BÀI 2: MẶT CẦU
A. LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM
I. Mặt cầu và các khái niệm liên quan đến mặt cầu
1. Mặt cầu
Tập hợp những điểm M trong không gian cách điểm O cố định một khoảng không đổi bằng r \[\left( r>0 \right)\] được gọi là mặt cầu tâm O bán kính r.
Người ta thường kí hiệu mặt cầu tâm O bán kính r là \[S\left( O;r \right)\] hay viết tắt là (S). Như vậy ta có mặt cầu \[S\left( O;r \right)=\left\{ M\backslash OM=r \right\}\] .
- Nếu hai điểm C, D nằm trên mặt cầu \[S\left( O;r \right)\] thì đoạn thẳng CD được gọi là dây cung của mặt cầu đó.
- Dây cung AB đi qua tâm O được gọi là một đường kính của mặt cầu. Khi đó độ dài đường kính bằng 2r.
Một mặt cầu được xác định nếu biết tâm và bán kính của nó hoặc biết một đường kính của mặt cầu đó.
2. Điểm nằm trong và nằm ngoài mặt cầu. Khối cầu
Cho mặt cầu tâm O bán kính r và A là một điểm bất kì trong không gian.
- Nếu \[OA=r\] thì ta nói điểm A nằm trên mặt cầu \[S\left( O;r \right)\] .
- Nếu \[OA thì ta nói điểm A nằm trong mặt cầu \[S\left( O;r \right)\] .
- Nếu \[OA>r\] thì ta nói điểm A nằm ngoài mặt cầu \[S\left( O;r \right)\] .
Tập hợp các điểm thuộc mặt cầu \[S\left( O;r \right)\] cùng với các điểm nằm trong mặt cầu đó được gọi là khối cầu hoặc hình cầu tâm O bán kính r.
3. Biểu diễn mặt cầu
Người ta thường dùng phép chiếu vuông góc lên mặt phẳng để biểu diễn mặt cầu. Khi đó hình biểu diễn của mặt cầu là một hình tròn.
Muốn cho hình biểu diễn của mặt cầu được trực quan người ta thường vẽ thêm hình biểu diễn của một số đường tròn nằm trên mặt cầu đó.
4. Đường kinh tuyến và vĩ tuyến của mặt cầu
Ta có thể xem mặt cầu như là mặt tròn xoay được tạo nên bởi một nửa đường tròn quay quanh trục chứa đường kính của nửa đường tròn đó. Khi đó giao tuyến của mặt cầu với các nửa mặt phẳng có bờ là trục của mặt cầu được gọi là kinh tuyến của mặt cầu, giao tuyến ( nếu có) của mặt cầu với các mặt phẳng vuông góc với trục được gọi là vĩ tuyến của mặt cầu. Hai giao điểm của mặt cầu với trục được gọi là hai cực của mặt cầu.
II. Giao của mặt cầu và mặt phẳng
Cho mặt cầu \[S\left( O;r \right)\] và mặt phẳng (P). Gọi H là hình chiếu vuông góc của O lên mặt phẳng (P). Khi đó \[h=OH\] là khoảng cách từ O tới mặt phẳng (P). Ta có ba trường hợp sau:
1. Trường hợp \[h>r\]
Mặt phẳng (P) không có điểm chung với mặt cầu.
2. Trường hợp \[h=r\]
Mặt phẳng (P) tiếp xúc với mặt cầu \[S\left( O;r \right)\] tại H.
Điểm H gọi là tiếp điểm của mặt cầu \[S\left( O;r \right)\] và mặt phẳng (P), mặt phẳng (P) gọi là mặt phẳng tiếp xúc hay tiếp diện của mặt cầu. Vậy ta có:
“ Điều kiện cần và đủ để mặt phẳng (P) tiếp xúc với mặt cầu \[S\left( O;r \right)\] tại điểm H là (P) vuông góc với bán kính OH tại điểm H đó “.
3. Trường hợp \[h
Mặt phẳng cắt mặt cầu theo đường tròn tâm H, bán kính \[r'=\sqrt{{{r}^{2}}-{{h}^{2}}}\] .
Khi \[h=0\] thì tâm O của mặt cầu thuộc mặt phẳng (P). Ta có giao tuyến của mặt phẳng (P) và mặt cầu \[S\left( O;r \right)\] là đường tròn tâm O bán kính r. Đường tròn này được gọi là đường tròn lớn.
Mặt phẳng đi qua tâm O của mặt cầu gọi là mặt phẳng kính của mặt cầu đó.
