BÀI 4: PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI VỚI HỆ SỐ THỰC
A. LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM
1. Căn bậc hai của số thực âm
- Căn bậc hai của số thực âm \[a\] là \[\pm i\sqrt{\left| a \right|}\] .
- Tổng quát : Cho số phức \[\text{w}\]. Mỗi số phức \[z\] thỏa mãn \[{{z}^{2}}=\text{w}\] là một căn bậc hai của \[\text{w}\].
2. Phương trình bậc hai với hệ số thực
Cho phương trình bậc hai \[a{{x}^{2}}+bx+c=0\left( a;b;c\in \mathbb{R};a\ne 0 \right)\]. Xét \[\Delta ={{b}^{2}}-4ac\] . Nếu:
- \[\Delta >0\] , phương trình có hai nghiệm thực \[{{x}_{1,2}}=\frac{-b\pm \sqrt{\Delta }}{2a}\]
- \[\Delta =0\] , phương trình có nghiệm thực duy nhất \[{{x}_{1,2}}=\frac{-b}{2a}\]
- \[\Delta <0\] , phương trình có hai nghiệm phức \[{{x}_{1,2}}=\frac{-b\pm i\sqrt{\left| \Delta \right|}}{2a}\]
Nhận xét :
- Trên tập hợp số phức, mọi phương trình bậc hai đều có hai nghiệm (không nhất thiết phải phân biệt).
- Tổng quát : mọi phương trình bậc \[n\left( n>0 \right)\] \[{{a}_{0}}{{x}^{n}}+{{a}_{1}}{{x}^{n-1}}+{{a}_{2}}{{x}^{n-2}}+...+{{a}_{n-1}}x+{{a}_{n}}=0\] trong đó \[{{a}_{0}},{{a}_{1}},...,{{a}_{n}}\in \mathbb{C},{{a}_{0}}\ne 0\] đều có \[n\] nghiệm (không nhất thiết phải phân biệt).
B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP
Dạng 1. Tìm căn bậc hai của số phức
Cách giải :
- Bước 1 : Gọi \[z=x+yi\left( x;y\in \mathbb{R} \right)\] là một căn bậc hai của số phức \[\text{w}\] cho trước.
- Bước 2 : \[z\] là một căn bậc hai của \[\text{w}\Leftrightarrow {{z}^{2}}=\text{w}\Leftrightarrow {{\left( x+yi \right)}^{2}}=\text{w}\]. Lập và giải hệ phương trình hai ẩn \[x,y\] .
- Bước 3 : Kết luận.
Dạng 2. Các bài toán liên quan đến giải phương trình bậc hai (tìm nghiệm, viết biểu thức nghiệm,…)
Cách giải :
Cách 1 : Sử dụng biệt số \[\Delta \] để tìm nghiệm của phương trình từ đó rút ra kết quả đề bài yêu cầu.
Cách 2 : Sử dụng định lí Vi-et \(\left\{ \begin{array}{l} {x_1} + {x_2} = - \frac{b}{a}\\ {x_1}{x_2} = \frac{c}{a} \end{array} \right.\) đối với các trường hợp không cần tìm cụ thể nghiệm.
Dạng 3 : Các bài toán liên quan đến phương trình đưa về phương trình bậc hai (tìm nghiệm, đếm số nghiệm, tính môđun của nghiệm,…)
Cách giải :
Đặt ẩn phụ, đưa phương trình đã cho về phương trình bậc hai rồi sử dụng biệt thức \[\Delta \] hoặc định lí Vi-et để giải.
Dạng 4. Chứng minh hoặc tìm phương trình bậc hai nhận số phức \[z\] làm nghiệm.
Cách giải :
Cách 1 : Thay trực tiếp nghiệm vào phương trình và giải tương đương.
Cách 2 : Sử dụng định lí Vi-et.
C. GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA
Bài 1.(trang 140 SGK Giải tích 12)
- Ta có \[-7=7{{i}^{2}}\Rightarrow \pm i\sqrt{7}\] là các căn bậc hai của số phức \[-7\] .
