CON LẮC LÒ XO

BÀI 2. CON LẮC LÒ XO

I. LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM

1. Con lắc lò xo

2. Lực kéo về

• Lực kéo về luôn luôn hướng về vị trí cân bằng, tác dụng vào vật gây ra gia tốc làm cho vật dao động điều hòa, có độ lớn tỉ lệ với li độ.
• Công thức : F = - kx.

Trong đó: x là li độ của vật (m); k là độ cứng của lò xo (N/m)

Dấu “-” chỉ rằng lực \(\overrightarrow{F}\) có hướng ngược với biến dạng của lò xo, nghĩa là \(\overrightarrow{F}\) luôn luôn hướng về vị trí cân bằng.

3. Chu kì – tần số - tần số góc của con lắc lò xo

• Tần số (w ; rad/s): \(\omega =\sqrt{\frac{k}{m}}\)
• Chu kì (T; s) : \(T=\frac{2\pi }{\omega }=2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}\)
• Tần số (f; Hz) : \(f=\frac{\omega }{2\pi }=\frac{1}{T}=\frac{1}{2\pi }\sqrt{\frac{k}{m}}\)

4. Năng lượng dao động điều hòa của con lắc lò xo

+ Phương trình động năng của vật dao động điều hòa:

\({{W}_{\text{đ}}}=\frac{1}{2}m{{v}^{2}}=\frac{1}{2}m{{\omega }^{2}}{{A}^{2}}{{\sin }^{2}}\left( \omega t+\varphi  \right)=\frac{1}{4}m{{\omega }^{2}}{{A}^{2}}\left[ 1-c\text{os}\left( 2\omega t+2\varphi  \right) \right]\)

• Nhận xét : 
  • Động năng của vật trong dao động điều hòa biến thiên tuần hòa với chu kì \(T'=\frac{T}{2}\), tần số f’ = 2f, tần số góc w’ = 2w

+ Phương trình thế năng của vật dao động điều hòa:

\({{W}_{\text{t}}}=\frac{1}{2}k{{x}^{2}}=\frac{1}{2}m{{\omega }^{2}}{{A}^{2}}\text{co}{{\text{s}}^{2}}\left( \omega t+\varphi  \right)=\frac{1}{4}m{{\omega }^{2}}{{A}^{2}}\left[ 1+c\text{os}\left( 2\omega t+2\varphi  \right) \right]\)

• Nhận xét :
• Thế năng của vật trong dao động điều hòa biến thiên tuần hòa với chu kì \(T'=\frac{T}{2}\), tần số f’ = 2f, tần số góc w’ = 2w
• Thế năng và động năng trong dao động điều hòa luôn luôn ngược pha nhau.

+ Phương trình cơ năng của con lắc lò xo dao động điều hòa:

\(\text{W}={{W}_{\text{đ}}}+{{W}_{\text{t}}}=\frac{1}{2}m{{v}^{2}}+\frac{1}{2}k{{x}^{2}}=\frac{1}{2}m{{\omega }^{2}}{{A}^{2}}=\frac{1}{2}k{{A}^{2}}\text{= cons}t\)

• Nhận xét :
• Cơ năng của con lắc tỉ lệ với bình phương của biên độ dao động
• Khi không có ma sát, cơ năng của con lắc được bảo toàn.
• \(\frac{{{\text{W}}_{\text{đ}}}+{{\text{W}}_{t}}}{\text{W}}={{\left( \frac{v}{{{v}_{\text{max}}}} \right)}^{2}}+{{\left( \frac{x}{A} \right)}^{2}}=1\)

II. PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP

Dạng 1: Chu kì, tần số dao động của con lắc lò xo

• Tần số góc, chu kì dao động, tần số dao động: \(\omega =\sqrt{\frac{k}{m}}\xrightarrow{{}}\left\{ \begin{align}   & T=\frac{2\pi }{\omega }=2\pi \sqrt{\frac{m}{k}} \\  & f=\frac{\omega }{2\pi }=\frac{1}{T}=\frac{1}{2\pi }\sqrt{\frac{k}{m}} \\ \end{align} \right.\)
• Trong khoảng thời gian Δt vật thực hiện được N dao động thì \(\Delta t=N.T\Leftrightarrow T=\frac{\Delta t}{N}\xrightarrow{{}}\left\{ \begin{align}   & \omega =\frac{2\pi .N}{\Delta t} \\  & f=\frac{N}{\Delta t} \\ \end{align} \right.\)
• Khi tăng khối lượng vật nặng n lần thì chu kì tăng \(\sqrt{n}\) lần, tần số giảm \(\sqrt{n}.\)
• Khi mắc vật có khối lượng m1 vào lò xo có độ cứng k thì hệ dao động với chu kì \({{T}_{1}}=2\pi \sqrt{\frac{{{m}_{1}}}{k}}\)
• Khi mắc vật có khối lượng m2 vào lò xo có độ cứng k thì hệ dao động với chu kì \({{T}_{2}}=2\pi \sqrt{\frac{{{m}_{2}}}{k}}\)
• Khi mắc vật có khối lượng m = (m1 + m2) vào lò xo có độ cứng k thì hệ dao động với chu kì

\(T=\sqrt{T_{1}^{2}+T_{2}^{2}}\)

• Khi mắc vật có khối lượng m = (m1 – m2) vào lò xo có độ cứng k thì hệ dao động với chu kì

\(T=\sqrt{T_{1}^{2}-T_{2}^{2}}\)

• Tổng quát ta có \(m=a{{m}_{1}}+b{{m}_{2}}\xrightarrow{m\sim {{T}^{2}}}{{T}^{2}}=aT_{1}^{2}+bT_{2}^{2}\)

Dạng 2: Con lắc lò xo chuyển động theo phương ngang

• Tại VTCB lò xo không bị biến dạng : Dℓ0 = 0.
• Chiều dài cực đại và cực tiểu của lò xo trong quá trình dao động lần lượt là \(\left\{ \begin{align}   & {{\ell }_{\min }}={{\ell }_{0}}+A \\  & {{\ell }_{\min }}={{\ell }_{0}}-A \\ \end{align} \right.\)

trong đó ℓ0 là chiều dài tự nhiên của lò xo.

• Lực đàn hồi tác dụng vào lò xo chính là lực hồi phục, có độ lớn Fhp = k.|x|

⇒ Lực hồi phục cực đại là Fhp.max = kA.

Dạng 3: Con lắc lò xo chuyển động theo thẳng đứng

Chiều dài của lò xo tại VTCB là : ℓCB = ℓ0 + Dℓ0 = 0.

Chiều dài cực đại và cực tiểu của lò xo là : \(\left\{ \begin{array}{l} {\ell _{m{\rm{ax}}}} = {\ell _{cb}} + A = {\ell _o} + \Delta {\ell _o} + A\\ {\ell _{\min }} = {\ell _{cb}} - A = {\ell _o} + \Delta {\ell _o} - A \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} A = \frac{{{\ell _{m{\rm{ax}}}} - {\ell _{\min }}}}{2}\\ {\ell _{cb}} = \frac{{{\ell _{m{\rm{ax}}}} + {\ell _{\min }}}}{2} \end{array} \right.\)

Dạng 4: Bài toán năng lượng của con lắc lò xo dao động điều hòa

• Thế năng đàn hồi: \({{W}_{t}}=\frac{k{{x}^{2}}}{2}\xrightarrow{x=A\cos \left( \omega t+\varphi  \right)}{{W}_{t}}=\frac{k{{A}^{2}}}{2}{{\cos }^{2}}(\omega t+\varphi )=\frac{k{{A}^{2}}}{4}[1+2\cos (2\omega t+2\varphi )]\)
• Động năng: \({{W}_{đ}}=\frac{m{{v}^{2}}}{2}\xrightarrow{v=-A\omega \sin \left( \omega t+\varphi  \right)}{{W}_{đ}}=\frac{m{{\omega }^{2}}{{A}^{2}}}{2}{{\sin }^{2}}(\omega t+\varphi )=\frac{k{{A}^{2}}}{4}[1-2\cos (2\omega t+2\varphi )]\)

(Wđ và Wt biến thiên tuần hoàn với tần số gấp hai lần tần số dao động của vật; chu kì bằng một nửa chu kì dao động của vật: f’ = 2f; ω’ = 2ω; \(T'=\frac{T}{2}\)).

