ican
Giải SGK Toán 12
Bài 4: Ôn tập chương 3 (trang 93-97)

Ôn tập chương III (hình học)

Giải bài tập sách giáo khoa ôn tập hình học 12, toán 12 hình học lý thuyết trọng tâm giúp học sinh nắm vững kiến thức chính xác nhanh nhất.

Ican

ÔN TẬP CHƯƠNG III

A. LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM

1. Ba vectơ \[\overrightarrow{u};\overrightarrow{v};\overrightarrow{n}\] không đồng phẳng \[\Leftrightarrow \left[ \overrightarrow{u};\overrightarrow{v} \right].\overrightarrow{n}\ne 0\]

2. Góc giữa hai vectơ \[\overrightarrow{a}\] và \[\overrightarrow{b}\] được tính bởi công thức :

\[cos\text{ }\varphi =c\text{os(}\overrightarrow{a},\overrightarrow{b})=\frac{{{a}_{1}}{{b}_{1}}+{{a}_{2}}{{b}_{2}}+{{a}_{3}}{{b}_{3}}}{\sqrt{a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{3}^{2}}.\sqrt{b_{1}^{2}+b_{2}^{2}+b_{3}^{2}}}\]

với \[\overrightarrow{a}=(a_{1}^{{}};a_{2}^{{}};a_{3}^{{}})\] và \[\overrightarrow{b}=(b_{1}^{{}};b_{2}^{{}};b_{3}^{{}})\] .

3. Khoảng cách từ điểm \[M_{0}^{{}}(x_{0}^{{}};y_{0}^{{}};z_{0}^{{}})\] đến mặt phẳng \[(\alpha )\] :\[\text{Ax}+By+Cz+D=0\] là

\[d(M_{0}^{{}},(\alpha ))=\frac{\left| Ax_{0}^{{}}+By_{0}^{{}}+Cz_{0}^{{}}+D \right|}{\sqrt{{{A}^{2}}+{{B}^{2}}+{{C}^{2}}}}\]

4. Phương trình mặt cầu (S) tâm \[I\left( a;b;c \right)\] bán kính r có dạng :

\[{{\left( x-a \right)}^{2}}+{{\left( y-b \right)}^{2}}+{{\left( z-c \right)}^{2}}={{r}^{2}}\]

5. Phương trình mặt phẳng đi qua điểm \[M_{0}^{{}}(x_{0}^{{}};y_{0}^{{}};z_{0}^{{}})\] nhận vectơ \[\overrightarrow{n}(A;B;C)\] khác \[\overrightarrow{0}\] làm vectơ pháp tuyến là \[A(x-x_{0}^{{}})+B(y-y_{0}^{{}})+C(z-z_{0}^{{}})=0\] .

6. Phương trình tham số của đường thẳng \[\Delta \] đi qua điểm \[M_{0}^{{}}(x_{0}^{{}};y_{0}^{{}};z_{0}^{{}})\] và có vectơ chỉ phương \[\overrightarrow{a}=(a_{1}^{{}};a_{2}^{{}};a_{3}^{{}})\] là phương trình có dạng:

\(\left\{ \begin{align} & x={{x}_{0}}+{{a}_{1}}t \\  & y={{y}_{0}}+{{a}_{2}}t \\  & z={{z}_{0}}+{{a}_{3}}t \\ \end{align} \right.\left( t\in \mathbb{R} \right)\)

Trong đó t là tham số.

7. Nếu mặt phẳng \[\left( \alpha  \right)\] cắt mặt cầu tâm I bán kính R theo một đường tròn bán kính r thì ta có công thức : \[{{R}^{2}}=d_{\left( I;(\alpha ) \right)}^{2}+{{r}^{2}}\] .

8. Nếu mặt phẳng \[\left( \alpha  \right)\] chứa hai đường thẳng cắt nhau \[{{d}_{1}};{{d}_{2}}\] với hai vectơ chỉ phương \[\overrightarrow{{{u}_{1}}};\overrightarrow{{{u}_{2}}}\] thì vectơ pháp tuyến của \[\left( \alpha  \right)\] là tích có hướng của hai vectơ chỉ phương đó : \[\overrightarrow{{{n}_{\left( \alpha  \right)}}}=\left[ \overrightarrow{{{u}_{1}}};\overrightarrow{{{u}_{2}}} \right]\]

