BÀI 1: LŨY THỪA
A. LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM
I. Khái niệm lũy thừa
1. Lũy thừa với số mũ nguyên
Cho \[n\] là một số nguyên dương.
Với \[a\] là số thực tùy ý, lũy thừa bậc \[n\] của a là tích của \[n\] thừa số \[a\].
\[{{a}^{n}}=\underbrace{a.a......a}_{n}\](\[n\] thừa số).
Với \[a\ne 0\] thì \[{{a}^{0}}=1;{{a}^{-n}}=\frac{1}{{{a}^{n}}}\]
Ta gọi \[a\] là cơ số, \[n\] là mũ số.
Chú ý:
- \[{{0}^{0}}\] và \[{{0}^{-n}}\] không có nghĩa.
- Các tính chất trên đúng trong trường hợp số mũ nguyên hoặc không nguyên.
- Khi xét lũy thừa với số mũ \[0\] và số mũ nguyên âm thì cơ số \[a\] phải khác \[0\] .
- Khi xét lũy thừa với số mũ không nguyên thì cơ số \[a\] phải dương.
2. Phương trình \[{{x}^{n}}=b.\]
Ta có kết quả biện luận số nghiệm của phương trình \[{{x}^{n}}=b\] như sau:
- Trường hợp n lẻ: Với mọi số thực \[b\], phương trình có nghiệm duy nhất.
- Trường hợp n chẵn:
- Với \[b<0\], phương trình vô nghiệm.
- Với \[b=0\], phương trình có một nghiệm \[x=0.\]
- Với \[b>0\], phương trình có hai nghiệm trái dấu.
3. Căn bậc \[n\]
Khái niệm:
Cho số thực \[b\] và số nguyên dương \[n\left( n\ge 2 \right)\] . Số \[a\] được gọi là căn bậc \[n\] của số \[b\] nếu \[{{a}^{n}}=b.\]
Tính chất của căn bậc \[n\] :
- \[\sqrt[n]{a}.\sqrt[n]{b}=\sqrt[n]{ab}\]
- \[\sqrt[2n+1]{{{a}^{2n+1}}}=a,\forall a\]
- \[\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}=\sqrt[n]{\frac{a}{b}}\]
- \[\sqrt[n]{{{a}^{m}}}={{\left( \sqrt[n]{a} \right)}^{m}}\]
- \[\sqrt[n]{\sqrt[m]{a}}=\sqrt[nm]{a}\]
- \[\sqrt[n]{a}=a\] nếu \[n\] lẻ và \[\sqrt[n]{a}=\left| a \right|\] nếu \[n\] chẵn
4. Lũy thừa với số mũ hữu tỉ
Cho số thực \[a\] dương và số hữu tỉ \[r=\frac{m}{n}\] , trong đó \(m \in Z,n \in N,n \ge 2\). Lũy thừa của \[a\] với số mũ \[r\] là số \[{{a}^{r}}\] xác định bởi \[{{a}^{r}}={{a}^{\frac{m}{n}}}=\sqrt[n]{{{a}^{m}}}\]
5. Lũy thừa với số mũ vô tỉ
Cho \[a\] là một số dương, \[\alpha \] là một số vô tỉ. Ta thừa nhận rằng luôn có một dãy số hữu tỉ \[\left( {{r}_{n}} \right)\] có giới hạn là \[\alpha \] và dãy số tương ứng \[\left( {{a}^{{{r}_{n}}}} \right)\] có giới hạn không phụ thuộc vào việc chọn dãy số \[\left( {{r}_{n}} \right)\] . Ta gọi giới hạn của dãy số \[\left( {{a}^{{{r}_{n}}}} \right)\] là lũy thừa của \[a\] với số mũ \[\alpha \] , kí hiệu \[{{a}^{\alpha }}\] .
\[{{a}^{\alpha }}=\underset{n\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,{{a}^{{{r}_{n}}}}\] với \[\alpha =\underset{n\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,{{r}_{n}}\]
II. Tính chất của lũy thừa với số mũ thực
Cho \[a,b\] là các số thực dương; \[\alpha ,\beta \] là những số thực tùy ý. Khi đó, ta có:
- \[{{a}^{\alpha }}.{{a}^{\beta }}={{a}^{\alpha +\beta }}\]
- \[\frac{{{a}^{\alpha }}}{{{a}^{\beta }}}={{a}^{\alpha -\beta }}\]
- \[{{\left( {{a}^{\alpha }} \right)}^{\beta }}={{a}^{\alpha \beta }}\]
- \[{{(ab)}^{\alpha }}={{a}^{\alpha }}{{a}^{\beta }}\]
- \[{{\left( \frac{a}{b} \right)}^{\alpha }}=\frac{{{a}^{\alpha }}}{{{b}^{\alpha }}}\]
- Nếu \[a>1\] thì \[{{a}^{\alpha }}>{{a}^{\beta }}\Leftrightarrow \alpha >\beta \] ;
- Nếu \[0 thì \[{{a}^{\alpha }}>{{a}^{\beta }}\Leftrightarrow \alpha <\beta \] .