III. Giao của mặt cầu với đường thẳng. Tiếp tuyến của mặt cầu
Cho mặt cầu \[S\left( O;r \right)\] và đường thẳng \[\Delta \] .
Gọi H là hình chiếu vuông góc của tâm O trên \[\Delta \] và \[d=OH\] là khoảng cách từ O tới \[\Delta \] .
Tương tự như trong trường hợp mặt cầu và mặt phẳng, ta có ba trường hợp sau đây:
1. Nếu \[d>r\] thì \[\Delta \] không cắt mặt cầu \[S\left( O;r \right)\] .
2. Nếu \[d=r\] thì điểm H thuộc mặt cầu \[S\left( O;r \right)\] . Khi đó ta nói đường thẳng \[\Delta \] tiếp xúc với mặt cầu \[S\left( O;r \right)\] tại H. Điểm H gọi là điểm tiếp xúc (hoặc tiếp điểm) của \[\Delta \] và mặt cầu. Đường thẳng \[\Delta \] gọi là tiếp tuyến của mặt cầu. Vậy ta có:
“ Điều kiện cần và đủ để đường thẳng \[\Delta \] tiếp xúc với mặt cầu \[S\left( O;r \right)\] tại điểm H là \[\Delta \] vuông góc với bán kính OH tại điểm H đó “.
3. Nếu \[d thì \[\Delta \] cắt mặt cầu \[S\left( O;r \right)\] tại hai điểm M, N phân biệt. Hai điểm đó chính là giao điểm của đường thẳng \[\Delta \] với đường tròn giao tuyến của mặt cầu \[S\left( O;r \right)\] và mặt phẳng \[\left( O,\Delta \right)\] .
Đặc biệt khi \[d=0\] thì đường thẳng \[\Delta \] đi qua tâm O và cắt mặt cầu tại hai điểm A, B. Khi đó AB là đường kính của mặt cầu.
Nhận xét. Người ta chứng minh được rằng:
a) Qua một điểm A nằm trên mặt cầu \[S\left( O;r \right)\] có vô số tiếp tuyến của mặt cầu đó. Tất cả các tiếp tuyến này đều vuông góc với bán kính OA của mặt cầu tại A và đều nằm trên mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu tại điểm A đó.
b) Qua một điểm A nằm ngoài mặt cầu \[S\left( O;r \right)\] có vô số tiếp tuyến với mặt cầu đã cho. Các tiếp tuyến này tạo thành một mặt nón đỉnh A. Khi đó độ dài các đoạn thẳng kẻ từ A đến các tiếp điểm đều bằng nhau.
Chú ý:
Người ta nói mặt cầu nội tiếp hình đa diện nếu mặt cầu đó tiếp xúc với tất cả các mặt của hình đa diện, còn nói mặt cầu ngoại tiếp hình đa diện nếu tất cả các đỉnh của hình đa diện đều nằm trên mặt cầu.
Khi mặt cầu nội tiếp ( ngoại tiếp) hình đa diện, người ta cũng nói hình đa diện ngoại tiếp ( nội tiếp) mặt cầu.
IV. Công thức tính diện tích mặt cầu và thể tích khối cầu
- Mặt cầu bán kính r có diện tích là: \[S=4\pi {{r}^{2}}\]
- Khối cầu bán kính r có thể tích là: \[V=\frac{4}{3}\pi {{r}^{3}}\]
Chú ý:
- Diện tích S của mặt cầu bán kính r bằng bốn lần diện tích hình tròn lớn của mặt cầu đó.
- Thể tích V của khối cầu bán kính r bằng thể tích khối chóp có diện tích đáy bằng diện tích mặt cầu và có chiều cao bằng bán kính của khối cầu đó.
B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP
Dạng 1. Xác định mặt cầu bằng các yếu tố đề bài
Cách giải:
Xác định tâm và bán kính của mặt cầu:
- Tập hợp những điểm M trong không gian cách điểm O cố định một khoảng không đổi bằng r \[\left( r>0 \right)\] được gọi là mặt cầu tâm O bán kính r.
- Tập hợp những điểm M nhìn đoạn thẳng AB cố định dưới một góc vuông là mặt cầu có đường kính AB.
- Tập hợp những điểm M sao cho tổng bình phương các khoảng cách tới hai điểm A và B cố định bằng một hằng số là mặt cầu có tâm là trung điểm O của đoạn thẳng AB và có bán kính bằng \[r=\frac{1}{2}\sqrt{2{{k}^{2}}-A{{B}^{2}}}\] .
- Mặt cầu là mặt tròn xoay được tạo nên bởi một nửa đường tròn quay quanh trục chứa đường kính của nửa đường tròn đó.