- Ta có \[-8=8{{i}^{2}}\Rightarrow \pm 2i\sqrt{2}\] là các căn bậc hai của số phức \[-8\] .
- Ta có \[-12=12{{i}^{2}}\Rightarrow \pm 2i\sqrt{3}\] là các căn bậc hai của số phức \[-12\] .
- Ta có \[-20=20{{i}^{2}}\Rightarrow \pm 2i\sqrt{5}\] là các căn bậc hai của số phức \[-20\] .
- Ta có \[-121=121{{i}^{2}}\Rightarrow \pm 11i\] là các căn bậc hai của số phức \[-121\] .
Bài 2.(trang 140 SGK Giải tích 12)
a) Ta có \[\Delta '={{1}^{2}}-\left( -3 \right)\left( -1 \right)=-2=2{{i}^{2}}\]
\[\Rightarrow \] Phương trình đã cho có hai nghiệm phức \[{{z}_{1,2}}=\frac{1\pm i\sqrt{2}}{3}\]
b) Ta có \[\Delta ={{3}^{2}}-4.7.2=-47=47{{i}^{2}}\]
\[\Rightarrow \] Phương trình đã cho có hai nghiệm phức \[{{z}_{1,2}}=\frac{-3\pm i\sqrt{47}}{14}\]
c) Ta có \[\Delta ={{\left( -7 \right)}^{2}}-4.5.11=-171=171{{i}^{2}}\]
\[\Rightarrow \] Phương trình đã cho có hai nghiệm phức \[{{z}_{1,2}}=\frac{7\pm i\sqrt{171}}{10}\]
Bài 3.(trang 140 SGK Giải tích 12)
a) Đặt \[t={{z}^{2}}\Rightarrow \] Phương trình đã cho tương đương với \({t^2} + t - 6 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} t = - 3\\ t = 2 \end{array} \right.\)
\( \Rightarrow \left[ \begin{array}{l} {z^2} = - 3\\ {z^2} = 2 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} z = \pm i\sqrt 3 \\ z = \pm 2 \end{array} \right.\)
b) Đặt \[t={{z}^{2}}\Rightarrow \] Phương trình đã cho tương đương với \({t^2} + 7t + 10 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} t = - 5\\ t = - 2 \end{array} \right.\)
\( \Rightarrow \left[ \begin{array}{l} {z^2} = - 5\\ {z^2} = - 2 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} z = \pm i\sqrt 5 \\ z = \pm i\sqrt 2 \end{array} \right.\)
Bài 4.(trang 140 SGK Giải tích 12)
Xét \[\Delta ={{b}^{2}}-4ac\] . Nếu:
- \[\Delta <0\] , phương trình có hai nghiệm phức \({z_{1,2}} = \frac{{ - b \pm i\sqrt {\left| \Delta \right|} }}{{2a}} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} {z_1} + {z_2} = - \frac{b}{a}\\ {z_1}{z_2} = \frac{c}{a} \end{array} \right.\)
- \[\Delta \ge 0\] , theo định lí Vi-et ta có \(\left\{ \begin{array}{l} {z_1} + {z_2} = - \frac{b}{a}\\ {z_1}{z_2} = \frac{c}{a} \end{array} \right.\)
Bài 5. (trang 140 SGK Giải tích 12)
Ta có \[z=a+bi\Rightarrow \overline{z}=a-bi\] .
Mặt khác, \[z;\overline{z}\] là hai nghiệm của một phương trình
\(\begin{array}{l} \Rightarrow \left( {x - z} \right)\left( {x - \overline z } \right) = 0\\ \Leftrightarrow {x^2} - \left( {z + \overline z } \right)x + z.\overline z = 0\\ \Leftrightarrow {x^2} - 2ax + {a^2} + {b^2} = 0 \end{array}\)
Gợi ý Giải bài tập sách giáo khoa phương trình bậc hai với hệ số thực, toán 12 số phức lý thuyết trọng tâm giúp học sinh nắm vững kiến thức chính xác nhanh nhất do đội ngũ giáo viên ican trực tiếp biên soạn.