BÀI 1: KHÁI NIỆM KHỐI TRÒN XOAY
A. LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM
I. Sự tạo thành mặt tròn xoay
Trong không gian cho mặt phẳng \[\left( P \right)\] chứa đường thẳng \[\Delta \] và một đường C. Khi quay mặt phẳng \[\left( P \right)\] quanh \[\Delta \] một góc \[{{360}^{0}}\] thì mỗi điểm M trên đường C vạch ra một đường tròn có tâm O thuộc \[\Delta \] và nằm trên mặt phẳng vuông góc với \[\Delta \] . Như vậy khi quay mặt phẳng \[\left( P \right)\] quanh đường thẳng \[\Delta \] thì đường C sẽ tạo nên một hình được gọi là mặt tròn xoay.
Đường C được gọi là đường sinh của mặt tròn xoay đó. Đường thẳng \[\Delta \] được gọi là trục của mặt tròn xoay.
II. Mặt nón tròn xoay
1. Định nghĩa
Trong mặt phẳng \[\left( P \right)\] cho hai đường thẳng d và \[\Delta \] cắt nhau tại điểm O và tạo thành góc \[\beta \left( {{0}^{0}}<\beta <{{90}^{0}} \right)\] . Khi quay mặt phẳng \[\left( P \right)\] xung quanh \[\Delta \] thì đường thẳng d sinh ra một mặt tròn xoay được gọi là mặt nón tròn xoay đỉnh O. Người ta thường gọi tắt mặt nón tròn xoay là mặt nón. Đường thẳng \[\Delta \] gọi là trục, đường thẳng d gọi là đường sinh và góc \[2\beta \] gọi là góc ở đỉnh mặt nón đó.
2. Hình nón tròn xoay và khối nón tròn xoay
a) Cho \[\Delta OIM\] vuông tại I. Khi quay tam giác đó xung quanh cạnh góc vuông OI thì đường gấp khúc OMI tạo thành một hình được gọi là hình nón tròn xoay, gọi tắt là hình nón.
Hình tròn tâm I sinh bởi các điểm thuộc cạnh IM khi IM quay quanh trục OI đucợ gọi là mặt đáy của hình nón, điểm O gọi là đỉnh của hình nón. Độ dài đoạn OI gọi là chiều cao của hình nón, đó cũng là khoảng cách từ O đến mặt phẳng đáy. Độ dài đoạn OM được gọi là độ dài đường sinh của hình nón. Phần mặt tròn xoay được sinh ra bởi các điểm trên cạnh OM khi quay quanh trục OI gọi là mặt xung quanh của hình nón đó.
b) Khối nón tròn xoay là phần không gian được giới hạn bởi một hình nón tròn xoay kể cả hình nón đó. Người ta còn gọi tắt khối nón tròn xoay là khối nón. Những điểm không thuộc khối nón được gọi là những điểm ngoài của khối nón. Những điểm thuộc khối nón nhưng không thuộc hình nón ứng với khối nón ấy được gọi là những điểm trong của khối nón. Ta gọi đỉnh, mặt đáy, đường sinh của một hình nón theo thứ tự là đỉnh, mặt đáy, đường sinh của khối nón tương ứng.
3. Diện tích xung quanh của hình nón tròn xoay
a) Diện tích xung quanh của hình nón tròn xoay là giới hạn của diện tích xung quanh của hình chóp đều nội tiếp nội tiếp hình nón đó khi số cạnh đáy tăng lên vô hạn.
b) Công thức tính diện tích xung quanh của hình nón
Gọi p là chu vi đáy của hình chóp đều nội tiếp hình nón và q là khoảng cách từ đỉnh O tới một cạnh đáy của hình chóp đều đó thì diện tích xung quanh của hình chóp đều là \[{{S}_{xq}}=\frac{1}{2}pq\] .
Khi cho số cạnh đáy của hình chóp đều tăng lên vô hạn thì p có giới hạn là độ dài đường tròn đáy bán kính r của hình nón, q có giới hạn là độ dài đường sinh l của hình nón. Khi đó ta tính được diện tích xung quanh của hình nón theo công thức:
\[{{S}_{xq}}=\pi rl\] .
Vậy diện tích xung quanh của hình nón tròn xoay bằng một nửa tích của độ dài đường tròn đáy và độ dài dường sinh.
Người ta gọi tổng diện tích xung quanh và diện tích đáy là diện tích toàn phần của hình nón.