Dạng 2. Tính diện tích mặt cầu và thể tích khối cầu
Cách giải:
Áp dụng các công thức tính diện tích và thể tích của mặt cầu:
- Mặt cầu bán kính r có diện tích là: \[S=4\pi {{r}^{2}}\]
- Khối cầu bán kính r có thể tích là: \[V=\frac{4}{3}\pi {{r}^{3}}\]
Dạng 3. Xác định mặt cầu ngoại tiếp hình chóp
Cách giải:
- Mặt cầu ngoại tiếp khối chóp:
+ Xác định trục của đường tròn ngoại tiếp đáy chóp.
+ Xác định mặt phẳng trung trực của một cạnh bên.
+ Tâm mặt cầu ngoại tiếp chính là giao của trục và mặt phẳng đã xác định ở trên.
Dạng 4. Xác định mặt cầu nội tiếp, ngoại tiếp hình lăng trụ, hình hộp chữ nhật, hình lập phương
Cách giải:
- Mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ (lăng trụ đứng, đáy phải nội tiếp được đường tròn):
+ Xác định tâm đường tròn ngoại tiếp hai đáy: Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác là giao điểm ba đường trung trực của ba cạnh trong tam giác.
+ Trung điểm của đoạn thẳng nối tâm đường tròn ngoại tiếp hai đáy của hình lăng trụ chính là tâm mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ.
- Mặt cầu ngoại tiếp hình hộp chữ nhật, hình lập phương: Tâm mặt cầu là trung điểm của một đường chéo của hình hộp đó.
- Mặt cầu nội tiếp lăng trụ có đáy là tam giác đều: Tâm mặt cầu là trung điểm của đoạn thẳng nối hai tâm đường tròn ngoại tiếp của hai đáy.
- Mặt cầu nội tiếp hình lập phương: Tâm mặt cầu nội tiếp trùng với tâm mặt cầu ngoại tiếp hình lập phương.
C. GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA
Bài 1. (SGK Hình học 12 trang 49)
Gọi O là trung điểm của AB
Xét \[\Delta ABM\] vuông tại M có đường trung tuyến OM
\[\Rightarrow OM=OA=OB=\frac{1}{2}AB\]
\[\Rightarrow \] M thuộc mặt cầu tâm O, bán kính \[r=\frac{AB}{2}\]
Xét \[\left( O;\frac{AB}{2} \right)\] , O là trung điểm của AB
\[\Rightarrow OA=OB=\frac{1}{2}AB\left( 1 \right)\]
Lấy điểm M bất kì thuộc \[\left( O;\frac{AB}{2} \right)\]
\[\Rightarrow OM=\frac{1}{2}AB\left( 2 \right)\]
Từ (1) và (2) \[\Rightarrow OM=OA=OB=\frac{1}{2}AB\]
\[\Rightarrow \] \[\Delta ABM\] vuông tại M
\[\Rightarrow \] Tập hợp các điểm M trong không gian luôn luôn nhìn đoạn thẳng AB cố định dưới một góc vuông là mặt cầu \[\left( O;\frac{AB}{2} \right)\] .
Bài 2. (SGK Hình học 12 trang 49)
Ta có hình chóp tứ giác đều S.ABCD có tất cả các cạnh đều bằng a
\[\Rightarrow \] ABCD là hình vuông cạnh a và \[SA=SB=SC=SD=a\]
Gọi O là hình chiếu vuông góc của S trên (ABCD)
\[\Rightarrow \] O là tâm hình vuông ABCD
\[\Rightarrow OA=OB=OC=OD=\frac{1}{2}AC=\frac{a\sqrt{2}}{2}\]
\(\begin{array}{l} \Rightarrow SO = \sqrt {S{A^2} - O{A^2}} = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\\ \Rightarrow OA = OB = OC = OD = OS \end{array}\)
\[\Rightarrow \] O là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD có bán kính là \[r=\frac{a\sqrt{2}}{2}\]
Bài 3. (SGK Hình học 12 trang 49)
Gọi (C) là mặt cầu cố định cho trước
Gọi I là tâm của mặt cầu chứa đường tròn (C) cố định cho trước.
\[\Rightarrow \] I cách đều tất cả các điểm M thuộc đường tròn (C)
\[\Rightarrow \] I nằm trên đường thẳng đi qua tâm của đường tròn (C) và vuông góc với mặt phẳng chứa (C).