9. Nếu mặt phẳng tiếp xúc mặt cầu thì khoảng cách từ tâm mặt cầu đến mặt phẳng đó đúng bằng bán kính mặt cầu.

B. GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA

Bài 1. SGK hình học 12 trang 91

a)

Cách 1 : Ta có phương trình đoạn chắn của mặt phẳng \[\left( ABC \right)\] là \[\frac{x}{1}+\frac{y}{1}+\frac{z}{1}=1\Leftrightarrow x+y+z-1=0\]

Thay tọa độ điểm D vào phương trình mặt phẳng \[\left( ABC \right)\] ta thấy D không thuộc mặt phẳng \[\left( ABC \right)\] .

\[\Rightarrow A,B,C,D\] không đồng phẳng.

\[\Rightarrow ABCD\] là bốn đỉnh của một tứ diện.

Cách 2 : Ta có \[\overrightarrow{AD}=\left( -3;1;-1 \right)\] ; \[\overrightarrow{CD}=\left( -2;1;-2 \right)\]

\[\overrightarrow{AB}=\left( -1;1;0 \right);\overrightarrow{AC}=\left( -1;0;1 \right)\Leftrightarrow \left[ \overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC} \right]=\left( 1;1;1 \right)\Leftrightarrow \left[ \overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC} \right].\overrightarrow{AD}=-3\ne \overrightarrow{0}\]

\[\Rightarrow A,B,C,D\] không đồng phẳng.

\[\Rightarrow ABCD\] là bốn đỉnh của một tứ diện.

b) Ta có : \[\text{cos}\left( \overrightarrow{AB};\overrightarrow{CD} \right)=\text{cos}\left( \varphi  \right)=\frac{\left( -1 \right).\left( -2 \right)+1.1+0.\left( -2 \right)}{\sqrt{{{\left( -1 \right)}^{2}}+{{1}^{2}}+{{0}^{2}}}.\sqrt{{{\left( -2 \right)}^{2}}+{{1}^{2}}+{{\left( -2 \right)}^{2}}}}=\frac{1}{\sqrt{2}}\Leftrightarrow \varphi ={{45}^{0}}\]

Vậy góc giữa hai đường thẳng AB và CD bằng \[{{45}^{0}}\] .

c) Độ dài đường cao hình chóp chính là khoảng cách từ đỉnh A xuống mặt phẳng \[\left( BCD \right)\] .

Ta có : \[\overrightarrow{BC}=\left( 0;-1;1 \right);\overrightarrow{BD}=\left( -2;0;-1 \right)\Leftrightarrow \left[ \overrightarrow{BC};\overrightarrow{BD} \right]=\overrightarrow{{{n}_{BCD}}}=\left( 1;-2;-2 \right)\]

\[\Rightarrow \] Phương trình mặt phẳng \[\left( BCD \right)\] là \[x-2y-2z+2=0\]

\[\Rightarrow d\left( A;(BCD) \right)=\frac{\left| 1-2.0-2.0+2 \right|}{\sqrt{1+{{(-2)}^{2}}+{{(-2)}^{2}}}}=1\]

Bài 2. SGK hình học 12 trang 91

a) Mặt cầu (S) có đường kính là AB \[\Leftrightarrow \] Tâm I của mặt cầu chính là trung điểm của AB.

\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & {{x}_{I}}=\frac{{{x}_{A}}+{{x}_{B}}}{2}=1 \\  & {{y}_{I}}=\frac{{{y}_{A}}+{{y}_{B}}}{2}=1 \\  & {{z}_{I}}=\frac{{{z}_{A}}+{{z}_{B}}}{2}=1 \\ \end{align} \right.\Rightarrow I\left( 1;1;1 \right)\)

Ta có : \[\overrightarrow{AB}=\left( -10;-2;12 \right)\Leftrightarrow AB=2\sqrt{62}\Leftrightarrow r=\sqrt{62}\] .

b) Phương trình mặt cầu (S) là :

\[{{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y-1 \right)}^{2}}+{{\left( z-1 \right)}^{2}}=62\]

c) Mặt phẳng \[\left( \alpha  \right)\] tiếp xúc với mặt cầu (S) tại điểm A

\[\Rightarrow \] Mặt phẳng \[\left( \alpha  \right)\] nhận vectơ \[\overrightarrow{IA}=\left( 5;1;-6 \right)\] làm vectơ pháp tuyến.

