ican
Giải SGK Toán 12
Bài 4: Đường tiệm cận

Bài 4. Đường tiệm cận

Toán 12 bài Bài 4. Đường tiệm cận: Lý thuyết trọng tâm, giải bài tập sách giáo khoa Bài 4. Đường tiệm cận: giúp học sinh nắm vững kiến thức ngắn gọn

Ican

BÀI 4: ĐƯỜNG TIỆM CẬN

A. LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM

1. Đường tiệm cận ngang

Cho hàm số \[y=f(x)\] xác định trên một khoảng vô hạn (là khoảng dạng \[\left( a;+\infty  \right),\left( -\infty ;b \right)\] hoặc \[\left( -\infty ;+\infty  \right)\]). Đường thẳng \[y={{y}_{0}}\] là đường tiệm cận ngang (hay tiệm cận ngang) của đồ thị hàm số \[y=f(x)\] nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thỏa mãn: \[\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,f(x)={{y}_{0}},\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,f(x)={{y}_{0}}\]

2. Đường tiệm cận đứng

Đường thẳng \[x={{x}_{0}}\] được gọi là đường tiệm cận đứng (hay tiệm cận đứng) của đồ thị hàm số \[y=f(x)\] nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thỏa mãn:

\[\underset{x\to {{x}_{0}}^{+}}{\mathop{\lim }}\,f(x)=+\infty ,\,\,\underset{x\to {{x}_{0}}^{-}}{\mathop{\lim }}\,f(x)=-\infty ,\]\[\underset{x\to {{x}_{0}}^{+}}{\mathop{\lim }}\,f(x)=-\infty ,\,\,\underset{x\to {{x}_{0}}^{-}}{\mathop{\lim }}\,f(x)=+\infty \]

Lưu ý: Đồ thị hàm số \[y=\frac{ax+b}{cx+d}\text{ }\left( c\ne 0;\text{ }ad-bc\ne 0 \right)\] luôn có tiệm cận ngang là \[y=\frac{a}{c}\] và tiệm cận đứng \[x=-\frac{d}{c}.\]

B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP

Dạng 1. Xác định tiệm cận của đồ thị hàm số

Cách giải:

  • Tính \[\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,f(x)={{y}_{0}},\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,f(x)={{y}_{0}}\]\[\Rightarrow y={{y}_{0}}\] là đường tiệm cận ngang
  • Tính \[\underset{x\to {{x}_{0}}^{+}}{\mathop{\lim }}\,f(x)=+\infty ,\,\,\underset{x\to {{x}_{0}}^{-}}{\mathop{\lim }}\,f(x)=-\infty ,\]\[\underset{x\to {{x}_{0}}^{+}}{\mathop{\lim }}\,f(x)=-\infty ,\,\,\underset{x\to {{x}_{0}}^{-}}{\mathop{\lim }}\,f(x)=+\infty \]\[\Rightarrow x={{x}_{0}}\] được gọi là đường tiệm cận đứng

Dạng 2. Khoảng cách từ điểm tới đường tiệm cận của đồ thị hàm số

Cách giải:

  • Xác định đường tiệm cận của đồ thị hàm số
  • Sử dụng công thức khoảng cách từ điểm đến đường thẳng và các dữ kiện liên quan để tính toán

\[d\left( {{M}_{0}};\Delta  \right)=\frac{\left| a{{x}_{0}}+b{{y}_{0}}+c \right|}{\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}}\] với \[{{M}_{0}}\left( {{x}_{0}};{{y}_{0}} \right)\]

C. GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA

Bài 1. (trang 30 SGK Giải tích 12)

a) Ta có:

  • \[\underset{x\to {{2}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{x}{2-x}=+\infty ;\underset{x\to {{2}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{x}{2-x}=-\infty \Rightarrow x=2\] là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số \[y=\frac{x}{2-x}\] .
  • \[\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{x}{2-x}=\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{x}{2-x}=-1\Rightarrow y=-1\] là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \[y=\frac{x}{2-x}\] .

b) Ta có

  • \[\underset{x\to {{(-1)}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{-x+7}{x+1}=-\infty ;\underset{x\to {{(-1)}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{-x+7}{x+1}=+\infty \Rightarrow x=-1\] là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số \[y=\frac{-x+7}{x+1}\] .
  • \[\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{-x+7}{x+1}=\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{-x+7}{x+1}=-1\Rightarrow y=-1\] là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \[y=\frac{-x+7}{x+1}\] .