Bài 4. (SGK Hình học 12 trang 49)
Xét mặt cầu (S) tâm J, bán kính r và tiếp xúc các cạnh AB, BC, AC lần lượt tại M, N, P
Gọi I là hình chiếu vuông góc của J xuống \[\left( ABC \right)\Rightarrow IJ\bot \left( ABC \right)\]
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l} AB \bot MJ\\ AB \bot IJ \end{array} \right. \Rightarrow AB \bot IM\) (định lí 3 đường vuông góc )
Chứng minh tương tự: \[BC\bot IN;AC\bot IP\] (1)
Xét \[\Delta JIM,\Delta JIN,\Delta JIP\]có:
\[\widehat{MIJ}=\widehat{NIJ}=\widehat{PIJ}={{90}^{0}}\]
Cạnh chung IJ
\[NJ=MJ=PJ=r\]
\[\Rightarrow \Delta JIM=\Delta JIN=\Delta JIP\] ( cạnh huyền-cạnh góc vuông)
\[\Rightarrow IN=IM=IP\] (2)
Từ (1) và (2) \[\Rightarrow \] I là tâm đường tròn nội tiếp \[\Delta ABC\]
\[\Rightarrow \] J thuộc trục đường tròn nội tiếp \[\Delta ABC\]
Đường tròn nội tiếp \[\Delta ABC\] tiếp xúc với ba cạnh AB, BC, AC lần lượt tại M, N, P
Ta có: \[AB\bot IM;BC\bot IN;AC\bot IP\] (1)
Lại có: \[IM=IN=IP=r\]
\(\begin{array}{l} \Rightarrow \Delta JIM = \Delta JIN = \Delta JIP\left( {c - g - c} \right)\\ \Rightarrow JM = JN = JP\left( 2 \right) \end{array}\)
Từ (1) và (2) \[\Rightarrow \left( S \right)\] tiếp xúc với ba cạnh của \[\Delta ABC\]
\[\Rightarrow \] Tập hợp tâm những mặt cầu luôn tiếp xúc cùng với ba cạnh của tam giác cho trước là trục đường tròn nội tiếp của tam giác đó.
Bài 5. (SGK Hình học 12 trang 49)
a) Gọi mặt phẳng (P) chứa các điểm M, A, B, C, D và cắt mặt cầu \[S\left( O;r \right)\] theo giao tuyến là đường tròn (C), đường tròn (C) ngoại tiếp tứ giác ABCD
Xét \[\Delta MAC\]và \[\Delta MDB\]có:
\[\widehat{C}=\widehat{B}\] ( cùng chắn \[\overset\frown{AD}\] ) ; góc \[\widehat{M}\] chung
\(\begin{array}{l} \Rightarrow \Delta MAC = \Delta MDB\\ \Rightarrow \frac{{AM}}{{DM}} = \frac{{CM}}{{BM}} \end{array}\)
\[\Rightarrow MA.MB=MC.MD\] ( điều phải chứng minh)
b) Giả sử đường thẳng MO cắt mặt cầu tại hai điểm P và Q
Theo câu a) ta có: \[MA.MB=MP.MQ\]
Mà \[MP.MQ=\left( MOOP \right)\left( MO+OQ \right)=\left( dr \right)\left( d+r \right)={{d}^{2}}{{r}^{2}}\]
\[\Rightarrow MA.MB={{d}^{2}}{{r}^{2}}\]
Bài 6. (SGK Hình học 12 trang 49)
Do mặt cầu\[S\left( O;r \right)\]tiếp xúc với (P) tại I \[\Rightarrow OI\bot \left( P \right)\Rightarrow OI\bot AI\]
\[\Rightarrow \] AI là tiếp tuyến của mặt cầu tại I
Ta có: AM và AI là hai tiếp tuyến cắt nhau tại A của mặt cầu
\[\Rightarrow AM=AI\] ( tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)
Chứng minh tương tự: \[BM=BI\]
Xét \[\Delta AMB\] và \[\Delta AIB\] có: \[AM=AI;BM=BI\]; cạnh chung AB
\[\Rightarrow \Delta AMB\text{ }=\Delta AIB\left( c.c.c \right)\]
\[\Rightarrow \widehat{AMB}=\widehat{AIB}\] (điều phải chứng minh)
Bài 7. (SGK Hình học 12 trang 49)
a) Gọi O là tâm hình hộp chữ nhật
\[\Rightarrow OA=OB=OC=OD=OA'=OB'=OC'=OD'=\frac{1}{2}AC'=\frac{1}{2}\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}\]
\[\Rightarrow \] Mặt cầu đi qua 8 đỉnh của hình hộp chữ nhật có tâm O và bán kính \[r=\frac{1}{2}\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}\]
b) Giao tuyến của mặt phẳng (ABCD) và mặt cầu \[\left( O;r \right)\] là đường tròn ngoại tiếp hình chữ nhật ABCD có bán kính là: \[r'=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}\sqrt{{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}\] .
