;1 \right)\in d';{{\overrightarrow{u}}_{d'}}=\left( 2;1;1 \right)$$
Ta thấy $$\left( \alpha \right)//\left( \beta \right)\Leftrightarrow $$ hai mặt phẳng có cùng vectơ pháp tuyến là $$\overrightarrow{n}=\left[ {{\overrightarrow{u}}_{d}};{{\overrightarrow{u}}_{d'}} \right]=\left( 2;-1;-3 \right)$$
Phương trình mặt phẳng $$\left( \alpha \right)$$ là : $$2\left( x-2 \right)-\left( y+1 \right)-3\left( z-1 \right)=0\Leftrightarrow 2x-y-3z-2=0$$
Phương trình mặt phẳng $$\left( \beta \right)$$ là
\[2\left( x-2 \right)-y-3\left( z-1 \right)=0\Leftrightarrow 2x-y-3z-1=0\]
b) Ta có : $$d\left( M;(\beta ) \right)=\frac{\left| 2.2-(-1)-3.1-1 \right|}{\sqrt{{{2}^{2}}+{{\left( -1 \right)}^{2}}+{{(-3)}^{2}}}}=\frac{1}{\sqrt{14}}$$
$$d\left( M';(\alpha ) \right)=\frac{\left| 2.2-0-3.1-2 \right|}{\sqrt{{{2}^{2}}+{{(-1)}^{2}}+{{(-3)}^{2}}}}=\frac{1}{\sqrt{14}}$$
$$\Leftrightarrow d\left( M;(\alpha ) \right)=d\left( M';(\beta ) \right)$$
Bài 16. SGK hình học 12 trang 102
a) Mặt phẳng $$\left( \alpha \right)$$ và mặt phẳng $$\left( \beta \right)$$ có vectơ pháp tuyến lần lượt là $${{\overrightarrow{n}}_{\alpha }}=\left( 4;1;2 \right);{{\overrightarrow{n}}_{\beta }}=\left( 2;-2;1 \right)$$
Ta thấy hai vectơ pháp tuyến trên không cùng phương
$$\Rightarrow $$Hai mặt phẳng $$\left( \alpha \right)$$ và $$\left( \beta \right)$$ cắt nhau.
b) Gọi d là giao tuyến giữa hai mặt phẳng $$\left( \alpha \right)$$ và $$\left( \beta \right)$$.
Vectơ chỉ phương $${{\overrightarrow{u}}_{d}}\bot {{\overrightarrow{n}}_{\alpha }};{{\overrightarrow{n}}_{\beta }}\Leftrightarrow {{\overrightarrow{u}}_{d}}=\left[ {{\overrightarrow{n}}_{\alpha }};{{\overrightarrow{n}}_{\beta }} \right]=\left( 5;0;-10 \right)$$
Phương trình tham số của đường thẳng d đi qua $$I\left( 0;1;-1 \right)$$ là : $$x=5t;y=1;z=-1-10t$$
c) Gọi M’ là điểm đối xứng với M qua mặt phẳng $$\left( \alpha \right)$$và MM’ cắt $$\left( \alpha \right)$$ tại H.
$$\Rightarrow $$ H là trung điểm của MM’.
Ta có phương trình tham số đường thẳng MM’ :
$$x=4+4t;y=2+t;z=1+2t$$
Lại có $$H\in MM'\Leftrightarrow H\left( 4+4t;2+t;1+2t \right)$$
Thay tọa độ củ aH vào mặt phẳng $$\left( \alpha \right)$$ ta được $$t=-1\Leftrightarrow H\left( 0;1;-1 \right)\Leftrightarrow M'\left( -4;0;-3 \right)$$
d) Gọi K là hình chiếu của N trên đường thẳng dó K là trung điểm của NN’ thuộc d$$\Leftrightarrow K\in d\Leftrightarrow K\left( t;1;-1-2t \right)\Leftrightarrow \overrightarrow{NK}=\left( t;-1;-5-2t \right)$$
Ta có : $$\overrightarrow{NK}.{{\overrightarrow{u}}_{d}}=\overrightarrow{0}\Leftrightarrow t+0+4t+10=0\Leftrightarrow t=-2\Leftrightarrow K\left( -2;1;3 \right)\Leftrightarrow N'\left( -4;0;2 \right)$$.