BÀI 1: HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
A. LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM
I Tọa độ của điểm và của vectơ
1. Hệ tọa độ
Trong không gian, cho ba trục \[x'\text{O}x\], \[y'Oy\] , \[z'Oz\] vuông góc với nhau từng đôi một. Gọi \[\overrightarrow{i}\] , \[\overrightarrow{j}\] , \[\overrightarrow{k}\] lần lượt là các vectơ đơn vị trên các trục \[x'\text{O}x\], \[y'Oy\] , \[z'Oz\] .
Hệ ba trục như vậy được gọi là hệ trục tọa độ Đề-các vuông góc \[\text{O}xyz\] trong không gian, hay đơn giản được gọi là hệ tọa độ \[\text{O}xyz\].
Điểm O được gọi là gốc tọa độ.
Các mặt phẳng \[\text{(Ox}y),(Oyz),(\text{Ozx})\] đôi một vuông góc với nhau được gọi là các mặt phẳng tọa độ.
Không gian với hệ tọa độ \[\text{O}xyz\] còn được gọi là không gian \[\text{O}xyz\].
Vì \[\overrightarrow{i}\] , \[\overrightarrow{j}\] , \[\overrightarrow{k}\] là ba vectơ đơn vị đôi một vuông góc với nhau nên:
\[{{\overrightarrow{i}}^{2}}={{\overrightarrow{j}}^{2}}={{\overrightarrow{k}}^{2}}=1\]
và \[\overrightarrow{i}.\overrightarrow{j}=\overrightarrow{j}.\overrightarrow{k}=\overrightarrow{k}.\overrightarrow{i}=0\] .
2. Tọa độ của một điểm
Trong không gian \[\text{O}xyz\], cho một diểm M tùy ý. Vì ba vectơ \[\overrightarrow{i}\] , \[\overrightarrow{j}\] , \[\overrightarrow{k}\] không đồng phẳng nên có một bộ ba số \[(x;y;z)\] duy nhất sao cho:
\[\overrightarrow{OM}=x\overrightarrow{i}+y\overrightarrow{j}+z\overrightarrow{k}\]
Ngược lại, với bộ ba số \[(x;y;z)\] ta có một điểm M duy nhất trong không gian thỏa mãn hệ thức \[\overrightarrow{OM}=x\overrightarrow{i}+y\overrightarrow{j}+z\overrightarrow{k}\] .
Ta gọi bộ ba số \[(x;y;z)\] đó là tọa độ của điểm M đối với hệ trục tọa độ \[\text{O}xyz\] đã cho và viết:
\[M=(x;y;z)\] hoặc \[M(x;y;z)\] .
3. Tọa độ của vectơ
Trong không gian \[\text{O}xyz\] cho vectơ \[\overrightarrow{a}\] , khi đó luôn tồn tại duy nhất bộ ba số \[(a_{1}^{{}};a_{2}^{{}};a_{3}^{{}})\] sao cho: \[\overrightarrow{a}=a_{1}^{{}}\overrightarrow{i}+a_{2}^{{}}\overrightarrow{j}+a_{3}^{{}}\overrightarrow{k}.\]
Ta gọi bộ ba số \[(a_{1}^{{}};a_{2}^{{}};a_{3}^{{}})\] đó là tọa độ của vectơ \[\overrightarrow{a}\] đối với hệ tọa độ \[\text{O}xyz\] cho trước và viết \[\overrightarrow{a}=(a_{1}^{{}};a_{2}^{{}};a_{3}^{{}})\] hoặc \[\overrightarrow{a}(a_{1}^{{}};a_{2}^{{}};a_{3}^{{}})\] .
Nhận xét : Trong hệ tọa độ \[\text{O}xyz\], tọa độ của điểm M chính là tọa độ của vectơ \[\overrightarrow{OM}\] .
Ta có: \[M=(x;y;z)\] \[\Leftrightarrow \overrightarrow{OM}=(x;y;z).\]
II. Biểu thức tọa độ của các phép toán vectơ
Định lý : Trong không gian \[\text{O}xyz\] cho hai vectơ \[\overrightarrow{a}=(a_{1}^{{}};a_{2}^{{}};a_{3}^{{}})\] và \[\overrightarrow{b}=(b_{1}^{{}};b_{2}^{{}};b_{3}^{{}})\] . Ta có:
- \[\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}=(a_{1}^{{}}+b_{1}^{{}};a_{2}^{{}}+b_{2}^{{}};a_{3}^{{}}+b_{3}^{{}}),\]
- \[\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}=(a_{1}^{{}}-b_{1}^{{}};a_{2}^{{}}-b_{2}^{{}};a_{3}^{{}}-b_{3}^{{}}),\]
- \[k\overrightarrow{a}=k(a_{1}^{{}};a_{2}^{{}};a_{3}^{{}})=(ka_{1}^{{}};ka_{2}^{{}};ka_{3}^{{}})\] với k là một số thực.