Vậy phương trình mặt phẳng \[\left( \alpha  \right)\] là \[5\left( x-6 \right)+\left( y-2 \right)-6\left( z+5 \right)=0\Leftrightarrow 5x+y-6z-62=0\] .

Bài 3. SGK hình học 12 trang 92

a) Ta có : \[\overrightarrow{BC}=\left( -1;2;-7 \right);\overrightarrow{BD}=\left( 0;4;-6 \right)\Leftrightarrow \left[ \overrightarrow{BC};\overrightarrow{BD} \right]=\overrightarrow{{{n}_{BCD}}}=\left( 16;-6;-4 \right)\] .

Mặt phẳng (BCD) đi qua điểm \[B\left( 1;0;6 \right)\] và nhận vectơ \[\overrightarrow{{{n}_{\left( BCD \right)}}}\] làm vectơ pháp tuyến có phương trình là :

\[16\left( x-1 \right)-6y-4\left( z-6 \right)=0\Leftrightarrow 16x-6y-4z+8=0\Leftrightarrow 8x-3y-2z+4=0\]

Thay tọa độ điểm A vào phương trình ta thấy không thỏa mãn.

\[\Rightarrow A,B,C,D\] không đồng phẳng.

\[\Rightarrow ABCD\] là bốn đỉnh của một tứ diện.

b) Chiều cao AH của tứ diện ABCD bằng khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (BCD) và bằng :

\[d\left( A;(BCD) \right)=\frac{\left| 8.(-2)-3.6-2.3+4 \right|}{\sqrt{{{8}^{2}}+{{(-3)}^{2}}+{{(-2)}^{2}}}}=\frac{36}{\sqrt{77}}\]

c) Ta có : \[\overrightarrow{AB}=\left( 3;-6;3 \right);\overrightarrow{CD}=\left( 1;2;1 \right)\Leftrightarrow \left[ \overrightarrow{AB};\overrightarrow{CD} \right]={{\overrightarrow{n}}_{\left( \alpha  \right)}}=\left( -12;0;12 \right)=\left( 1;0;-1 \right)\]

Mặt phẳng \[\left( \alpha  \right)\] chứa AB và song song với CD nên nhận vectơ \[{{\overrightarrow{n}}_{\left( \alpha  \right)}}=\left( 1;0;-1 \right)\] làm vectơ pháp tuyến.

Mặt phẳng \[\left( \alpha  \right)\] đi qua điểm B(1;0;6) và nhận vectơ \[{{\overrightarrow{n}}_{\left( \alpha  \right)}}\] làm vectơ pháp tuyến có phương trình là :

\[\left( x-1 \right)+0\left( y-0 \right)-\left( z-6 \right)=0\Leftrightarrow x-z+5=0\] .

Bài 4. SGK hình học 12 trang 92

a) Ta có : \[\overrightarrow{AB}={{\overrightarrow{u}}_{d}}=\left( 2;-1;3 \right)\]

Phương trình đường thẳng d đi qua \[A\left( 1;0;-3 \right)\] và nhận \[{{\overrightarrow{u}}_{d}}\] làm vectơ pháp tuyến là :

\(\left\{ \begin{align} & x=1+2t \\  & y=-t \\  & z=-3+3t \\ \end{align} \right.\)

b) Đường thẳng \[d'//\Delta \Leftrightarrow \] vectơ chỉ phương của d’ bằng vectơ chỉ phương của \[\Delta \] .

Vậy phương trình đường thẳng d’ đi qua \[M\left( 2;3;-5 \right)\] và song song với \[\Delta \] là :

\(\left\{ \begin{align} & x=2+2t \\  & y=3-4t \\  & z=-5-5t \\ \end{align} \right.\)

Bài 5. SGK hình học 12 trang 92

Mặt cầu \[\left( S \right):{{\left( x-3 \right)}^{2}}+{{\left( y+2 \right)}^{2}}+{{\left( z-1 \right)}^{2}}=100\] có tâm \[I\left( 3;-2;1 \right)\] và bán kính \[r=10\] .

Ta có : \[IH=d\left( I;(\alpha ) \right)=\frac{\left| 2.3-2.(-2)-1+9 \right|}{\sqrt{{{2}^{2}}+{{(-2)}^{2}}+{{(-1)}^{2}}}}=6\Leftrightarrow NH={{r}_{(C)}}=\sqrt{{{r}^{2}}-I{{H}^{2}}}=\sqrt{100-{{6}^{2}}}=8\] .