B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP
Dạng 1. Tính toán, rút gọn biểu thức lũy thừa
Cách giải:
Áp dụng các tính chất của lũy thừa để rút gọn và tính toán.
Dạng 2. Chứng minh, so sánh các lũy thừa
Cách giải:
Đưa lũy thừa về cùng số mũ hoặc cơ số sau đó áp dụng các tính chất của lũy thừa để chứng minh:
- Nếu \[a>1\] thì \[{{a}^{\alpha }}>{{a}^{\beta }}\Leftrightarrow \alpha >\beta \] ;
- Nếu \[0 thì \[{{a}^{\alpha }}>{{a}^{\beta }}\Leftrightarrow \alpha <\beta \] .
C. GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA
Bài 1. (SGK Giải tích 12 trang 55)
a) \[{{9}^{\frac{2}{5}}}{{.27}^{\frac{2}{5}}}={{(9.27)}^{\frac{2}{5}}}={{\left( {{3}^{2}}{{.3}^{3}} \right)}^{\frac{2}{5}}}={{3}^{5-\frac{2}{5}}}={{3}^{2}}=9\]
b) \[{{144}^{\frac{3}{4}}}:{{9}^{\frac{3}{4}}}={{(144:9)}^{\frac{3}{4}}}={{(16)}^{\frac{3}{4}}}={{\left( {{2}^{4}} \right)}^{\frac{3}{4}}}={{2}^{3}}=8\]
c) \[{{\left( \frac{1}{16} \right)}^{-0,75}}+0,{{25}^{-\frac{5}{2}}}={{\left( {{2}^{-4}} \right)}^{-\frac{3}{4}}}+{{\left( {{2}^{-2}} \right)}^{-\frac{5}{2}}}={{2}^{3}}+{{2}^{5}}=8+32=40\]
d) \[{{\left( 0,04 \right)}^{-1,5}}-0,{{125}^{-\frac{2}{3}}}={{\left( \frac{1}{25} \right)}^{-\frac{3}{2}}}-{{\left( \frac{1}{8} \right)}^{-\frac{2}{3}}}\]
\[={{\left( {{5}^{-2}} \right)}^{-\frac{3}{2}}}-{{\left( {{2}^{-3}} \right)}^{-\frac{2}{3}}}={{5}^{3}}-{{2}^{2}}=121\]
Bài 2. (SGK Giải tích 12 trang 55)
a) \[{{a}^{\frac{1}{3}}}.\sqrt{a}={{a}^{\frac{1}{3}}}{{a}^{\frac{1}{2}}}={{a}^{\frac{1}{3}+\frac{1}{2}}}={{a}^{\frac{5}{6}}}\]
b) \[{{b}^{\frac{1}{2}}}.{{b}^{\frac{1}{3}}}.\sqrt[6]{b}={{b}^{\frac{1}{2}}}.{{b}^{\frac{1}{3}}}.{{b}^{\frac{1}{6}}}={{b}^{\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{6}}}={{b}^{1}}=b\]
c) \[{{a}^{\frac{4}{3}}}:\sqrt[3]{a}={{a}^{\frac{4}{3}}}:{{a}^{\frac{1}{6}}}={{b}^{\frac{1}{3}-\frac{1}{6}}}={{b}^{\frac{1}{6}}}\]
Bài 3. (SGK Giải tích 12 trang 56)
a) Ta có: \[{{1}^{3,75}}=1;{{2}^{-1}}=\frac{1}{2};{{\left( \frac{1}{2} \right)}^{-3}}={{2}^{3}}=8\]
Viết theo thứ tự tăng dần là: \[{{2}^{-1}};{{1}^{3,75}};{{\left( \frac{1}{2} \right)}^{-1}}\]
b) Ta có \[{{98}^{0}}=1;{{\left( \frac{3}{7} \right)}^{-1}}=\frac{7}{3};{{\left( {{2}^{5}} \right)}^{\frac{1}{5}}}=2\]
Viết theo thứ tự tăng dần là: \[{{98}^{0}};{{\left( 32 \right)}^{\frac{1}{5}}};{{\left( \frac{3}{7} \right)}^{-1}}\]
Bài 4. (SGK Giải tích 12 trang 56)