Hệ quả :
- Cho hai vectơ \[\overrightarrow{a}=(a_{1}^{{}};a_{2}^{{}};a_{3}^{{}})\] và \[\overrightarrow{b}=(b_{1}^{{}};b_{2}^{{}};b_{3}^{{}})\] .
Ta có: \[\overrightarrow{a}=\overrightarrow{b}\Leftrightarrow a_{1}^{{}}=b_{1}^{{}};a_{2}^{{}}=b_{2}^{{}};a_{3}^{{}}=b_{3}^{{}}.\]
- Vectơ \[\overrightarrow{0}\] có tọa độ là \[(0;0;0)\] .
- Với \[\overrightarrow{b}\ne \overrightarrow{0}\] thì hai vectơ \[\overrightarrow{a}\] và \[\overrightarrow{b}\] cùng phương khi và chỉ khi có một số k sao cho : \[a_{1}^{{}}=kb_{1}^{{}};a_{2}^{{}}=kb_{2}^{{}};a_{3}^{{}}=kb_{3}^{{}}.\]
- Trong không gian \[\text{O}xyz\], nếu cho hai điểm \[A(x_{A}^{{}};y_{A}^{{}};z_{A}^{{}}),B(x_{B}^{{}};y_{B}^{{}};z_{B}^{{}})\] thì :
- \[\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}=(x_{B}^{{}}-x_{A}^{{}};y_{B}^{{}}-y_{A}^{{}};z_{B}^{{}}-z_{A}^{{}}).\]
- Tọa độ trung điểm M của đoạn thẳng AB là \[M\left( \frac{{{x}_{A}}+{{x}_{B}}}{2};\frac{{{y}_{A}}+{{y}_{B}}}{2};\frac{{{z}_{A}}+{{z}_{B}}}{2} \right).\]
III. Tích vô hướng
1. Biểu thức tọa độ của tích vô hướng
Định lý : Trong không gian \[\text{O}xyz\], tích vô hướng của hai vectơ \[\overrightarrow{a}=(a_{1}^{{}};a_{2}^{{}};a_{3}^{{}})\] và \[\overrightarrow{b}=(b_{1}^{{}};b_{2}^{{}};b_{3}^{{}})\] được xác định bởi công thức
\[\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=a_{1}^{{}}.b_{1}^{{}}+a_{2}^{{}}.b_{2}^{{}}+a_{3}^{{}}.b_{3}^{{}}\]
2. Ứng dụng
- Độ dài của một vectơ. Cho vectơ \[\overrightarrow{a}=(a_{1}^{{}};a_{2}^{{}};a_{3}^{{}})\] .
Ta biết rằng \[{{\left| \overrightarrow{a} \right|}^{2}}={{\overrightarrow{a}}^{2}}\] hay \[\left| \overrightarrow{a} \right|=\sqrt{{{\overrightarrow{a}}^{2}}}\] . Do đó
\[\left| \overrightarrow{a} \right|=\sqrt{a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{3}^{2}}.\]
- Khoảng cách giữa hai điểm. Trong không gian \[\text{O}xyz\], cho hai điểm \[A(x_{A}^{{}};y_{A}^{{}};z_{A}^{{}})\] và \[B(x_{B}^{{}};y_{B}^{{}};z_{B}^{{}})\] . Khi đó khoảng cách giữa hai điểm A và B chính là độ dài của vectơ \[\overrightarrow{AB}\] . Do đó ta có :
\[AB=\left| \overrightarrow{AB} \right|=\sqrt{{{(x_{B}^{{}}-x_{A}^{{}})}^{2}}+{{(y_{B}^{{}}-y_{A}^{{}})}^{2}}+{{(z_{B}^{{}}-z_{A}^{{}})}^{2}}}.\]
- Góc giữa hai vectơ. Nếu φ là góc giữa hai vectơ \[\overrightarrow{a}=(a_{1}^{{}};a_{2}^{{}};a_{3}^{{}})\] và \[\overrightarrow{b}=(b_{1}^{{}};b_{2}^{{}};b_{3}^{{}})\] với \[\overrightarrow{a}\] và \[\overrightarrow{b}\] khác 0 thì cos φ \[=\frac{\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}}{\left| \overrightarrow{a} \right|.\left| \overrightarrow{b} \right|}\] . Do đó :
cos φ \[=c\text{os(}\overrightarrow{a},\overrightarrow{b})=\frac{a_{1}^{{}}b_{1}^{{}}+a_{2}^{{}}b_{2}^{{}}+a_{3}^{{}}b_{3}^{{}}}{\sqrt{a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{3}^{2}}.\sqrt{b_{1}^{2}+b_{2}^{2}+b_{3}^{2}}}\]
Từ đó ta suy ra \[\overrightarrow{a}\bot \overrightarrow{b}\Leftrightarrow a_{1}^{{}}b_{1}^{{}}+a_{2}^{{}}b_{2}^{{}}+a_{3}^{{}}b_{3}^{{}}=0\] .
