Bài 4. Hàm số mũ. Hàm số logarit

BÀI 4: HÀM SỐ MŨ. HÀM SỐ LOGARIT

A. LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM

1. Hàm số mũ

Định nghĩa:

Cho số thực dương \[a\] khác \[1\] . Hàm số \[y={{a}^{x}}\] được gọi là hàm số mũ cơ số \[a\] .

Đạo hàm:

• \[\left( {{e}^{x}} \right)'={{e}^{x}}\]
• \[\left( {{a}^{x}} \right)'={{a}^{x}}\ln a\]
• \[\left( {{a}^{u}} \right)'={{a}^{u}}\ln a.u'\]

Khảo sát hàm số \[y={{a}^{x}}\]

Chú ý: Đồ thị hàm số luôn đi qua điểm \[\left( 0;1 \right)\] 

2. Hàm số logarit

Định nghĩa:

Cho số thực dương \[a\] khác \[1\] . Hàm số \[y={{\log }_{a}}x\] được gọi là hàm số logarit cơ số \[a\] .

Đạo hàm:

• \[\left( {{\log }_{a}}x \right)'=\frac{1}{x\ln a}\]
• \[\left( \ln x \right)'=\frac{1}{x}\]
• \[\left( {{\log }_{a}}u \right)'=\frac{u'}{u\ln a}\]

Khảo sát hàm số \[y={{\log }_{a}}x\]

Chú ý: Đồ thị hàm số luôn đi qua điểm \[\left( 1;0 \right)\] 

Nhận xét: Đồ thị các hàm số \[y={{a}^{x}}\] và \[y={{\log }_{a}}x\left( 0 đối xứng nhau qua đường thẳng \[y=x\] .

B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP

Dạng 1. Tìm tập xác định của hàm số logarit

Cách giải:

Hàm số \[y={{\log }_{a}}f\left( x \right)\] xác định \[\Leftrightarrow f\left( x \right)>0\]

Dạng 2. Tính đạo hàm của hàm số mũ, logarit và hàm số chứa mũ, logarit

Cách giải:

Áp dụng các công thức và quy tắc tính đạo hàm

Dạng 3. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số

Cách giải:

Áp dụng sơ đồ khảo sát hàm số.

Dạng 4. Nhận dạng đồ thị hàm số mũ, logarit (đối với câu hỏi trắc nghiệm)

Cách giải:

Nhận dạng đồ thị hàm số mũ, logarit thông qua hình dáng đồ thị, chiều biến thiên, tiệm cận,…

Dạng 5. So sánh cơ số của các hàm số mũ, logarit (đối với câu hỏi trắc nghiệm)

Cách giải:

• Dựa vào hình dáng đồ thị hàm số để so sánh cơ số với các giá trị \[0;1\]
• Kẻ đường thẳng qua điểm có tọa độ \[\left( 0;1 \right)\] hoặc \[\left( 1;0 \right)\] cắt đồ thị các hàm số tại các điểm có hoành độ \[{{x}_{i}}\left( i=1;2;... \right)\] (hoặc tung độ \[{{y}_{i}}\left( i=1;2;... \right)\] ) . So sánh các hoành độ (hoặc tung độ) và rút ra kết luận.

C. GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA

Bài 1. (SGK Giải tích 12 trang 77)

a) \[y={{4}^{x}}\]

• Tập xác định: \[\mathbb{R}.\]
• Sự biến thiên.

\[y'={{4}^{x}}\ln 4>0,\forall x.\]

Giới hạn đặc biệt:

\[\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,{{4}^{x}}=0,\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,{{4}^{x}}=+\infty \]

Tiệm cận: Ox là tiệm cận ngang.

• Bảng biến thiên.

• Đồ thị

b) \[y={{\left( \frac{1}{4} \right)}^{x}}\]

• Tập xác định: \(R.\)
• Sự biến thiên.

\[y'={{\left( \frac{1}{4} \right)}^{x}}\ln \frac{1}{4}<0,\forall x.\]

Giới hạn đặc biệt:

\[\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,{{\left( \frac{1}{4} \right)}^{x}}=+\infty ,\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,{{\left( \frac{1}{4} \right)}^{x}}=0\]

Tiệm cận: Ox là tiệm cận ngang.

• Bảng biến thiên.