Chú ý:
Diện tích xung quanh, diện tích toàn phần của hình nón tròn xoay cũng là diện tích xung quanh, diện tích toàn phần của khối nón dược giới hạn bởi hình nón đó.
4. Thể tích khối nón tròn xoay
a) Định nghĩa:
Thể tích của khối nón tròn xoay là giới hạn của thể tích khối chóp đều nội tiếp khối nón đó khi số cạnh đáy tăng lên vô hạn.
b) Công thức tính thể tích khối nón tròn xoay
Gọi V là thể tích của khối nón tròn xoay có diện tích đáy B và chiều cao h, ta có công thức:
\[V=\frac{1}{3}Bh\]
Như vậy, nếu bán kính đáy bằng r thì \[B=\pi {{r}^{2}}\] , khi đó: \[V=\frac{1}{3}\pi {{r}^{2}}h\]
III. Mặt trụ tròn xoay
1. Định nghĩa
Trong mặt phẳng (P) cho hai đường thẳng \[\Delta \] và l song song với nhau, cách nhau một khoảng bằng r. Khi quay mặt phẳng (P) xung quanh \[\Delta \] thì đường thẳng l sinh ra một mặt tròn xoay được gọi là mặt trụ tròn xoay. Người ta thường gọi tắt mặt trụ tròn xoay là mặt trụ. Đường thẳng \[\Delta \] gọi là trục, đường thẳng l là đường sinh và r là bán kính của mặt trụ đó.
2. Hình trụ tròn xoay và khối trụ tròn xoay
a) Xét hình chữ nhật ABCD. Khi quay quanh AB, hai AD và BC sẽ vạch ra hai hình tròn bằng nhau gọi là hai đáy của hình trụ. Độ dài đoạn CD gọi là độ dài đường sinh của hình trụ, phần mặt tròn xoay được sinh ra bởi các điểm trên cạnh CD khi quay quanh AB gọi là mặt xung quanh của hình trụ. Khoảng cách AB giữa hai mặt phẳng song song chứa hai đáy là chiều cao củ hình trụ.
b) Khối trụ tròn xoay là phần không gian được giới hạn bởi một hình trụ tròn xoay kể cả hình trụ đó. Khối trụ tròn xoay còn được gọi tắt là khối trụ. Những điểm không thuộc khối trụ được gọi là những điểm ngoài của khối trụ. Những điểm thuộc khối trụ nhưng không thuộc hình trụ gọi là những điểm trong của khối trụ. Ta gọi mặt đáy, chiều cao, đường sinh, bán kính của một hình trụ theo thứ tự là mặt đáy, chiều cao, đường sinh, bán kính của khối trụ tương ứng.
3. Diện tích xung quanh của hình trụ tròn xoay
a) Định nghĩa
Diện tích xung quanh của hình trụ tròn xoay là giới hạn của diện tích xung quanh của hình lăng trụ đều nội tiếp hình trụ đó khi số cạnh đáy tăng lên vô hạn.
b) Công thức tính diện tích xung quanh của hình trụ
Gọi p là chu vi hình tròn đáy bán kính r của hình trụ, chiều cao h bằng độ dài đường sinh l của hình trụ thì diện tích xung quanh của hình trụ là:
\[{{S}_{xq}}=2\pi rl\]
Vậy diện tích xung quanh của hình trụ tròn xoay bằng tích của độ dài đường tròn đáy và độ dài đường sinh.
Người ta gọi tổng diện tích xung quanh và diện tích của hai đáy là diện tích toàn phần của hình trụ.
Chú ý:
Diện tích xung quanh, diện tích toàn phần của hình trụ tròn xoay cũng chính là diện tích xung quanh, diện tích toàn phần của khối trụ được giới hạn bởi hình trụ đó.
4. Thể tích khối trụ tròn xoay
a) Định nghĩa:
Thể tích của khối trụ tròn xoay là giới hạn của thể tích khối lăng trụ đều nội tiếp khối trụ đó khi số cạnh đáy tăng lên vô hạn.
b) Công thức tính thể tích khối trụ tròn xoay
Gọi V là thể tích khối trụ tròn xoay có diện tích đáy là B và chiều cao h, ta có công thức:
\[V=Bh\]
Như vậy, nếu bán kính đáy bằng r thì \[B=\pi {{r}^{2}}\] , khi đó: \[V=\pi {{r}^{2h}}\] .