Bài 8. (SGK Hình học 12 trang 49)
Gọi M, N, P, Q ,R, S lần lượt là các tiếp điểm giữa mặt cầu \[S\left( O;r \right)\]và các cạnh của hình tứ diện
Do mặt cầu tiếp xúc với ba cạnh AB, AC và AD lần lượt tại M, R và Q
\[\Rightarrow AB\bot OM;AC\bot OR;AD\bot OQ\]
Xét \[\Delta OAM,\Delta OAR,\Delta OAQ\] có:
\[\widehat{OMA}=\widehat{ORA}=\widehat{OQA}={{90}^{0}}\]
Cạnh chung OA
\[OM=OR=OQ=r\]
\[\Rightarrow \Delta OAM=\Delta OAR=\Delta OAQ\] ( cạnh huyền-cạnh góc vuông)
\[\Rightarrow AM=AR=AQ=a\]
Chứng minh tương tự:
\(\begin{array}{l} \Rightarrow \Delta MAC = \Delta MDB\\ \Rightarrow \frac{{AM}}{{DM}} = \frac{{CM}}{{BM}} \end{array}\)
Ta có:
\(\begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} AM = AR = AQ = a\\ \begin{array}{*{20}{l}} {BM = BN = BS = b}\\ {CP = CN = CR = c}\\ {DP = DQ = DS = d} \end{array} \end{array} \right.\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} AB + CD = \left( {AM + BM} \right) + \left( {CP + DP} \right) = a + b + c + d\\ AC + BD = \left( {AR + CR} \right) + \left( {SB + SD} \right) = a + b + c + d\\ AD + BC = \left( {AQ + DQ} \right) + \left( {BN + CN} \right) = a + b + c + d \end{array} \right. \end{array}\)
\[\Rightarrow AB+CD=AC+BD=AD+BC\] (điều phải chứng minh)
Bài 9. (SGK Hình học 12 trang 49)
Gọi (P) là mặt phẳng qua A và vuông góc với đường thẳng a tại H
\[\Rightarrow \] (P) và H cố định
Ta có: (P) cắt mặt cầu \[S\left( O;r \right)\]theo đường tròn tâm H bán kính AH không đổi
\[\Rightarrow \] Các mặt cầu tâm O bán kính \[r=OA\] luôn đi qua đường tròn cố định tâm H bán kính AH ( điều phải chứng minh)
Bài 10. (SGK Hình học 12 trang 49)
Gọi M là trung điểm của AB
Xét \[\Delta SAB\] vuông tại S có trung tuyến SM
\[\Rightarrow SM=AM=BM=\frac{AB}{2}\] ( tính chất đường trung tuyến trong tam giác vuông)
\[\Rightarrow \] M là tâm đường tròn ngoại tiếp \[\Delta SAB\]
Dựng đường thẳng \[\Delta \] qua M và vuông góc với \[\left( SAB \right)\]
Ta có: \[\Delta //SC\] ; \[\Delta \] là trục đường tròn ngoại tiếp \[\Delta SAB\]
Dựng đường trung trực của SC cắt \[\Delta \] tại I
\(\begin{array}{l} \Rightarrow SI = IC;SI = IB = IA\\ \Rightarrow SI = IA = IB = IC \end{array}\)
\[\Rightarrow \] I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC
Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp là:
\[r=SI=\sqrt{I{{M}^{2}}+S{{M}^{2}}}=\sqrt{{{\left( \frac{SC}{2} \right)}^{2}}+{{\left( \frac{AB}{2} \right)}^{2}}}=\sqrt{{{\left( \frac{c}{2} \right)}^{2}}+{{\left( \frac{\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}}{2} \right)}^{2}}}=\sqrt{\frac{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}{4}}=\frac{1}{2}\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}\] Diện tích mặt cầu là: \[S=4\pi {{r}^{2}}=4\pi .\frac{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}{4}=\pi .\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}} \right)\]
Thể tích khối cầu là: \[V=\frac{4}{3}\pi {{r}^{3}}=\frac{4}{3}\pi .\frac{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}{4}.\frac{\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}}{2}=\frac{\pi .{{\left( \sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}} \right)}^{3}}}{6}\]
Gợi ý Giải bài tập sách giáo khoa bài tập mặt cầu, toán 12 mặt cầu lý thuyết trọng tâm giúp học sinh nắm vững kiến thức chính xác nhanh nhất.