Vậy bán kính đường tròn \[\left( C \right)\] bằng 8.

Ta có \[IH\bot \left( \alpha  \right)\Leftrightarrow \] vectơ chỉ phương của IH là \[{{\overrightarrow{u}}_{IH}}\] bằng vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \[\left( \alpha  \right)\] là \[{{\overrightarrow{n}}_{\left( \alpha  \right)}}=\left( 2;-2;-1 \right)\] .

Phương trình tham số của đường IH là

\[x=3+2t;y=-2-2t;z=1-t\]

Vì \[H\in \left( \alpha  \right)\] nên ta có \[H\left( 3+2t;-2-2t;1-t \right)\] .

Thay tọa độ H vào phương trình mặt phẳng \[\left( \alpha  \right)\] ta được :

\[2\left( 3+2t \right)-2\left( -2-2t \right)-\left( 1-t \right)+9=0\Leftrightarrow t=-2\Leftrightarrow H\left( -1;2;3 \right)\] .

Vậy tâm đường tròn \[\left( C \right)\] là \[H\left( -1;2;3 \right)\] .

Bài 6. SGK hình học 12 trang 92

a) Vì \[M\in d\Leftrightarrow M\left( 12+4t;9+3t;1+t \right)\] .

Thay tọa độ điểm M vào phương trình mặt phẳng \[\left( \alpha  \right)\] ta có :

\[3\left( 12+4t \right)+5\left( 9+3t \right)-\left( 1+t \right)-2=0\Leftrightarrow t=-3\Leftrightarrow M\left( 0;0;-2 \right)\] .

Vậy giao điểm của đường thẳng d và mặt phẳng \[\left( \alpha  \right)\] là điểm \[M\left( 0;0;-2 \right)\] .

b) Mặt phẳng \[\left( \beta  \right)\] vuông góc với đường thẳng d

\[\Rightarrow \] Mặt phẳng \[\left( \beta  \right)\] nhận vectơ chỉ phương của đường thẳng d làm vectơ pháp tuyến.

\[\Rightarrow \overrightarrow{{{n}_{\left( \beta  \right)}}}=\overrightarrow{{{u}_{d}}}=\left( 4;3;1 \right)\]

Phương trình mặt phẳng \[\left( \beta  \right)\] chứa điểm M và vuông góc với đường thẳng d là :

\[4x+3y+\left( z+2 \right)=0\Leftrightarrow 4x+3y+z+2=0\].

Bài 7. SGK hình học 12 trang 92

a) Mặt phẳng \[\left( \alpha  \right)\] vuông góc với giá của \[\overrightarrow{a}=\left( 6;-2;-3 \right)\]

\[\Leftrightarrow \] Mặt phẳng \[\left( \alpha  \right)\] nhận \[\overrightarrow{a}\] làm vectơ pháp tuyến.

Phương trình mặt phẳng \[\left( \alpha  \right)\] chứa A và vuông góc với giá của \[\overrightarrow{a}\] là :

\[6\left( x+1 \right)-2\left( y-2 \right)-3\left( z+3 \right)=0\Leftrightarrow 6x-2y-3z+1=0\] .

b) Vì \[M\in d\Leftrightarrow M\left( 1+3t;-1+2t;3-5t \right)\] .

Thay tọa độ của M vào phương trình mặt phẳng \[\left( \alpha  \right)\] ta có :

\[6\left( 1+3t \right)-2\left( -1+2t \right)-3\left( 3-5t \right)+1=0\Leftrightarrow t=0\Leftrightarrow M\left( 1;-1;3 \right)\] .

c) Ta có : \[\Delta \] vuông góc với giá của \[\overrightarrow{a}\] ; \[\left( \alpha  \right)\] vuông góc với giá của \[\overrightarrow{a}\] ; \[\Delta \] và \[\left( \alpha  \right)\] cùng đi qua A \[\Rightarrow \Delta \in \left( \alpha  \right)\]

Lại có : d cắt đường thẳng \[\Delta \] ; d cắt \[\left( \alpha  \right)\] tại M; \[\Delta \in \left( \alpha  \right)\] ó d cắt \[\Delta \] tại M.

\[\Leftrightarrow \] Đường thẳng \[\Delta \] chính là đường thẳng AM

Ta có : \[\overrightarrow{AM}=\left( 2;-3;6 \right)\]

\[\Rightarrow \] Phương trình đường thẳng \[\Delta \] là \[x=-1+2t;y=2-3t;z=-3+6t\] .