B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP
Dạng 1. Chứng minh một đường thẳng luôn thuộc một mặt nón hoặc mặt trụ tròn xoay đã xác định
Cách giải:
Sử dụng các tính chất của đường thẳng đó trong các giả thiết của bài toán để kết luận đường thẳng đó có thể thuộc mặt nón tròn xoay hay thuộc mặt trụ tròn xoay.
Dạng 2. Tìm thiết diện giữa mặt phẳng và khối nón. Tính diện tích xung quanh và thể tích khối nón.
Cách giải:
- Sử dụng các giả thiết và tính chất của thiết diện giữa mặt phẳng và khối nón để tìm các thông số liên quan đến thiết diện, diện tích xung quanh và thể tích của khối nón.
- Sau đó sử dụng các công thức tính diện tích trong hình học phẳng và tìm độ dài các đoạn thẳng dựa vào các hệ thức lượng trong tam giác.
Dạng 3. Tìm thiết diện giữa mặt phẳng và khối trụ. Tính diện tích xung quanh và thể tích khối trụ.
Cách giải:
- Sử dụng các giả thiết và tính chất của thiết diện giữa mặt phẳng và khối trụ để tìm các thông số liên quan đến thiết diện, diện tích xung quanh và thể tích của khối trụ.
- Sau đó sử dụng các công thức tính diện tích trong hình học phẳng và tìm độ dài các đoạn thẳng dựa vào các hệ thức lượng trong tam giác.
C. GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA
Bài 1. (SGK Hình học 12 trang 39)
Dựng đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (P) tại tâm O của đường tròn đã cho
Dựng đường thẳng Δ qua M thuộc đường tròn tâm O vuông góc với mặt phẳng (P)
\[\Rightarrow \Delta //d\] và \[d\left( \Delta ,d \right)=r\]
\[\Rightarrow \] Δ thuộc mặt trụ tròn xoay có trục là đường thẳng d và bán kính bằng r ( điều phải chứng minh)
Bài 2. (SGK Hình học 12 trang 39)
Hình tạo ra bởi:
a) Ba cạnh của hình chữ nhật khi quay quanh đường thẳng chứa cạnh thứ tư là hình trụ.
b) Ba cạnh của một tam giác cân khi quay quanh trục đối xứng của nó là hình nón tròn xoay.
c) Một tam giác vuông kể cả các điểm trong của tam giác vuông đó khi quay quanh đường thẳng chứa một cạnh góc vuông là khối nón tròn xoay.
d) Một hình chữ nhật kể cả các điểm trong của hình chữ nhật đó khi quay quanh đường thẳng chứa một cạnh là khối trụ tròn xoay.
Bài 3. (SGK Hình học 12 trang 39)
a) Độ dài đường sinh của hình nón là: \[l=\sqrt{{{r}^{2}}+{{h}^{2}}}=\sqrt{{{25}^{2}}+{{20}^{2}}}=\sqrt{1025}\left( cm \right)\]
Diện tích xung quanh hình nón là: \[S=\pi rl=\pi .25.\sqrt{1025}\approx 800,39\pi \left( c{{m}^{2}} \right)\]
b) Thể tích khối nón là: \[V=\frac{1}{3}\pi {{r}^{2}}h=\frac{1}{3}\pi {{.25}^{2}}.20=\frac{12500\pi }{3}\left( c{{m}^{3}} \right)\]
c) Gọi S và H lần lượt là đỉnh và tâm đường tròn đáy của hình nón
Thiết diện đi qua đỉnh S là \[\Delta SAC\] ( A và C thuộc đường tròn đáy)
Gọi M là trung điểm của AC
Ta có: \[AC\bot MH;AC\bot SH\]
\[\Rightarrow AC\bot \left( SMH \right)\]
Kẻ \[IH\bot SM\]
\[\Rightarrow IH\bot \left( SAC \right)\]
\[\Rightarrow d\left( \text{ }H,\left( SAC \right) \right)=IH=12\]
Xét \[\Delta SMH\] vuông tại H có:
\[\frac{1}{I{{H}^{2}}}=\frac{1}{S{{H}^{2}}}+\frac{1}{M{{H}^{2}}}\] ( tính chất của đường cao trong tam giác vuông)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow \frac{1}{{M{H^2}}} = \frac{1}{{I{H^2}}} - \frac{1}{{S{H^2}}} = \frac{1}{{{{12}^2}}} - \frac{1}{{{{20}^2}}} = \frac{1}{{225}}\\ \Rightarrow MH = 15 \end{array}\)
Xét \[\Delta AMH\] vuông tại M có: \[A{{M}^{2}}=A{{H}^{2}}M{{H}^{2}}={{25}^{2}}{{15}^{2}}=400\]
\[\Rightarrow am=20\]
Ta có: \[\sin \widehat{MSH}=\frac{MH}{SM}=\frac{IH}{SH}\]
\[\Rightarrow SM=\frac{MH.SH}{IH}=\frac{15.20}{12}=25\]
\[\Rightarrow {{S}_{SAC}}=\frac{1}{2}AC.SM=AM.SM=20.25=500\left( c{{m}^{2}} \right)\]
Bài 4.. (SGK Hình học 12 trang 39)
Dựng đường thẳng qua B vuông góc với d và cắt d tại H
\[\Rightarrow d\left( B,d \right)=BH=10\left( cm \right)\]
Đặt \[\widehat{BAH}=\alpha \Rightarrow \sin \alpha =\frac{BH}{AB}=\frac{10}{20}=\frac{1}{2}\Rightarrow \alpha ={{30}^{0}}\]
\[\Rightarrow \] Đường thẳng d nằm trên mặt nón đỉnh là A, trục là đường thẳng AB và góc ở đỉnh bằng \[2\alpha ={{60}^{o}}\].