IV. Phương trình mặt cầu
Định lý : Trong không gian \[\text{O}xyz\], mặt cầu (S) tâm \[I(a;b;c)\] bán kính r có phương trình là :
\[{{(x-a)}^{2}}+{{(y-b)}^{2}}+{{(z-c)}^{2}}={{r}^{2}}\]
Nhận xét : Phương trình mặt cầu nói trên có thể viết dưới dạng :
\[{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-2ax-2by-2cz+d=0\] với \[d={{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}-{{r}^{2}}\] .
Từ đó người ta chứng minh được rằng phương trình dạng \[{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}+2Ax+2By+2Cz+D=0\] với điều kiện \[{{A}^{2}}+{{B}^{2}}+{{C}^{2}}-D>0\] là phương trình của mặt cầu tâm \[I(-A;-B;-C)\] có bán kính \[r=\sqrt{{{A}^{2}}+{{B}^{2}}+{{C}^{2}}-D}\] .
B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP
Dạng 1. Tìm tọa độ và các yếu tố liên quan đến vectơ từ các yếu tố đã biết
Cách giải:
Sử dụng các định lý và hệ quả của các phép toán vectơ cùng định nghĩa và tính chất của vectơ để giải bài toán.
Dạng 2. Tính tích vô hướng và sử dụng ứng dụng đó để giải toán
Cách giải:
Áp dụng định lý biểu thức tọa độ của tích vô hướng và các ứng dụng của tích vô hướng để giải bài toán.
Kết hợp sử dụng các công thức liên quan đến vectơ để hoàn thành bài toán.
Dạng 3. Tìm tâm và bán kính mặt cầu có phương trình mặt cầu đã biết
Cách giải:
Dựa vào định lý phương trình mặt cầu để giải bài toán: Trong không gian \[\text{O}xyz\], mặt cầu (S) tâm \[I(a;b;c)\] bán kính r có phương trình là :
\[{{(x-a)}^{2}}+{{(y-b)}^{2}}+{{(z-c)}^{2}}={{r}^{2}}\]
Dạng 4. Lập phương trình mặt cầu dựa vào yếu tố đề bài
Cách giải:
Dựa vào định lý phương trình mặt cầu để giải bài toán: Trong không gian \[\text{O}xyz\], mặt cầu (S) tâm \[I(a;b;c)\] bán kính r có phương trình là :
\[{{(x-a)}^{2}}+{{(y-b)}^{2}}+{{(z-c)}^{2}}={{r}^{2}}\]
C. GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA
Bài 1.(trang 68 SGK Hình học lớp 12)
a) Ta có: \[4\overrightarrow{a}=(8;-20;12)\] ; \[\frac{1}{3}\overrightarrow{b}=(0;\frac{2}{3};\frac{-1}{3})\] ; \[3\overrightarrow{c}=(3;21;6)\]
\[\Leftrightarrow \overrightarrow{d}=4\overrightarrow{a}-\frac{1}{3}\overrightarrow{b}+3\overrightarrow{c}=(11;\frac{1}{3};\frac{55}{3})\] .
b) Ta có: \[4\overrightarrow{b}=(0;8;-4)\] ; \[2\overrightarrow{c}=(2;14;4)\]
\[\Leftrightarrow \overrightarrow{e}=\overrightarrow{a}-4\overrightarrow{b}-2\overrightarrow{c}=(0;-27;3)\] .