Bài 8. SGK hình học 12 trang 93

Ta có (S) : \[{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-10x+2y+26z+170=0\Leftrightarrow {{\left( x-5 \right)}^{2}}+{{\left( y+1 \right)}^{2}}+{{\left( z+13 \right)}^{2}}=25\] .

Vậy mặt cầu (S) có tâm \[I\left( 5;-1;-13 \right)\] và bán kính \[r=5\] .

Do mặt phẳng \[\left( \alpha  \right)\] song song với hai đường thẳng d và d’ nên \[\left( \alpha  \right)\] nhận hai vtcp của d là \[{{\overrightarrow{u}}_{d}}=\left( 2;-3;2 \right)\] và d’ là \[{{\overrightarrow{u}}_{d'}}=\left( 3;-2;0 \right)\] làm vtcp.

\[\Rightarrow \] Vectơ pháp tuyến của \[\left( \alpha  \right)\] là \[\overrightarrow{n}=\left[ {{\overrightarrow{u}}_{d}};{{\overrightarrow{u}}_{d'}} \right]=\left( 4;6;5 \right)\]

\[\Rightarrow \] Phương trình \[\left( \alpha  \right)\] có dạng : \[4x+6y+5z+D=0\]

Vì mặt phẳng \[\left( \alpha  \right)\] tiếp xúc với mặt cầu (S) nên ta có :

\[d\left( I;(\alpha ) \right)=r=5\Leftrightarrow \frac{\left| 4.5+6.(-1)+5.(-13)+D \right|}{\sqrt{{{4}^{2}}+{{6}^{2}}+{{5}^{2}}}}=5\Leftrightarrow \left| D-51 \right|=5\sqrt{77}\Leftrightarrow D=51+5\sqrt{77};D=51-5\sqrt{77}\] Vậy có hai phương trình mặt phẳng \[\left( \alpha  \right)\] thỏa mãn bài toán là :

\[\left( {{\alpha }_{1}} \right):4x+6y+5z+51+5\sqrt{77}=0\]

\[\left( {{\alpha }_{2}} \right):4x+6y+5z+51-5\sqrt{77}=0\]

Bài 9. SGK hình học 12 trang 93

Vì H là hình chiếu vuông góc của M trên \[\left( \alpha  \right)\] nên MH nhận vectơ pháp tuyến của \[\left( \alpha  \right)\] làm vectơ chỉ phương.

Phương trình tham số của đường MH là :

\(\left\{ \begin{align}  & x=1+2t \\  & y=-1-t \\  & z=2+2t \\ \end{align} \right.\)

Vì H thuộc đường thẳng MH nên ta có \[H\left( 1+2t;-1-t;2+2t \right)\] .

Thay tọa độ của H vào phương trình mặt phẳng \[\left( \alpha  \right)\] ta có :

\[2\left( 1+2t \right)-\left( -1-t \right)+2\left( 2+2t \right)+11=0\Leftrightarrow t=-2\Leftrightarrow H\left( -3;1;-2 \right)\]

Bài 10. SGK hình học 12 trang 93

Gọi H là hình chiếu của M trên \[\left( \alpha  \right)\] ó \[MH\bot \left( \alpha  \right)\]

\[\Rightarrow \] MH nhận vectơ pháp tuyến của \[\left( \alpha  \right)\] là \[{{\overrightarrow{n}}_{\alpha }}=\left( 1;3;-1 \right)\] làm vectơ chỉ phương

Phương trình tham số của đường thẳng MH là :

\(\left\{ \begin{align} & x=2+t \\  & y=1+3t \\  & z=-t \\ \end{align} \right.\)

Vì H thược đường thẳng MH nên ta có \[H\left( 2+t;1+3t;-t \right)\]

Thay tọa độ của H vào phương trình \[\left( \alpha  \right)\] ta có :

\[\left( 2+t \right)+3\left( 1+3t \right)-\left( -t \right)-27=0\Leftrightarrow t=2\Leftrightarrow H\left( 4;7;-2 \right)\]

Vì M’ đối xúng với M qua mặt phẳng \[\left( \alpha  \right)\] , H là hình chiếu của M trên \[\left( \alpha  \right)\] nên H là trung điểm của MM’.

\[\Rightarrow \] \[{{x}_{M'}}=2{{x}_{H}}-{{x}_{M}}=6;{{y}_{M'}}=2{{y}_{H}}-{{y}_{M}}=13;{{z}_{M'}}=2{{z}_{H}}-{{z}_{M}}=-4\Leftrightarrow M'\left( 6;13;-4 \right)\] .