Bài 5. (SGK Hình học 12 trang 39)
a) Ta có: \[l=h=7\left( cm \right);r=5\left( cm \right)\]
Diện tích xung quanh hình trụ là: \[{{S}_{xq}}~=2\pi rl=2\pi .5.7=70\pi \left( c{{m}^{2}} \right)\]
Thể tích của khối trụ là: \[V=\pi {{r}^{2}}h=\pi {{.5}^{2}}.7=175\pi \left( c{{m}^{3}} \right)\]
b. Mặt phẳng song song với trục và cách trục 3cm cắt hình trụ theo thiết diện là tứ giác ABB’A’.
Gọi H là trung điểm của AB
Ta có: \[OH\bot AB;OH\bot AA'\]
\[\Rightarrow OH\bot \left( ABB'A' \right)\]
\[\Rightarrow OH=d\left( O,\left( ABB'A' \right) \right)\left( 1 \right)\]
Lại có: \[OO//(ABB'A')~\left( 2 \right)\]
Từ (1) và (2) \[\Rightarrow OH=d\left( O,\left( ABB'A' \right) \right)=d\left( OO',\left( ABB'A' \right) \right)=3\left( cm \right)\]
Xét \[\Delta OAH\] vuông tại H có: \[A{{H}^{2}}~=O{{A}^{2}}-O{{H}^{2}}~={{5}^{2}}-{{3}^{2}}~=16\] ( định lí Pi-ta-go)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow AH = 4\left( {cm} \right)\\ \Rightarrow AB = 2AH = 8\left( {cm} \right)\\ \Rightarrow {S_{ABB'A'}} = AB.{\rm{ }}A{A_1}\; = 8.7 = 56\left( {c{m^2}} \right) \end{array}\)
Bài 6. (SGK Hình học 12 trang 39)
Gọi thiết diện qua trục hình nón là \[\Delta SAB\] đều cạnh bằng 2a có đỉnh S và đường cao SH
Chiều cao của hình nón là: \[h=\sqrt{{{l}^{2}}-{{r}^{2}}}=\sqrt{{{\left( 2a \right)}^{2}}-{{a}^{2}}}=a\sqrt{3}\]
Diện tích xung quanh của hình nón là: \[{{S}_{xq}}=\pi rl=\pi .a.2a=2\pi {{a}^{2}}\]
Thể tích của hình nón là: \[V=\frac{1}{3}\pi {{r}^{2}}h=\frac{1}{3}\pi .{{a}^{2}}.a\sqrt{3}=\frac{\pi {{a}^{3}}\sqrt{3}}{3}\]
Bài 7. (SGK Hình học 12 trang 39)
a) Diện tích xung quanh hình trụ là: \[{{S}_{xq}}=2\pi rh=2\pi r.r\sqrt{3}=2\pi {{r}^{2}}\sqrt{3}\]
Diện tích toàn phần của hình trụ là: \[{{S}_{tp}}={{S}_{xq}}+2{{S}_{d}}=2\pi {{r}^{2}}\sqrt{3}+2\pi {{r}^{2}}=2\pi {{r}^{2}}\left( \sqrt{3}+1 \right)\]
b) Thể tích khối trụ là: \[V=\pi {{r}^{2}}h=\pi {{r}^{2}}.r\sqrt{3}=\pi {{r}^{3}}\sqrt{3}\]
c) Vẽ \[AA'//OO'\]
\[\Rightarrow \widehat{\left( AB,OO' \right)}=\widehat{\left( AB,AA' \right)}=\widehat{A'AB}={{30}^{0}}\]
Gọi trung điểm của A’B là M
\[\Rightarrow \Delta OA'B\] cân tại O
\(\begin{array}{l} \Rightarrow OM \bot A'A;OM \bot A'B\\ \Rightarrow OM \bot \left( {A'AB} \right)\\ \Rightarrow d\left( {O,\left( {A'AB} \right)} \right) = OM \end{array}\)