• Đồ thị

Bài 2. (SGK Giải tích 12 trang 77)

a) \[y'=\left( 2x{{e}^{x}} \right)'+\left( 3\sin 2x \right)'\]

\[=\left( 2x \right)'{{e}^{x}}+2x\left( {{e}^{x}} \right)'+3\left( \sin 2x \right)'\]

\[=2{{\text{e}}^{x}}+2x{{\text{e}}^{x}}+3.\left( 2x \right)'\cos 2x\]

\[=2{{\text{e}}^{x}}(\text{x}+1)+6\cos 2\text{x}\]

b) \[y'=\left( 5{{x}^{2}} \right)'-\left( {{2}^{x}}\cos x \right)'\left. =10x-\left[ \left( {{2}^{x}} \right)'+2\cos \alpha \cos x \right)' \right]\]

\[=10x-{{2}^{x}}\ln 2.\cos x+{{2}^{x}}\sin x\]

\[=10x-{{2}^{x}}\left( \ln 2.\cos x-\sin x \right)\]

c) \[y'=\frac{(x+1)'{{.3}^{x}}-(x+1)\left( {{3}^{x}} \right)'}{{{3}^{2x}}}\]

\[=\frac{{{3}^{x}}-\left( x+1 \right){{3}^{x}}\ln 3}{{{3}^{2x}}}\]

\[=\frac{{{3}^{x}}\left[ 1-\left( x+1 \right)\ln 3 \right]}{{{3}^{2x}}}=\frac{1-\left( x+1 \right)\ln 3}{{{3}^{x}}}\]

Bài 3. (SGK Giải tích 12 trang 77)

a) Ta có: \[5-2x>0\Leftrightarrow x<\frac{5}{2}\]

\[\Rightarrow \] Tập xác định của hàm số là \[D=\left( -\infty ;\frac{5}{2} \right)\]

b) Ta có: \({x^2} - 2x > 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x < 0\\ x > 2 \end{array} \right.\)

\[\Rightarrow \] Tập xác định của hàm số là \[D=\left( -\infty ;0 \right)\cup \left( 2;+\infty  \right)\]

c) Ta có: \({x^2} - 4x + 3 > 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x < 1\\ x > 3 \end{array} \right.\)

\[\Rightarrow \] Tập xác định của hàm số là \[D=\left( -\infty ;1 \right)\cup \left( 3;+\infty  \right)\]

d) Ta có: \[\frac{3x+2}{1-x}>0\Leftrightarrow -\frac{2}{3}

\[\Rightarrow \] Tập xác định của hàm số là \[D=\left( -\frac{2}{3};1 \right)\]

Bài 4. (SGK Giải tích 12 trang 78)

a) \[y=\log x\]

• Tập xác định: \[\left( 0;+\infty  \right)\]
• Sự biến thiên.

\[y'=\frac{1}{x\ln 10}>0,\forall x>0\]

Giới hạn đặc biệt:

\[\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\log x=-\infty ,\,\,\,\,\,\,\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\log x=+\infty \]

Tiệm cận:

Oy là tiệm cận đứng.

• Bảng biến thiên.

• Đồ thị

b) \[y={{\log }_{\frac{1}{2}}}x\]

• Tập xác định: \[\left( 0;+\infty  \right)\]
• Sự biến thiên.

\[y'=\frac{1}{x\ln \frac{1}{2}}<0,\forall x>0\]

Giới hạn đặc biệt:

\[\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,{{\log }_{\frac{1}{2}}}x=+\infty ,\,\,\,\,\,\,\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,{{\log }_{\frac{1}{2}}}x=-\infty \]

Tiệm cận:

Oy là tiệm cận đứng.

• Bảng biến thiên.

• Đồ thị

Bài 5. (SGK Giải tích 12 trang 78)

a) TXĐ: \[D=\left( 0;+\infty  \right)\]

Ta có: \[y'=6x-\frac{1}{x}+4\cos x\]

b) TXĐ: \(D = R\)

Ta có: \[y'=\frac{\left( {{x}^{2}}+x+1 \right)'}{\left( {{x}^{2}}+x+1 \right).\ln 10}=\frac{2x+1}{\left( {{x}^{2}}+x+1 \right).\ln 10}\]

c) TXĐ: \[D=\left( 0;+\infty  \right)\]

\[y'=\frac{\left( {{\log }_{3}}x \right)'.x-{{\log }_{3}}x}{{{x}^{2}}}=\frac{\frac{1}{x\ln 3}\cdot x-{{\log }_{3}}x}{{{x}^{2}}}=\frac{1-\ln 3.{{\log }_{3}}x}{{{x}^{2}}\ln 3}=\frac{1-\ln x}{{{x}^{2}}\ln 3}\]

Gợi ý Giải bài tập sách giáo khoa hàm số mũ và hàm số logarit, toán 12 hàm số logarit lý thuyết trọng tâm giúp học sinh nắm vững kiến thức nhanh nhất.