BÀI 3: PHÉP CHIA SỐ PHỨC
A. LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM
1. Tổng và tích của hai số phức liên hợp
Cho số phức \[z=a+bi\left( a;b\in \mathbb{R} \right)\] . Khi đó,
\(\begin{array}{l} z + \overline z = 2a\\ z.\overline z = {a^2} + {b^2} = {\left| z \right|^2} \end{array}\)
Vậy tổng và tích của hai số phức liên hợp là một số thực.
2. Phép chia hai số phức
Cho hai số phức \[z=a+bi\text{ }(a,b\in \mathbb{R}),\text{ }z'=a'+b'\text{ }i\text{ }(a',b'\in \mathbb{R})\]
\[\frac{z}{z'}=\frac{\left( a+bi \right)\left( a'-b'i \right)}{\left( a'+b'i \right)\left( a'-b'i \right)}=\frac{aa'+bb'}{a{{'}^{2}}+b{{'}^{2}}}+\frac{ba'-ab'}{a{{'}^{2}}+b{{'}^{2}}}i\]
B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP
Dạng 1. Giải các phương trình phức (phương trình bậc nhất đối với biến \[z\] )
Cách giải:
Cho phương trình \[az+b=0\left( a,b\in \mathbb{C} \right)\] . Khi đó, phương trình tương đương \[z=\frac{a}{b}\]
Thực hiện phép chia hai số phức, đưa nghiệm \[z\] về dạng \[x+yi\left( x;y\in \mathbb{R} \right)\]
C. GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA
Bài 1.(trang 138 SGK Giải tích 12)
a) \[\frac{2+i}{3-2i}=\frac{\left( 2+i \right)\left( 3+2i \right)}{{{3}^{2}}+{{2}^{2}}}=\frac{\left( 2.3-1.2 \right)+\left( 2.2+1.3 \right)i}{13}=\frac{4+7i}{13}=\frac{4}{13}+\frac{7}{13}i\]
b) \[\frac{1+i\sqrt{2}}{2+i\sqrt{3}}=\frac{\left( 1+i\sqrt{2} \right)\left( 2-i\sqrt{3} \right)}{{{2}^{2}}+{{\left( \sqrt{3} \right)}^{2}}}=\frac{2+\sqrt{6}+\left( 2\sqrt{2}-\sqrt{3} \right)i}{7}=\frac{2+\sqrt{6}i}{7}+\frac{\left( 2\sqrt{2}-\sqrt{3} \right)i}{7}\]
c) \[\frac{5i}{2-3i}=\frac{5i\left( 2+3i \right)}{4+9}=\frac{-15+10i}{13}=-\frac{15}{13}+\frac{10}{13}i\]
d) \[\frac{5-2i}{i}=\frac{i\left( 5-2i \right)}{-1}=-2-5i\]
Bài 2.(trang 138 SGK Giải tích 12)
a) Ta có \[\frac{1}{z}=\frac{1}{1+2i}=\frac{1-2i}{1+4}=\frac{1}{5}-\frac{2}{5}i\]
b) Ta có \[\frac{1}{z}=\frac{1}{\sqrt{2}-3i}=\frac{\sqrt{2}+3i}{2+9}=\frac{\sqrt{2}}{11}+\frac{3}{11}i\]
c) Ta có \[\frac{1}{z}=\frac{1}{i}=-i\]
d) Ta có \[\frac{1}{z}=\frac{1}{1+2i}=\frac{1-2i}{1+4}=\frac{1}{5}-\frac{2}{5}i\]
Bài 3.(trang 138 SGK Giải tích 12)
a) \[2i\left( 3+i \right)\left( 2+4i \right)=\left( 6i-2 \right)\left( 2+4i \right)=12i-24-4-8i=-28+4i\]
b) \[\frac{{{\left( 1+i \right)}^{2}}{{\left( 2i \right)}^{3}}}{-2+i}=\frac{2i.\left( -8i \right)}{-2+i}=\frac{16}{-2+i}=\frac{16\left( -2-i \right)}{4+1}=-\frac{32}{5}-\frac{16}{5}i\]
c) \[3+2i+\left( 6+i \right)\left( 5+i \right)=3+2i+30+6i+5i-1=32+13i\]
d) \[4-3i+\frac{5+4i}{3+6i}=4-3i+\frac{\left( 5+4i \right)\left( 3-6i \right)}{9+36}\]
\[=4-3i+\frac{15-30i+12i+24}{45}=4-3i+\frac{13}{15}-\frac{2}{5}i=\frac{73}{15}-\frac{17}{5}i\]
Bài 4.(trang 138 SGK Giải tích 12)
a) \[\left( 3-2i \right)z+\left( 4+5i \right)=7+3i\]
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left( {3 - 2i} \right)z = 7 + 3i - \left( {4 + 5i} \right)\\ \Leftrightarrow \left( {3 - 2i} \right)z = 3 - 2i\\ \Leftrightarrow z = \frac{{3 - 2i}}{{3 - 2i}}\\ \Leftrightarrow z = 1 \end{array}\)
b) \[\left( 1+3i \right)z-\left( 2+5i \right)=\left( 2+i \right)z\]
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left( {1 + 3i} \right)z - \left( {2 + i} \right)z = 2 + 5i\\ \Leftrightarrow \left( {1 + 3i - 2 - i} \right)z = 2 + 5i\\ \Leftrightarrow \left( { - 1 + 2i} \right)z = 2 + 5i\\ \Leftrightarrow z = \frac{{2 + 5i}}{{ - 1 + 2i}}\\ \Leftrightarrow z = \frac{{\left( {2 + 5i} \right)\left( { - 1 - 2i} \right)}}{{1 + 4}}\\ \Leftrightarrow z = \frac{{8 - 9i}}{5} = \frac{8}{5} - \frac{9}{5}i \end{array}\)
c) \[\frac{z}{4-3i}+\left( 2-3i \right)=5-2i\]
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \frac{z}{{4 - 3i}} = \left( {5 - 2i} \right) - \left( {2 - 3i} \right)\\ \Leftrightarrow \frac{z}{{4 - 3i}} = 3 + i\\ \Leftrightarrow z = \left( {3 + i} \right)\left( {4 - 3i} \right)\\ \Leftrightarrow z = 15 - 5i \end{array}\)
Gợi ý Giải bài tập sách giáo khoa phép chia số phức, toán 12 số phức lý thuyết trọng tâm giúp học sinh nắm vững kiến thức chính xác nhanh nhất do đội ngũ giáo viên ican trực tiếp biên soạn.