Bài 2.(trang 68 SGK Hình học lớp 12)
Ta có G là trọng tâm \[\Delta ABC\]
\(\left\{ \begin{array}{l} {x_G} = \frac{{{x_A} + {x_B} + {x_C}}}{3} = \frac{2}{3}\\ {y_G} = \frac{{{y_A} + {y_B} + {y_C}}}{3} = 0\\ {z_G} = \frac{{{z_A} + {z_B} + {z_C}}}{3} = \frac{4}{3} \end{array} \right.\)
Vậy tọa độ trọng tâm \[\Delta ABC\] là \[G(\frac{2}{3};0;\frac{4}{3}).\]
Bài 3.(trang 68 SGK Hình học lớp 12)
Ta có : \(\overrightarrow {DC} = \overrightarrow {AB} = (1;1;1) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {x_C} = {x_D} + 1 = 2\\ {y_C} = {y_D} + 1 = 0\\ {z_C} = {z_D} + 1 = 2 \end{array} \right. \Rightarrow C(2;0;2).\)
\(\begin{array}{l} \overrightarrow {C'D'} = \overrightarrow {CD} = - \overrightarrow {DC} = ( - 1; - 1; - 1)\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {x_{D'}} = {x_{C'}} - 1 = 3\\ {y_{D'}} = {y_{C'}} - 1 = 4\\ {z_{D'}} = {z_{C'}} - 1 = - 6 \end{array} \right. \Rightarrow D'(3;4; - 6) \end{array}\)
\(\overrightarrow {BB'} = \overrightarrow {CC'} = (2;5; - 7) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {x_{B'}} = {x_B} + 2 = 4\\ {y_{B'}} = {y_B} + 5 = 6\\ {z_{B'}} = {z_B} - 7 = - 5 \end{array} \right. \Rightarrow B'(4;6; - 5)\)
\(\overrightarrow {A'A} = \overrightarrow {C'C} = ( - 2; - 5;7) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {x_{A'}} = {x_A} + 2 = 3\\ {y_{A'}} = {y_A} + 5 = 5\\ {z_{A'}} = {z_A} - 7 = - 6 \end{array} \right. \Rightarrow A'(3;5; - 6)\)
Bài 4.(trang 68 SGK Hình học lớp 12)
a) \[\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=3.2+0.(-4)+(-6).0=6\] .
b) \[\overrightarrow{c}.\overrightarrow{d}=1.4+(-5).3+2.(-5)=-21\] .
Bài 5.(trang 68 SGK Hình học lớp 12)
a) \[{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-8x-2y+1=0\Leftrightarrow {{(x-4)}^{2}}+{{(y-1)}^{2}}+{{z}^{2}}={{4}^{2}}\] .
Tâm mặt cầu là điểm \[I(4;1;0)\] và bán kính \[r=4\] .
b) \[3{{x}^{2}}+3{{y}^{2}}+3{{z}^{2}}-6x+8y+15z-3=0\]
\[\Leftrightarrow {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-2x+\frac{8}{3}y+5z=1\]
\[\Leftrightarrow {{(x-1)}^{2}}+{{\left( y+\frac{4}{3} \right)}^{2}}+{{\left( z+\frac{5}{2} \right)}^{2}}={{\left( \frac{19}{6} \right)}^{2}}\]
Tâm mặt cầu là điểm \[I(1;-\frac{4}{3};-\frac{5}{2})\] và bán kính \[r=\frac{19}{6}\] .
Bài 6.(trang 68 SGK Hình học lớp 12)
a) Gọi I là tâm mặt cầu.
Ta có : \[\overrightarrow{AB}=(-2;4;-4)\Leftrightarrow AB=6.\]
Mặt cầu có đường kính AB nên tâm mặt cầu là trung điểm của AB
\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} {x_I} = \frac{{{x_A} + {x_B}}}{2} = 3\\ {y_I} = \frac{{{y_A} + {y_B}}}{2} = - 1\\ {z_I} = \frac{{{z_A} + {z_B}}}{2} = 5 \end{array} \right. \Rightarrow I(3; - 1;5)\) và bán kính \[r=\frac{AB}{2}=3.\]
Vậy phương trình mặt cầu là : \[{{(x-3)}^{2}}+{{(y+1)}^{2}}+{{(z-5)}^{2}}=9.\]
b) Ta có : \[\overrightarrow{AC}=(-2;-1;0)\Leftrightarrow AC=\sqrt{{{(-2)}^{2}}+{{(-1)}^{2}}+{{0}^{2}}}=\sqrt{5}\]
Vì mặt cầu đi qua điểm A và có tâm là C nên bán kính mặt cầu bằng AC.
Vậy phương trình mặt cầu là : \[{{(x-3)}^{2}}+{{(y+3)}^{2}}+{{(z-1)}^{2}}=5.\]
Gợi ý Giải bài tập sách giáo khoa hệ tọa độ trong không gian hình học 12, toán 12 tọa độ lý thuyết trọng tâm giúp học sinh nắm vững kiến thức chính xác nhanh nhất.