a) \[\frac{{{a}^{\frac{4}{3}}}\left( {{a}^{\frac{-1}{3}}}+{{a}^{\frac{2}{3}}} \right)}{{{a}^{\frac{1}{4}}}\left( {{a}^{\frac{3}{4}+{{a}^{\frac{-1}{4}}}}} \right)}\]
\[=\frac{{{a}^{\frac{4}{3}}}{{a}^{\frac{-1}{3}}}+{{a}^{\frac{4}{3}}}{{a}^{\frac{2}{3}}}}{{{a}^{\frac{1}{4}}}{{a}^{\frac{3}{4}}}+{{a}^{\frac{1}{4}}}{{a}^{\frac{-1}{4}}}}\]
\[=\frac{a\left( 1+a \right)}{a+1}=a\]
b) \[\frac{{{b}^{\frac{1}{5}}}\left( \sqrt[5]{{{b}^{4}}}-\sqrt[5]{{{b}^{-1}}} \right)}{{{b}^{\frac{2}{3}}}\left( \sqrt[3]{b}-\sqrt[3]{{{b}^{-2}}} \right)}\]
\[=\frac{{{b}^{\frac{1}{5}-\frac{4}{5}-{{b}^{\frac{1}{5}}}-\frac{1}{5}}}}{{{b}^{\frac{2}{3}+\frac{1}{3}-{{b}^{\frac{2}{3}-\frac{2}{3}}}}}}\] \[=\frac{b-1}{b-1}=1\]
c) \[\frac{{{a}^{\frac{1}{3}}}{{b}^{\frac{-1}{3}}}-{{a}^{\frac{-1}{3}}}{{b}^{\frac{1}{3}}}}{\sqrt[3]{{{a}^{2}}}-\sqrt[3]{{{b}^{2}}}}=\frac{{{a}^{\frac{-1}{3}}}{{b}^{\frac{-1}{3}}}\left( {{a}^{\frac{2}{3}}}-{{b}^{\frac{2}{3}}} \right)}{{{a}^{\frac{2}{3}}}-{{b}^{\frac{2}{3}}}}\]
\[={{a}^{\frac{-1}{3}}}{{b}^{\frac{-1}{3}}}=\frac{1}{{{a}^{\frac{1}{3}}}{{b}^{\frac{1}{3}}}}=\frac{1}{\sqrt[3]{ab}}\]
d) \[\frac{{{a}^{\frac{1}{3}}}\sqrt{b}+{{b}^{\frac{1}{3}}}\sqrt{a}}{\sqrt[6]{a}+\sqrt[6]{b}}=\frac{{{a}^{\frac{1}{3}}}{{b}^{\frac{1}{2}}}+{{b}^{\frac{1}{3}}}{{a}^{\frac{1}{2}}}}{{{a}^{\frac{1}{6}}}+{{b}^{\frac{1}{6}}}}\]
\[=\frac{{{a}^{\frac{1}{3}}}{{b}^{\frac{1}{2}}}+{{b}^{\frac{1}{3}}}{{a}^{\frac{1}{2}}}}{{{a}^{\frac{1}{6}}}+{{b}^{\frac{1}{6}}}}=\frac{{{a}^{\frac{2}{6}}}{{b}^{\frac{3}{6}}}+{{b}^{\frac{2}{6}}}{{a}^{\frac{3}{6}}}}{{{a}^{\frac{1}{6}}}+{{b}^{\frac{1}{6}}}}\]
\[=\frac{{{a}^{\frac{2}{6}}}{{b}^{\frac{2}{6}}}\left( {{a}^{\frac{1}{6}}}+{{b}^{\frac{1}{6}}} \right)}{{{a}^{\frac{1}{6}}}+{{b}^{\frac{1}{6}}}}={{a}^{\frac{2}{6}}}{{b}^{\frac{2}{6}}}={{a}^{\frac{1}{3}}}{{b}^{\frac{1}{3}}}\] \[=\sqrt[3]{ab}\]
Bài 5. (SGK Giải tích 12 trang 56)
a) Ta có: \[2\sqrt{5}=\sqrt{20};3\sqrt{2}=\sqrt{18}\]
\[\Rightarrow 2\sqrt{5}>3\sqrt{2}\]
Vì \[0<\frac{1}{3}<1\text{ }\Rightarrow {{\left( \frac{1}{3} \right)}^{2\sqrt{3}}}<{{\left( \frac{1}{3} \right)}^{3\sqrt{2}}}\]
b) Ta có: \[6\sqrt{3}=\sqrt{108};3\sqrt{2}=\sqrt{54};\sqrt{108}>\sqrt{54}\]
\[\Rightarrow 6\sqrt{3}>3\sqrt{2}\Rightarrow {{7}^{6\sqrt{6}}}>{{7}^{3\sqrt{6}}}\]
Gợi ý Giải bài tập sách giáo khoa bài luỹ thừa , toán 12 lũy thừa lý thuyết trọng tâm giúp học sinh nắm vững kiến thức nhanh nhất.