• Định luật bảo toàn cơ năng: ​\(W={{W}_{t}}+{{W}_{đ}}=\frac{k{{x}^{2}}}{2}+\frac{m{{v}^{2}}}{2}\text{=}\,\text{cons}t. \)​

\(\left. \begin{align}   & \omega =\sqrt{\frac{k}{m}} \\  & W={{W}_{tm\text{ax}}}={{W}_{đ}}_{m\text{ax}} \\ \end{align} \right\rangle \Rightarrow W=\frac{m{{\omega }^{2}}{{A}^{2}}}{2}=\frac{k{{A}^{2}}}{2}=\frac{mv_{\max }^{2}}{2}\)

• Chú ý: Nếu \({W_t} = n{W_đ} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{W_t} = \frac{n}{{n + 1}}W \Rightarrow \frac{{k{x^2}}}{2} = \frac{n}{{n + 1}}\frac{{k{A^2}}}{2} \Rightarrow x = \pm \sqrt {\frac{n}{{n + 1}}} A}\\ {{W_đ} = \frac{1}{{n + 1}}W} \end{array}} \right.\)

III. GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA

Câu C1 (trang 11 SGK Vật lí 12):

Chứng minh rằng \(\sqrt{\frac{k}{m}}\) có đơn vị là giây .

Trả lời:

Từ công thức định luật II Niu-tơn, ta có: F = ma ⇒ 1 N = 1 kg.1 m/s2 ⇒ 1 N/m = 1 kg/s2.

Đơn vị của k là (N/m), đơn vị của m là (kg)

\(\Rightarrow \sqrt{\frac{k}{m}}\) có đơn vị là \(\sqrt{\frac{\frac{N}{m}}{kg}}=\sqrt{\frac{\frac{kg}{{{s}^{2}}}}{kg}}=\sqrt{{{s}^{2}}}=s\)

Vậy \(\sqrt{\frac{k}{m}}\) có đơn vị là giây.

Câu C2 (trang 12 SGK Vật lí 12):

Hãy cho biết một cách định tính, thế năng và động năng của con lắc thay đổi thế nào khi nó đi từ vị trí biên về vị trí cân bằng và từ vị trí cân bằng đến vị trí biên.

Trả lời:

Tại vị trí cân bằng O (x = 0): thế năng Wt = 0; động năng cực đại Wđmax.

Tại vị trí biên (x = ± A): thế năng cực đại Wtmax; động năng Wđ = 0.

Khi vật đi từ vị trí biên về vị trí cân bằng thì thế năng giảm dần, động năng tăng dần.

Khi vật đi từ vị trí vị trí cân bằng ta biên thì thế năng tăng dần, động năng giảm dần.

IV. CÂU HỎI – BÀI TẬP

Bài 1 (trang 13 SGK Vật Lí 12):

Khảo sát dao động của con lắc lò xo nằm ngang. Tìm công thức của lực kéo về.

Lời giải:

+ Xét con lắc lò xo như hình vẽ:

Chọn hệ trục tọa độ có Ox có gốc tọa độ O trùng với vị trí cân bằng, chiều dương là chiều quy ước (như hình vẽ). Từ vị trí cân bằng O kéo vật m cho lò xo dãn ra một đoạn nhỏ rồi buông tay, vật sẽ dao động trên một đường thẳng quanh vị trí cân bằng.