Bài 11. SGK hình học 12 trang 93

Ta có : \[\Delta \bot (\text{Ox}z)\Leftrightarrow \Delta \] nhận vectơ \[\overrightarrow{j}=\left( 0;1;0 \right)\] làm vectơ chỉ phương.

Gọi \[A\left( t;-4+t;3-t \right)\] và \[B\left( 1-2t';-3+t';4-5t' \right)\] lần lượt là giao điểm giữa đường thẳng \[\Delta \] và hai đường d, d’.

Ta có : \[\overrightarrow{AB}=\left( 1-2t'-t;1+t'-t;1-5t'+t \right)\]

\[\Delta \bot (\text{Ox}z)\Leftrightarrow \Delta \bot \text{Ox;}\Delta \bot \text{Oz}\]

Với \[\Delta \bot Ox\Leftrightarrow {{\overrightarrow{u}}_{\Delta }}.\overrightarrow{i}=0\Leftrightarrow \left( 1-2t'-t \right).1+\left( 1+t'-t \right).0+\left( 1-5t'+t \right).0=0\Leftrightarrow 1-2t'-t=0\] (1)

Với \[\Delta \bot Oz\Leftrightarrow {{\overrightarrow{u}}_{\Delta }}.\overrightarrow{k}=0\Leftrightarrow \left( 1-2t'-t \right).0+\left( 1+t'-t \right).0+\left( 1-5t'+t \right).1=0\Leftrightarrow 1-5t'+t=0\] (2)

Từ (1) và (2) ta có \[t=\frac{3}{7};t'=\frac{2}{7}\Leftrightarrow A\left( \frac{3}{7};\frac{-25}{7};\frac{18}{7} \right);B\left( \frac{3}{7};\frac{-19}{7};\frac{18}{7} \right)\Leftrightarrow \overrightarrow{AB}=\left( 0;\frac{6}{7};0 \right)\] .

Phương trình đường thẳng \[\Delta \] là :

\(\left\{ \begin{align} & x=\frac{3}{7} \\  & y=\frac{-25}{7}+t \\  & z=\frac{18}{7} \\ \end{align} \right.\)

Bài 12. SGK hình học 12 trang 93

Gọi H là hình chiếu của A trên đường thẳng \[\Delta \] .

Ta có : \[H\in \Delta \Leftrightarrow H\left( 1+2t;-1-t;2t \right)\Leftrightarrow \overrightarrow{AH}=\left( 2t;1-t;2t+5 \right)\]

\[AH\bot \Delta \Leftrightarrow \overrightarrow{AH}.{{\overrightarrow{n}}_{\Delta }}=0\Leftrightarrow 2t.2-\left( 1-t \right)+2\left( 2t+5 \right)=0\Leftrightarrow t=-1\Leftrightarrow H\left( -1;0;-2 \right)\] .

A’ đối xứng với A qua \[\Delta \] ; \[AH\bot \Delta \]

\[\Leftrightarrow \] H là trung điểm của AA’.

\(\Rightarrow \left\{ \begin{align} & {{x}_{A'}}=2{{x}_{H}}-{{x}_{A}}=-3 \\  & {{y}_{A'}}=2{{y}_{H}}-{{y}_{A}}=2 \\  & {{z}_{A'}}=2{{z}_{H}}-{{z}_{A}}=1 \\ \end{align} \right.\Rightarrow A'\left( -3;2;1 \right)\)

Giải bài tập sách giáo khoa ôn tập hình học 12, toán 12 hình học lý thuyết trọng tâm giúp học sinh nắm vững kiến thức chính xác nhanh nhất.

Đánh giá (227)
ican
  • Một thương hiệu của 
    ICAN
  • ICAN
  • ICAN © 2023, All Rights Reserved.

  • Trụ sở Hồ Chí Minh: B0003 C/C Sarina, Khu đô thị Sala, Khu phố 3, Đường Hoàng Thế Thiện, Phường An Lợi Đông, TP. Thủ Đức

  • Văn phòng Hà Nội: Tòa nhà 25T2 Đường Hoàng Đạo Thúy, Phường Trung Hòa, Quận Cầu Giấy