Xét \[\Delta A'AB\] vuông tại A’ có: \[A'B=AA'.\tan {{30}^{0}}=r\sqrt{3}.\frac{\sqrt{3}}{3}=r\]
\[\Rightarrow A'M=\frac{1}{2}A'B=\frac{r}{2}\]
Xét \[\Delta OA'M\] vuông tại M có: \[A'{{M}^{2}}+O{{M}^{2}}=O{{A}^{2}}\]
\[\Rightarrow O{{M}^{2}}=O{{A}^{2}}-A'{{M}^{2}}={{r}^{2}}-{{\left( \frac{r}{2} \right)}^{2}}=\frac{3{{r}^{2}}}{4}\]
\(\begin{array}{l} \Rightarrow OM = \frac{{r\sqrt 3 }}{2}\\ \Rightarrow d\left( {OO',\left( {A'AB} \right)} \right) = OM = \frac{{r\sqrt 3 }}{2} \end{array}\)
Bài 8. (SGK Hình học 12 trang 40)
a) Ta có: Hình trụ và hình nón có cùng chiều cao \[h=r\sqrt{3}\] và bán kính đường tròn đáy bằng r
Đường sinh của hình nón là: \[l=\sqrt{{{h}^{2}}+{{r}^{2}}}=\sqrt{3{{r}^{2}}+{{r}^{2}}}=2r\]
Diện tích xung quanh của hình trụ là: \[{{S}_{1}}=2\pi rh=2\pi {{r}^{2}}\sqrt{3}\]
Diện tích xung quanh hình nón là: \[{{S}_{2}}=\pi rl=2\pi {{r}^{2}}\]
\[\Rightarrow \frac{{{S}_{1}}}{{{S}_{2}}}=\frac{2\pi {{r}^{2}}\sqrt{3}}{2\pi {{r}^{2}}}=\sqrt{3}\]
b) Thể tích khối trụ là: \[{{V}_{t}}=\pi {{r}^{2}}h\]
Thể tích khối nón là: \[{{V}_{n}}=\frac{1}{3}\pi {{r}^{2}}h\]
Thể tích phần ngoài khối nón và trong khối trụ là: \[V={{V}_{t}}-{{V}_{n}}=\pi {{r}^{2}}h-\frac{1}{3}\pi {{r}^{2}}h=\frac{2}{3}\pi {{r}^{2}}h\]
Tỉ số thể tích của hai phần là: \[\frac{V}{{{V}_{n}}}=\left( \frac{2}{3}\pi {{r}^{2}}h \right):\left( \frac{1}{3}\pi {{r}^{2}}h \right)=2\]
Bài 9. SK Hình học 12 trang 40
a) Thiết diện qua trục của hình nón là \[\Delta SAB\] vuông cân tại S có \[AB=a\sqrt{2}\]
\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} h = SO = \frac{1}{2}AB = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\\ r = \frac{1}{2}AB = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\\ l = SA = a\sqrt 2 .\frac{{\sqrt 2 }}{2} = a \end{array} \right.\)
Diện tích xung quanh của hình nón là: \[{{S}_{xq}}=\pi rl=\pi .\frac{a\sqrt{2}}{2}.a=\frac{\sqrt{2}}{2}.\pi {{a}^{2}}\]
Diện tích toàn phần của hình nón là: \[{{S}_{tp}}={{S}_{xq}}+{{S}_{d}}=\frac{\sqrt{2}}{2}.\pi {{a}^{2}}+\pi {{r}^{2}}\]
Thể tích khối nón là: \[V=\frac{1}{3}\pi {{r}^{2}}h=\frac{1}{3}\pi .{{\left( \frac{a\sqrt{2}}{2} \right)}^{2}}.\frac{a\sqrt{2}}{2}=\frac{\sqrt{2}}{12}\pi {{a}^{3}}\]
b) Ta có: \[SO\bot BC;OM\bot BC\]
\(\begin{array}{l} \Rightarrow BC \bot \left( {OSM} \right)\\ \Rightarrow BC \bot SM\left( 1 \right) \end{array}\)
