ÔN TẬP CHƯƠNG IV
A. LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM
- Dạng đại số: \[z=a+bi,a,b\in \mathbb{R},{{i}^{2}}=-1\] (i là đơn vị ảo) a là phần thực, b là phần ảo của z
Nếu \[a=0\Rightarrow z=bi\] được gọi là số thuần ảo
- Hai số phức bằng nhau: \(a + bi = a' + b'i \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} a = a'\\ b = b' \end{array} \right.\)
- Số phức liên hợp của số phức \[z=a+bi\] là số phức \[\overline{z}=a-bi\]
Chú ý: z là số thực \[\Leftrightarrow \] phần ảo của z bằng \[0\Leftrightarrow z=\overline{z}\]
z là số thuần ảo \[\Leftrightarrow \] phần thực của z bằng \[0\Leftrightarrow z=-\overline{z}\]
- Các phép toán về số phức: Cho hai số phức \[z=a+bi\text{ }(a,b\in \mathbb{R}),\text{ }z'=a'+b'\text{ }i\text{ }(a',b'\in \mathbb{R})\]
\[\text{z}\pm \text{z }\!\!'\!\!\text{ }=\left( \text{a}\pm \text{a }\!\!'\!\!\text{ } \right)\text{+}\left( \text{b}\pm \text{b }\!\!'\!\!\text{ } \right)\text{i}\]
\[zz'=aa'-bb'+(ab'+a'b)i\]
\[\frac{z}{z'}=\frac{\left( a+bi \right)\left( a'-b'i \right)}{\left( a'+b'i \right)\left( a'-b'i \right)}=\frac{aa'+bb'}{a{{'}^{2}}+b{{'}^{2}}}+\frac{ba'-ab'}{a{{'}^{2}}+b{{'}^{2}}}i\]
\[\left| {{z}_{1}}.{{z}_{2}} \right|=\left| {{z}_{1}} \right|.\left| {{z}_{2}} \right|;\,\,\left| \frac{{{z}_{1}}}{{{z}_{2}}} \right|=\frac{\left| {{z}_{1}} \right|}{\left| {{z}_{2}} \right|}\left( {{z}_{2}}\ne 0 \right)\]
- Căn bậc hai của số phức \[z=a+bi\] là số phức \[\text{w}=x+yi\] sao cho \({{\rm{w}}^2} = z \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {x^2} - {y^2} = a\\ 2{\rm{x}}y = b \end{array} \right.\)
B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP
Dạng 1. Xác định các yếu tố cơ bản của số phức (phần thực, phần ảo, môđun, số phức liên hợp, điểm biểu diễn)
Dạng 2. Tìm tập hợp điểm biểu diễn của số phức thỏa mãn điều kiện cho trước.
Dạng 3. Tìm số phức thỏa mãn điều kiện cho trước (điều kiện về môđun, số phức bằng nhau, số phức liên hợp,…)
Dạng 4. Thực hiện các phép tính liên quan đến số phức (cộng, trừ, nhân, chia, nâng lên lũy thừa,…)
Dạng 5. Tìm căn bậc hai của số phức
Dạng 6 Các bài toán liên quan đến giải phương trình phức (tìm nghiệm, viết biểu thức nghiệm,…)
C. GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA
Bài 1.(trang 143 SGK Giải tích 12)
Số phức \[z=a+bi\left( a;b\in \mathbb{R} \right)\] có \[a\] là phần thực, \[b\] là phần ảo.
Môđun của số phức \[z\] là độ dài của vectơ \[\overrightarrow{OM}\].
\[\left| z \right|=\left| \overrightarrow{OM} \right|\Leftrightarrow \left| a+bi \right|=\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}\]
Bài 2.(trang 143 SGK Giải tích 12)
Số phức \[z=a+0i\] có môđun là \[\left| z \right|=\sqrt{{{a}^{2}}}=\left| a \right|\] . Vậy số phức là một số thực có môđun chính là giá trị tuyệt đối của nó.