c) Ta có

  • \[\underset{x\to {{\left( \frac{2}{5} \right)}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{2x-5}{5x-2}=-\infty ;\underset{x\to {{\left( \frac{2}{5} \right)}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{2x-5}{5x-2}=+\infty \Rightarrow x=\frac{2}{5}\] là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số \[y=\frac{2x-5}{5x-2}\] .
  • \[\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{2x-5}{5x-2}=\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{2x-5}{5x-2}=\frac{2}{5}\Rightarrow y=\frac{2}{5}\] là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \[y=\frac{2x-5}{5x-2}\] .

d) Ta có:

  • \[\underset{x\to {{0}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\left( \frac{7}{x}-1 \right)=+\infty ;\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\left( \frac{7}{x}-1 \right)=-\infty \Rightarrow x=0\] là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số \[y=\frac{7}{x}-1\] .
  • \[\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\left( \frac{7}{x}-1 \right)=\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,\left( \frac{7}{x}-1 \right)=-1\Rightarrow y=-1\] là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \[y=\frac{7}{x}-1\] .

Bài 2. (trang 30 SGK Giải tích 12)

a) Ta có \[y=\frac{2-x}{9-{{x}^{2}}}=\frac{2-x}{\left( 3-x \right)\left( 3+x \right)}\]

  • \[\underset{x\to {{3}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{2-x}{\left( 3-x \right)\left( 3+x \right)}=+\infty \Rightarrow x=3\] là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
  • \[\underset{x\to {{(-3)}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{2-x}{\left( 3-x \right)\left( 3+x \right)}=+\infty \Rightarrow x=-3\] là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
  • \[\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{2-x}{9-{{x}^{2}}}=\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{\frac{2}{{{x}^{2}}}-\frac{1}{x}}{\frac{9}{{{x}^{2}}}-1}=0\Rightarrow y=0\] là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

b) Ta có \[\text{y}=\frac{{{\text{x}}^{2}}+\text{x}+1}{3-2\text{x}-5{{\text{x}}^{2}}}=\frac{{{\text{x}}^{2}}+\text{x}+1}{\left( \text{x}+1 \right)\left( 3-5\text{x} \right)}\]

  • \[\underset{x\to {{(-1)}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{x}^{2}}+x+1}{\left( \text{x}+1 \right)\left( 3-5\text{x} \right)}=-\infty \Rightarrow x=-1\] là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
  • \[\underset{x\to {{\left( \frac{3}{5} \right)}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{x}^{2}}+x+1}{\left( \text{x}+1 \right)\left( 3-5\text{x} \right)}=-\infty \Rightarrow x=\frac{3}{5}\] là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
  • \[\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{{{x}^{2}}+x+1}{3-2x-5{{x}^{2}}}=\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{1+\frac{1}{x}+\frac{1}{{{x}^{2}}}}{\frac{3}{{{x}^{2}}}-\frac{2}{x}-5}=-\frac{1}{5}\Rightarrow y=-\frac{1}{5}\] là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

c) Ta có:

  • \[\underset{x\to {{(-1)}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{x}^{2}}-3x+2}{x+1}=+\infty \Rightarrow x=-1\] là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
  • \[\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{{{x}^{2}}-3x+2}{x+1}=\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{1-\frac{3}{x}+\frac{2}{{{x}^{2}}}}{\frac{1}{x}+\frac{1}{{{x}^{2}}}}=+\infty \Rightarrow \] Đồ thị hàm số không có tiệm cận ngang.

d) Ta có:

  • \[\underset{x\to {{1}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-1}=+\infty \Rightarrow x=1\] là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
  • \[\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-1}=\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{1+\frac{1}{\sqrt{x}}}{1-\frac{1}{\sqrt{x}}}=1\Rightarrow y=1\] là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

Trên đây là gợi ý giải bài tập Toán 12 bài Bài 4. Đường tiệm cận do giáo viên Ican trực tiếp biên soạn theo chương trình mới nhất. Chúc các bạn học tập vui vẻ 

Đánh giá (403)
ican
  • Một thương hiệu của 
    ICAN
  • ICAN
  • ICAN © 2023, All Rights Reserved.

  • Trụ sở Hồ Chí Minh: B0003 C/C Sarina, Khu đô thị Sala, Khu phố 3, Đường Hoàng Thế Thiện, Phường An Lợi Đông, TP. Thủ Đức

  • Văn phòng Hà Nội: Tòa nhà 25T2 Đường Hoàng Đạo Thúy, Phường Trung Hòa, Quận Cầu Giấy