Lại có: \[\left( OSM \right)\cap \left( SBC \right)=SM\left( 2 \right)\]
Từ (1) và (2) \[\left( \left( OSM \right),\left( SBC \right) \right)=\widehat{OMS}={{60}^{0}}\]
Xét \[\Delta OSM\] vuông tại O có: \[SM=\frac{SO}{\sin \widehat{OMS}}=\frac{\frac{a\sqrt{2}}{2}}{\sin {{60}^{0}}}=a\sqrt{\frac{2}{3}};OM=SO.\cot \widehat{OMS}=\frac{a\sqrt{2}}{2}.\cot {{60}^{0}}=\frac{a\sqrt{6}}{6}\]
Xét \[\Delta OBM\] vuông tại M có: \[MB=\sqrt{O{{B}^{2}}-O{{M}^{2}}}=\sqrt{{{\left( \frac{a\sqrt{2}}{2} \right)}^{2}}-{{\left( \frac{a\sqrt{6}}{6} \right)}^{2}}}=\frac{a}{\sqrt{3}}\]
\(\begin{array}{l} \Rightarrow BC = 2BM = \frac{{2a}}{{\sqrt 3 }}\\ \Rightarrow {S_{SBC}} = \frac{1}{2}BC.SM = \frac{1}{2}.a\sqrt {\frac{2}{3}} .\frac{{2a}}{{\sqrt 3 }} = \frac{{{a^2}\sqrt 2 }}{3} \end{array}\)
Bài 10. (SGK Hình học 12 trang 40)
Gọi hai đường sinh của khối trụ là CC’ và DD’
\[\Rightarrow C'D'//CD;C'D'=CD\] (1)
Lại có: \[AB//CD;AB=CD\] ( do ABCD là hình vuông) (2)
Từ (1) và (2) \[\Rightarrow AB//C'D';AB=C'D'\]
\[\Rightarrow ABC'D'\] là hình bình hành
Mà ABC’D’ nội tiếp đường tròn tâm O
\[\Rightarrow ABC'D'\] là hình chữ nhật
\[\Rightarrow AC'=2r\]
Xét \[\Delta ABC'\] vuông tại B có: \[BC{{'}^{2}}=AC{{'}^{2}}-A{{B}^{2}}\left( 3 \right)\]
Xét \[\Delta BCC'\] vuông tại C’ có: \[BC{{'}^{2}}=B{{C}^{2}}-CC{{'}^{2}}=A{{B}^{2}}-CC{{'}^{2}}\left( 4 \right)\]
Từ (3) và (4) \[\Rightarrow AC{{'}^{2}}-A{{B}^{2}}=A{{B}^{2}}-CC{{'}^{2}}\]
\(\begin{array}{l} \Rightarrow 4{r^2} - A{B^2} = A{B^2} - {r^2}\\ \Rightarrow A{B^2} = \frac{{5{r^2}}}{2}\\ \Rightarrow {S_{ABCD}} = A{B^2} = \frac{{5{r^2}}}{2} \end{array}\)
Gọi \[\alpha \] là góc giữa \[\left( ABCD \right)\] và mặt phẳng đáy
Ta có: \[S={{S}_{AbCD}}=\frac{5{{r}^{2}}}{2};S'={{S}_{ABC'D'}}=AB.BC'=AB.\sqrt{AC{{'}^{2}}-A{{B}^{2}}}=\sqrt{\frac{5{{r}^{2}}}{2}}.\sqrt{{{\left( 2r \right)}^{2}}-\frac{5{{r}^{2}}}{2}}=\frac{{{r}^{2}}\sqrt{15}}{2}\]
Mà ABC’D’ là hình chiếu vuông góc của ABCD trên mặt phẳng đáy
\(\begin{array}{l} \Rightarrow S' = S.\cos \alpha \\ \Rightarrow \cos \alpha = \frac{{S'}}{S} = \frac{{{r^2}\sqrt {15} }}{2}:\frac{{5{r^2}}}{2} = \frac{{\sqrt {15} }}{5} \end{array}\)
Gợi ý Giải bài tập sách giáo khoa khái niệm về mặt tròn xoay, toán 12 lý thuyết trọng tâm giúp học sinh nắm vững kiến thức chính xác nhanh nhất.