Bài 3.(trang 143 SGK Giải tích 12)
Số phức liên hợp của số phức \[z=a+bi\] là số phức \[\overline{z}=a-bi\]
Khi z là số thực \[\Leftrightarrow \] phần ảo của z bằng \[0\Leftrightarrow z=\overline{z}\]
Bài 4.(trang 143 SGK Giải tích 12)
a) Số phức \[z=x+yi\left( x;y\in \mathbb{R} \right)\] có phần thực \[x\ge 1\] .
b) Số phức \[z=x+yi\left( x;y\in \mathbb{R} \right)\] có phần ảo \[-1\le y\le 2\] .
c) Số phức \[z=x+yi\left( x;y\in \mathbb{R} \right)\] có phần thực \[-1\le x\le 1\] và \[{{x}^{2}}+{{y}^{2}}\le 4\] .
Bài 5.(trang 143 SGK Giải tích 12)
a) Gọi số phức \[z=x+yi\left( x;y\in \mathbb{R} \right)\]
Vì phần thực của \[z\] bằng \[1\] nên ta có \[x=1\] .
Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức \[z\] là đường thẳng \[x=1\] .
b) Gọi số phức \[z=x+yi\left( x;y\in \mathbb{R} \right)\]
Vì phần ảo của \[z\] bằng \[-2\] nên ta có \[y=-2\] .
Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức \[z\] là đường thẳng \[y=-2\] .
c) Gọi số phức \[z=x+yi\left( x;y\in \mathbb{R} \right)\]
Vì phần thực của \[z\] thuộc đoạn \[\left[ -1;2 \right]\] và phần ảo của \[z\] thuộc đoạn \[\left[ 0;1 \right]\] nên ta có \(\left\{ \begin{array}{l} - 1 \le x \le 2\\ 0 \le y \le 1 \end{array} \right.\)
Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức \[z\] là các điểm nằm trong hình chữ nhật giới hạn bởi các đường thẳng \[x=-1;x=2;y=0;y=1\] kể cả các điểm thuộc các cạnh của hình chữ nhật.
d) Gọi số phức \[z=x+yi\left( x;y\in \mathbb{R} \right)\]
Vì \[\left| z \right|\le 2\] nên \[\sqrt{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}\le 2\Leftrightarrow {{x}^{2}}+{{y}^{2}}\le 4\].
Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức \[z\] là hình tròn tâm \[O\left( 0;0 \right)\] , bán kính \[R=2\] .
Bài 6.(trang 143 SGK Giải tích 12)
a) Ta có : \(3x + yi = 2y + 1 + \left( {2 - x} \right)i \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 3x = 2y + 1\\ y = 2 - x \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 3x - 2y = 1\\ x + y = 2 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x = 1\\ y = 1 \end{array} \right.\)
b) Ta có : \(2x + y - 1 = \left( {x + 2y - 5} \right)i \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 2x + y - 1 = 0\\ x + 2y - 5 = 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x = - 1\\ y = 3 \end{array} \right.\)
Bài 7.(trang 143 SGK Giải tích 12)
Xét số phức \[z=x+yi\left( x;y\in \mathbb{R} \right)\] .
Ta có \[\left| z \right|=\sqrt{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}\ge \sqrt{{{x}^{2}}}=\left| x \right|\ge x\] và \[\left| z \right|=\sqrt{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}\ge \sqrt{{{y}^{2}}}=\left| y \right|\ge y\] .