+ Áp dụng định luật 2 Niu-tơn ta có: \(\overrightarrow{P}+\overrightarrow{N}+\overrightarrow{F}=m\overrightarrow{a}\)

+ Chiếu phương trình lên trục Ox ta được

Fđh = ma ⇔ - kx = ma = mx’’ ⇒ x’’ + ω2x = 0 (∗) với \(\omega =\sqrt{\frac{k}{m}}\)

Phương trình (∗) là phương trình vi phân biểu diễn chuyển động của con lắc lò xo, phương trình này có nghiệm là: x = Acos(ωt + φ), như vậy chuyển động của con lắc lò xo là một dao động điều hòa.

+ Hợp lực tác dụng lên con lắc chình là lực kéo về, do vậy: Fhl = Fkéo về = m.a = - kx = – mω2x

Bài 2 (trang 13 SGK Vật Lí 12):

Nêu công thức tính chu kì của con lắc lò xo.

Lời giải:

Công thức chu kì con lắc lò xo: \(T=\frac{2\pi }{\omega }=2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}\)

Với : m là khối lượng quả nặng (kg)

k là độ cứng của lò xo, có đơn vị là Niuton trên mét (N/m)

T là chu kì, có đơn vị là giây (s)

Bài 3 (trang 13 SGK Vật Lí 12):

Viết công thức của động năng, thế năng và cơ năng của con lắc lò xo. Khi con lắc lò xo dao động điều hòa thì động năng và thế năng của con lắc biến đổi qua lại như thế nào?

Lời giải:

• Thế năng đàn hồi: \({{W}_{t}}=\frac{k{{x}^{2}}}{2}\)
• Động năng: \({{W}_{đ}}=\frac{m{{v}^{2}}}{2}\)
• Định luật bảo toàn cơ năng: \(W={{W}_{t}}+{{W}_{đ}}=\frac{k{{x}^{2}}}{2}+\frac{m{{v}^{2}}}{2}\text{=}\,\text{cons}t. \)
• Khi con lắc dao động điều hòa, động năng tăng thì thế năng giảm và ngược lại, động năng giảm thì thế năng tăng.

Bài 4 (trang 13 SGK Vật Lí 12):

Chọn đáp án đúng.

Công thức tính chu kì dao động của con lắc lò xo là:

A. \(T=2\pi \sqrt{\frac{k}{m}}\) B. \(T=\frac{1}{2\pi }\sqrt{\frac{k}{m}}\) C. \(T=\frac{1}{2\pi }\sqrt{\frac{m}{k}}   \) D. \(T=2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}\)

Lời giải: Chọn D.

Công thức tính chu kì dao động của con lắc lò xo là \(T=2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}\)

Bài 5 (trang 13 SGK Vật Lí 12):

Một con lắc lò xo dao động điều hòa. Lò xo có độ cứng k = 40 N/m. Khi vật m của con lắc đi qua vị trí có li độ x = – 2 cm thì thế năng của con lắc là bao nhiêu?

A. – 0,016 J. B. – 0,008 J. C. 0,016 J. D. 0,008 J.

Lời giải: Chọn D.

Thế năng đàn hồi: \({{W}_{t}}=\frac{1}{2}k{{x}^{2}}=\frac{1}{2}.40.{{\left( -0,02 \right)}^{2}}={{8.10}^{-3}}\,J\)

Bài 6 (trang 13 SGK Vật Lí 12):

Một con lắc lò xo gồm một khối lượng m = 0,4 kg và một lò xo có độ cứng k = 80 N/m. Con lắc dao động điều hòa với biên độ bằng 0,1 m. Hỏi tốc độ của con lắc khi qua vị trí cân bằng?

A. 0 m/s. B. 1,4 m/s. C. 2,0 m/s. D. 3,4 m/s.

Lời giải: Chọn B.

Tốc độ của con lắc qua vị trí cân bằng là cực đại

Ta có \({{v}_{max}}=\omega A=\sqrt{\frac{k}{m}}\cdot A=\sqrt{\frac{89}{0,4}}\cdot 0,1=1,49\,m/s\)

Hi vọng bài học này sẽ giúp các em hiểu sâu hơn và nắm vững kiến thức về con lắc lò xo trong chương trình Vật lí lớp 12.