Bài 8.(trang 143 SGK Giải tích 12)
a) \[\left( 3+2i \right)\left[ \left( 2-i \right)+\left( 3-2i \right) \right]=\left( 3+2i \right)\left( 5-3i \right)=15-9i+10i+6=21+i\]
b) \[\left( 4-3i \right)+\frac{1+i}{2+i}=\left( 4-3i \right)+\frac{\left( 1+i \right)\left( 2-i \right)}{4+1}=\left( 4-3i \right)+\frac{2-i+2i+1}{5}=\left( 4-3i \right)+\frac{3}{5}+\frac{1}{5}i=\frac{23}{5}-\frac{14}{5}i\]
c) \[{{\left( 1+i \right)}^{2}}-{{\left( 1-i \right)}^{2}}=\left( 1+i-1+i \right)\left( 1+i+1-i \right)=2.2i=4i\]
d) \[\frac{3+i}{2+i}-\frac{4-3i}{2-i}=\frac{\left( 3+i \right)\left( 2-i \right)-\left( 4-3i \right)\left( 2+i \right)}{\left( 2+i \right)\left( 2-i \right)}=\frac{\left( 6-3i+2i+1 \right)-\left( 8+4i-6i+3 \right)}{5}=-\frac{4}{5}+\frac{1}{5}i\]
Bài 9.(trang 144 SGK Giải tích 12)
a) \[\left( 3+4i \right)z+\left( 1-3i \right)=2+5i\]
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left( {3 + 4i} \right)z = 2 + 5i - \left( {1 - 3i} \right)\\ \Leftrightarrow \left( {3 + 4i} \right)z = 1 + 8i\\ \Leftrightarrow z = \frac{{1 + 8i}}{{3 + 4i}}\\ \Leftrightarrow z = \frac{{\left( {1 + 8i} \right)\left( {3 - 4i} \right)}}{{9 + 16}}\\ \Leftrightarrow z = \frac{7}{5} + \frac{4}{5}i \end{array}\)
b) \[\left( 4+7i \right)z-\left( 5-2i \right)=6iz\]
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left( {4 + 7i - 6i} \right)z = 5 - 2i\\ \Leftrightarrow \left( {4 + i} \right)z = 5 - 2i\\ \Leftrightarrow z = \frac{{5 - 2i}}{{4 + i}}\\ \Leftrightarrow z = \frac{{\left( {5 - 2i} \right)\left( {4 + i} \right)}}{{16 + 1}}\\ \Leftrightarrow z = \frac{{18}}{{17}} - \frac{{13}}{{17}}i \end{array}\)
Bài 10.(trang 144 SGK Giải tích 12)
a) Ta có: \[\Delta ={{7}^{2}}-4.3.8=-47=47{{i}^{2}}\]
\[\Rightarrow \] Phương trình có hai nghiệm phức phân biệt \[{{z}_{1,2}}=\frac{-7\pm i\sqrt{47}}{6}\]
b) \[{{z}^{4}}-8=0\]
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {\left( {{z^2}} \right)^2} = 8\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} {z^2} = \sqrt 8 \\ {z^2} = - \sqrt 8 = {i^2}\sqrt 8 \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} z = \pm \sqrt[4]{8}\\ z = \pm i\sqrt[4]{8} \end{array} \right. \end{array}\)
c) \[{{z}^{4}}-1=0\]
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} {z^2} = 1\\ {z^2} = - 1 = {i^2} \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} z = \pm 1\\ z = \pm i \end{array} \right. \end{array}\)
Bài 11.(trang 144 SGK Giải tích 12)
Gọi hai số phức cần tìm là \[{{z}_{1}},{{z}_{2}}\] .
Ta có \(\left\{ \begin{array}{l} {z_1} + {z_2} = 3\\ {z_1}{z_2} = 4 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {z_2} = 3 - {z_1}\\ {z_1}\left( {3 - {z_1}} \right) = 4 \end{array} \right. \Rightarrow z_1^2 - 3{z_1} + 4 = 0\)
\[\Rightarrow \Delta =9-4.4=-7=7{{i}^{2}}\]
\[\Rightarrow {{z}_{1}}=\frac{3+i\sqrt{7}}{2}\Rightarrow {{z}_{2}}=\frac{3-i\sqrt{7}}{2}\]
Bài 12.(trang 144 SGK Giải tích 12)
Giả sử \(\left\{ \begin{array}{l} {z_1} + {z_2} = a\\ {z_1}{z_2} = b \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {z_2} = a - {z_1}\\ {z_1}\left( {b - {z_1}} \right) = 4 \end{array} \right. \Rightarrow z_1^2 - a{z_1} + b = 0\)
Vì \[{{z}_{1}},{{z}_{2}}\] có vai trò như nhau nên \[{{z}_{1}},{{z}_{2}}\] là nghiệm của phương trình \[{{z}^{2}}-az+b=0\] .
Bài tập trắc nghiệm
1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
B | C | B | C | B | C |
Gợi ý Giải bài tập sách giáo khoa ôn tập chương 4 giải tích 12, toán 12 số phức lý thuyết trọng tâm giúp học sinh nắm vững kiến thức chính xác nhanh nhất do đội ngũ giáo viên ican trực tiếp biên soạn.